Speciális relativitáselmélet

A speciális relativitáselmélet alapjai

Tegyük fel, hogy valami felé mozogsz, ami feléd mozog. Ha megmérjük a sebességét, úgy tűnik, hogy gyorsabban mozog, mintha nem mozognánk. Most tegyük fel, hogy távolodunk valamitől, ami felénk mozog. Ha ismét megmérjük a sebességét, úgy tűnik, hogy lassabban mozog. Ez a "relatív sebesség" fogalma - az objektum sebessége hozzád képest.

Albert Einstein előtt a tudósok a fény "relatív sebességét" próbálták megmérni. Ezt úgy tették, hogy megmérték a Földre érkező csillagfény sebességét. Arra számítottak, hogy ha a Föld egy csillag felé mozog, akkor a csillag fényének gyorsabbnak kell tűnnie, mint ha a Föld távolodik a csillagtól. Azonban észrevették, hogy függetlenül attól, hogy ki végezte a kísérleteket, hol végezték a kísérleteket, vagy milyen csillag fényét használták, a fény mért sebessége vákuumban mindig ugyanaz volt.

Einstein szerint ez azért történik, mert van valami váratlan a hosszúsággal és az időtartammal kapcsolatban, vagyis azzal, hogy valami meddig tart. Úgy gondolta, hogy ahogy a Föld mozog a térben, minden mérhető időtartam nagyon kis mértékben változik. Bármely időtartam mérésére használt óra pontosan annyival téved, hogy a fénysebesség változatlan marad. Egy "fényórát" elképzelve jobban megérthetjük ezt a figyelemre méltó tényt egyetlen fényhullám esetében.

Einstein azt is mondta, hogy ahogy a Föld mozog a térben, minden mérhető hosszúság változik (mindig csak egy kicsit). Bármilyen hosszúságot mérő eszköz pontosan annyival fog eltérést mutatni, hogy a fény sebessége ugyanaz maradjon.

A legnehezebb azt megérteni, hogy az egyik keretben egyidejűnek tűnő események nem feltétlenül egyidejűek egy másikban. Ennek számos olyan hatása van, amelyet nem könnyű érzékelni vagy megérteni. Mivel egy tárgy hossza a fejétől a farkáig terjedő távolság egy egyidejű pillanatban, ebből következik, hogy ha két megfigyelő nem ért egyet abban, hogy mely események egyidejűek, akkor ez (néha drámaian) befolyásolja a tárgyak hosszának mérését. Továbbá, ha egy álló megfigyelő számára az órák sora szinkronizáltnak tűnik, és ugyanennek a megfigyelőnek egy bizonyos sebességre való felgyorsulás után nem tűnik szinkronizáltnak, akkor ebből az következik, hogy a gyorsulás során az órák különböző sebességgel futottak. Egyesek akár visszafelé is járhatnak. Ez a gondolatmenet vezet el az általános relativitáselmélethez.

Einstein előtt más tudósok is írtak arról, hogy a fény látszólag ugyanolyan sebességgel halad, függetlenül attól, hogy hogyan figyelték meg. Einstein elméletét az tette olyan forradalmivá, hogy a fénysebesség mérését definíció szerint állandónak tekinti, más szóval ez egy természeti törvény. Ennek az a figyelemre méltó következménye, hogy a sebességgel kapcsolatos mérések, a hosszúság és az időtartam, ennek megfelelően változnak.

A Lorentz-transzformációk

A speciális relativitáselmélet matematikai alapjai a Lorentz-transzformációk, amelyek matematikailag leírják a tér és az idő nézetét két olyan megfigyelő számára, akik egymáshoz képest mozognak, de nem tapasztalnak gyorsulást.

A transzformációk meghatározásához egy kartéziánus koordinátarendszert használunk az "események" idejének és terének matematikai leírására.

Minden megfigyelő egy eseményt úgy tud leírni, mint valaminek a térben elfoglalt helyét egy bizonyos időpontban, az (x,y,z,t) koordináták segítségével.

Az esemény helyét az első három koordinátában (x,y,z) határozzuk meg egy tetszőleges középponthoz (0,0,0,0) viszonyítva, így (3,3,3) egy átló, amely 3 egységnyi távolságra (például méter vagy mérföld) megy ki minden irányban.

Az esemény időpontját a t negyedik koordinátával írjuk le egy tetszőleges (0) időponthoz képest, valamilyen időegységben (például másodpercekben, órákban vagy években).

Legyen egy K nevű megfigyelő, aki a t időkoordinátával írja le, hogy mikor történnek az események, és aki az x, y és z térkoordinátákkal írja le, hogy hol történnek az események. Ez matematikailag meghatározza az első megfigyelőt, akinek a "nézőpontja" lesz az első referenciapontunk.

Adjuk meg, hogy egy esemény ideje adott: a megfigyelés időpontja t_(megfigyelt) (mondjuk ma, 12 órakor) mínusz az az idő, amíg a megfigyelés eljutott a megfigyelőhöz.

Ez kiszámítható a megfigyelő és az esemény d_(megfigyelt) távolságaként (mondjuk az esemény egy csillagnál van, amely 1 fényévre van, így a fénynek 1 évbe telik, hogy elérje a megfigyelőt), osztva c-vel, a fény sebességével (több millió mérföld/óra), amelyet úgy határozunk meg, hogy minden megfigyelő számára azonos.

Ez azért helyes, mert a távolságot elosztva a sebességgel megkapjuk az adott távolság megtételéhez szükséges időt (pl. 30 mérföld osztva 10 mérföld/órás sebességgel: 3 órát kapunk, mert ha 3 órán keresztül 10 mérföld/órás sebességgel haladunk, akkor elérjük a 30 mérföldet). Tehát a következő eredményt kapjuk:

t = d / c {\displaystyle t=d/c}

Ez matematikailag meghatározza, hogy mit jelent bármely megfigyelő számára az "idő".

Most, hogy ezek a definíciók megvannak, legyen egy másik megfigyelő K', aki

• a K x tengelye mentén v sebességgel mozog,
• térbeli koordinátarendszere x' , y' és z' ,

ahol az x' tengely egybeesik az x tengellyel, valamint az y' és z' tengellyel - "mindig párhuzamos" az y és z tengellyel.

Ez azt jelenti, hogy amikor K' egy olyan helyet ad meg, mint (3,1,2), akkor az x (ami ebben a példában 3) ugyanaz a hely, amiről K, az első megfigyelő beszélne, de az 1 az y tengelyen vagy a 2 a z tengelyen csak párhuzamos a K' megfigyelő koordinátarendszerének valamelyik helyével, és

• ahol K és K' egybeesik t = t' = 0 időpontban

Ez azt jelenti, hogy a (0,0,0,0,0,0) koordináta mindkét megfigyelő számára ugyanaz az esemény.

Más szóval, mindkét megfigyelőnek van (legalább) egy olyan ideje és helye, amelyben mindketten egyetértenek, ami a hely és az idő nulla.

A Lorentz-transzformációk tehát a következők

t ′ = ( t - v x / c 2 ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle t'=(t-vx/c^{2})/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

x ′ = ( x - v t ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle x'=(x-vt)/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

y ′ = y {\displaystyle y'=y} , és

z ′ = z {\displaystyle z'=z}.

Definiáljunk egy eseményt, amelynek téridő-koordinátái (t,x,y,z) az S rendszerben és (t′,x′,y′,z′) egy olyan vonatkoztatási rendszerben, amely v sebességgel mozog az S′ rendszerhez képest. Ekkor a Lorentz-transzformáció szerint ezek a koordináták a következő módon kapcsolódnak egymáshoz: a Lorentz-tényező és c a fénysebesség a vákuumban, az S′ v sebessége pedig párhuzamos az x-tengellyel. Az egyszerűség kedvéért az y és z koordináták nem változnak, csak az x és t koordináták transzformálódnak. Ezek a Lorentz-transzformációk lineáris leképezések egyparaméteres csoportját alkotják, ezt a paramétert nevezzük gyorsaságnak.

A fenti négy transzformációs egyenletet megoldva a nem alapozott koordinátákra megkapjuk az inverz Lorentz-transzformációt:

t = γ ( t ′ + v x ′ / c 2 ) x = γ ( x ′ + v t ′ ) y = y ′ z = z ′ . {\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}}

Ha ezt az inverz Lorentz-transzformációt úgy kényszerítjük ki, hogy az egybeessen az alapozott rendszerből az alapozás nélküli rendszerbe történő Lorentz-transzformációval, akkor az alapozás nélküli rendszer v′ = -v sebességgel mozog, az alapozott rendszerben mért sebességgel.

Az x-tengelyen nincs semmi különös. A transzformáció vonatkozhat az y- vagy a z-tengelyre, vagy akármilyen irányban, ami a mozgással párhuzamos (a γ faktorral torzított) és a mozgásra merőleges irányokkal is megvalósítható; a részletekért lásd a Lorentz-transzformáció című cikket.

A Lorentz-transzformációk alatt invariáns mennyiséget Lorentz-skalárnak nevezzük.

A Lorentz-transzformáció és annak inverze felírása koordinátakülönbségek formájában, ahol az egyik esemény koordinátái (x1, t1) és (x′1, t′1), egy másik esemény koordinátái (x2, t2) és (x′2, t′2), és a különbségeket a következőképpen definiáljuk.

1. egyenlet: Δ x ′ = x 2 ′ - x 1 ′ , Δ t ′ = t 2 ′ - t 1 ′ . {\displaystyle \Delta x'=x'_{2}-x'_{1}\ ,\ \ \Delta t'=t'_{2}-t'_{1}\ . }

2. egyenlet: Δ x = x 2 - x 1 , Δ t = t 2 - t 1 . {\displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1}\ ,\ \ \ \ \Delta t=t_{2}-t_{1}\ . }

megkapjuk

3. egyenlet: Δ x ′ = γ ( Δ x - v Δ t ) , {\displaystyle \Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\,\Delta t)\ ,\ \ \ \ } Δ t ′ = γ ( Δ t - v Δ x / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t'=\gamma \ \ \left(\Delta t-v\ \Delta x/c^{2}\right)\ . }

4. egyenlet: Δ x = γ ( Δ x ′ + v Δ t ′ ) , {\displaystyle \Delta x=\gamma \ (\Delta x'+v\,\Delta t')\ ,\} } Δ t = γ ( Δ t ′ + v Δ x ′ / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t=\gamma \ \ \left(\Delta t'+v\ \Delta x'/c^{2}\right)\ . }

Ha a különbségek helyett differenciálokat veszünk, akkor a következőt kapjuk

5. egyenlet: d x ′ = γ ( d x - v d t ) , {\displaystyle dx'=\gamma \ (dx-v\\,dt)\ ,\ \ \ } d t ′ = γ ( d t - v d x / c 2 ) . {\displaystyle dt'=\gamma \ \ \left(dt-v\ dx/c^{2}\right)\ . }

6. egyenlet: d x = γ ( d x ′ + v d t ′ ) , {\displaystyle dx=\gamma \ (dx'+v\,dt')\ ,\ } d t = γ ( d t ′ + v d x ′ / c 2 ) . {\displaystyle dt=\gamma \ \ \left(dt'+v\ dx'/c^{2}\right)\ . }

Tömeg, energia és impulzus

A speciális relativitáselméletben egy objektum p {\displaystyle p} impulzusa és E {\displaystyle E} teljes energiája az m {\displaystyle m} tömegének függvényében a következőek

p = m v 1 - v 2 c 2 {\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

és

E = m c 2 1 - v 2 c 2 {\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}.

Gyakran elkövetett hiba (néhány könyvben is), hogy ezt az egyenletet átírják a "relativisztikus tömeg" (a mozgás irányában) m r = m 1 - v 2 c 2 {\displaystyle m_{r}={\frac {m}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} . Ez azért helytelen, mert például a fénynek nincs tömege, de van energiája. Ha ezt a képletet használjuk, akkor a fotonnak (fényrészecskének) tömege van, ami a kísérletek szerint helytelen.

A speciális relativitáselméletben egy objektum tömege, teljes energiája és impulzusa a következő egyenlet szerint függ össze

E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 {\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}} .

Egy nyugalomban lévő tárgy esetében p = 0 {\displaystyle p=0}, így a fenti egyenlet egyszerűsödik E = m c 2 {\displaystyle E=mc^{2}}-ra. . Tehát egy nyugalomban lévő tömeges tárgynak még mindig van energiája. Ezt a nyugalmi energiát E 0 {\displaystyle E_{0}}-nak nevezzük és E 0-val jelöljük:

E 0 = m c 2 {\displaystyle E_{0}=mc^{2}} .

Történelem

A speciális relativitáselmélet szükségessége Maxwell 1865-ben közzétett elektromágneses egyenleteiből adódott. Később kiderült, hogy ezek szerint az elektromágneses hullámok (például a fény) állandó sebességgel (azaz a fénysebességgel) mozognak.

Annak érdekében, hogy James Clerk Maxwell egyenletei összhangban legyenek mind a csillagászati megfigyelésekkel^{[1], mind} a newtoni fizikával,^[2] Maxwell 1877-ben azt javasolta, hogy a fény egy olyan éteren keresztül halad, amely mindenütt jelen van a világegyetemben.

1887-ben a híres Michelson-Morley kísérletben a Föld mozgása által keltett "éterszelet" próbálták kimutatni. ^[3] A kísérlet tartósan nullás eredményei zavarba hozták a fizikusokat, és megkérdőjelezték az éterelméletet.

1895-ben Lorentz és Fitzgerald megállapította, hogy a Michelson-Morley-kísérlet nullás eredménye azzal magyarázható, hogy az éterszél az éter mozgásának irányában összehúzza a kísérletet. Ezt a hatást Lorentz-kontrakciónak nevezik, és (éter nélkül) a speciális relativitáselmélet következménye.

Lorentz 1899-ben publikálta először a Lorentz-egyenleteket. Bár nem ez volt az első publikálásuk, ez volt az első alkalom, hogy a Michelson-Morley-féle nullás eredmény magyarázataként használták őket, mivel a Lorentz-összehúzódás ezekből következik.

1900-ban Poincaré híres beszédet tartott, amelyben azt a lehetőséget mérlegelte, hogy a Michelson-Morley-kísérlet magyarázatához "új fizikára" van szükség.

1904-ben Lorentz megmutatta, hogy az elektromos és a mágneses mezők a Lorentz-transzformációk segítségével egymásba módosíthatók.

1905-ben Einstein az Annalen der Physik című folyóiratban publikálta a speciális relativitáselméletet bevezető cikkét, "On the Electrodynamics of Moving Bodies" (A mozgó testek elektrodinamikájáról) címmel. Ebben a cikkben bemutatta a relativitáselmélet posztulátumait, levezette belőlük a Lorentz-transzformációkat, és (Lorentz 1904-es cikkét nem ismerve) azt is megmutatta, hogyan hatnak a Lorentz-transzformációk az elektromos és mágneses mezőkre.

Később, 1905-ben Einstein újabb cikket publikált, amelyben bemutatta az E = mc2-t.

1908-ban Max Planck megerősítette Einstein elméletét, és azt "relativitáselméletnek" nevezte el. Ugyanebben az évben Hermann Minkowski híres előadást tartott a Térről és időről, amelyben kimutatta, hogy a relativitáselmélet önkonzisztens, és továbbfejlesztette az elméletet. Ezek az események arra kényszerítették a fizikusok közösségét, hogy komolyan vegyék a relativitáselméletet. A relativitáselmélet ezután egyre elfogadottabbá vált.

1912-ben Einsteint és Lorentzt a relativitáselmélet terén végzett úttörő munkájukért fizikai Nobel-díjra jelölték. Sajnos a relativitáselmélet akkoriban annyira ellentmondásos volt, és sokáig ellentmondásos is maradt, hogy Nobel-díjat soha nem adtak érte.

Kísérleti megerősítések

• A Michelson-Morley-kísérlet, amelynek során nem sikerült kimutatni a fénysebességben a fény mozgásának iránya szerinti különbséget.
• Fizeau kísérlete, amelyben a fény törésmutatója a mozgó vízben nem tehető 1-nél kisebbre. A megfigyelt eredményeket a sebességek összeadásának relativisztikus szabálya magyarázza.
• A fény energiája és impulzusa az E = p c {\displaystyle E=pc} egyenletnek engedelmeskedik. (A newtoni fizikában ez várhatóan E = 1 2 p c {\displaystyle E={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}pc}}lesz.).
• A transzverzális Doppler-effektus, amely során a gyorsan mozgó tárgy által kibocsátott fény az időtágulás miatt vörösre tolódik.
• A Föld felszínén a felső légkörben keletkező müonok jelenléte. A probléma az, hogy a müonok felezési idejénél jóval hosszabb időbe telik, amíg lejutnak a Föld felszínére, még közel fénysebességgel is. Jelenlétük vagy az időtágulás (a mi szemszögünkből), vagy a földfelszíntől való távolság hosszának összehúzódása (a müonok szemszögéből) miatt lehet.
• Részecskegyorsítókat nem lehet a relativisztikus fizika figyelembevétele nélkül építeni.

Kapcsolódó oldalak

• Általános relativitáselmélet