A Lorentz-tényező az a tényező, amellyel az idő, a hosszúság és a tömeg változik a fénysebességhez közeli sebességgel (relativisztikus sebességgel) mozgó tárgyak esetében.
Az egyenlet a következő:
γ = 1 1 - ( v c ) 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}} 
ahol v a tárgy sebessége, c pedig a fénysebesség. A (v/c) mennyiséget gyakran β-vel jelölik. 
(béta), és így a fenti egyenlet átírható:
γ = 1 / sqrt(1 − β²), ahol β = v / c.
Alapvető tulajdonságok
Értéktartomány: γ ≥ 1 minden tömeggel rendelkező részecske esetén. γ = 1 pontosan akkor, ha v = 0, és γ → ∞ amikor v közelít a c-hez. Ez tükrözi, hogy a fénysebességhez tartózó mozgásnál (tömeggel rendelkező részecskénél) az időtágulás és egyéb relativisztikus hatások divergnak.
Kapcsolat a megfelelő (proper) idővel és a koordináta-idővel: Ha Δτ a részecske saját (proper) ideje, és Δt egy inert vázból mért időintervallum, akkor
Δt = γ Δτ.
Időtágulás és hosszkontrakció
Időtágulás: Az mozgó órák lassabban járnak a nyugalmi megfigyelőhöz képest: egy mozgó rendszerben mért saját idő Δτ rövidebb, mint a laboratóriumi idő Δt, mert Δt = γ Δτ. Ez a jelenség kísérletileg is igazolt (pl. gyorsított részecskék bomlási idejének megnövekedése).
Hosszkontrakció: Az adott tárgy longitudinális (mozgásirányú) hossza a mozgás irányára merőleges vázból mérve rövidebb lesz:
L = L0 / γ, ahol L0 a tárgy saját (nyugalmi) hossza, L pedig a mozgó tárgyból mért hossz.
Impulzus, energia, és „relativisztikus tömeg”
A klasszikus kifejezések relatívisztikus megfelelői:
- Impulzus: p = γ m v (itt m a nyugalmi tömeg, sok modern forrás a továbbiakban az invariáns—nyugalmi—tömeget használja).
- Teljes energia: E = γ m c². Ennek v = 0 esetén E = m c² az ún. nyugalmi energia.
- Relativisztikus tömeg: Régebbi irodalomban gyakori a m_rel = γ m0 fogalom, de ez mára kevésbé használatos; a legtöbb modern fizikus az invariáns tömeget (m0) tartja alapvetőnek, és az energiát/impulzust használja a mozgás jellemzésére.
Matematikai kiterjesztések és közelítések
Kis sebességű közelítés (v << c): γ ≈ 1 + 1/2 (v²/c²) + 3/8 (v^4/c^4) + … Ez megmagyarázza, hogy alacsony sebességeken a relativisztikus korrekciók kis másodrendű javításokként jelentkeznek, és a klasszikus mechanika jó közelítést ad.
Gyorsulás a fénysebesség határához: Ahogy v → c, a nevező → 0, ezért γ → ∞. Ez az oka annak, hogy tömeggel rendelkező részecskét végtelen energiával lehetne csak a fénysebességre gyorsítani — fizikailag megoldhatatlan.
Példák számszerűen
- v = 0,6 c → β = 0,6, γ = 1,25
- v = 0,8 c → β = 0,8, γ ≈ 1,6667
- v = 0,99 c → β = 0,99, γ ≈ 7,09
- v = 0,999 c → β = 0,999, γ ≈ 22,37
Fizikai szerepe és eredete
A Lorentz-tényező a speciális relativitáselméletből következik: az a következmény, hogy a fénysebesség minden inerciarendszerben azonos. Matematikaian a Lorentz-transzformációkhoz tartozik, és kapcsolatban áll a Minkowski-téridő intervallumával. A megfelelő idő és a tér koordinátái közötti transzformációk úgy írhatók fel, hogy γ megjelenik az idő- és térkomponensek keveredésében.
Összefoglalás
A Lorentz-faktor γ alapvető mennyiség a relativisztikus mozgás leírásában: megadja az időtágulás, hosszkontrakció, az energia és az impulzus relativisztikus korrekcióját. Mindig ≥ 1, közel 1 kis sebességeknél, és divergál, amikor a részecske sebessége a fénysebességhez közelít. A modern szemlélet az invariáns tömegre és az energiára/impulzusra helyezi a hangsúlyt, de γ továbbra is központi szerepet játszik a fizikai számításokban.
