Lorentz-faktor (γ): a relativisztikus idő-, hossz- és tömegváltozás
Lorentz-faktor (γ): képlet, magyarázat és példák — hogyan okozza az idődilatációt, hosszkontrakciót és tömegváltozást relativisztikus sebességnél; érthető áttekintés.
A Lorentz-tényező az a tényező, amellyel az idő, a hosszúság és a tömeg változik a fénysebességhez közeli sebességgel (relativisztikus sebességgel) mozgó tárgyak esetében.
Az egyenlet a következő:
γ = 1 1 - ( v c ) 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}} 
ahol v a tárgy sebessége, c pedig a fénysebesség. A (v/c) mennyiséget gyakran β-vel jelölik. 
(béta), és így a fenti egyenlet átírható:
γ = 1 / sqrt(1 − β²), ahol β = v / c.
Alapvető tulajdonságok
Értéktartomány: γ ≥ 1 minden tömeggel rendelkező részecske esetén. γ = 1 pontosan akkor, ha v = 0, és γ → ∞ amikor v közelít a c-hez. Ez tükrözi, hogy a fénysebességhez tartózó mozgásnál (tömeggel rendelkező részecskénél) az időtágulás és egyéb relativisztikus hatások divergnak.
Kapcsolat a megfelelő (proper) idővel és a koordináta-idővel: Ha Δτ a részecske saját (proper) ideje, és Δt egy inert vázból mért időintervallum, akkor
Δt = γ Δτ.
Időtágulás és hosszkontrakció
Időtágulás: Az mozgó órák lassabban járnak a nyugalmi megfigyelőhöz képest: egy mozgó rendszerben mért saját idő Δτ rövidebb, mint a laboratóriumi idő Δt, mert Δt = γ Δτ. Ez a jelenség kísérletileg is igazolt (pl. gyorsított részecskék bomlási idejének megnövekedése).
Hosszkontrakció: Az adott tárgy longitudinális (mozgásirányú) hossza a mozgás irányára merőleges vázból mérve rövidebb lesz:
L = L0 / γ, ahol L0 a tárgy saját (nyugalmi) hossza, L pedig a mozgó tárgyból mért hossz.
Impulzus, energia, és „relativisztikus tömeg”
A klasszikus kifejezések relatívisztikus megfelelői:
- Impulzus: p = γ m v (itt m a nyugalmi tömeg, sok modern forrás a továbbiakban az invariáns—nyugalmi—tömeget használja).
- Teljes energia: E = γ m c². Ennek v = 0 esetén E = m c² az ún. nyugalmi energia.
- Relativisztikus tömeg: Régebbi irodalomban gyakori a m_rel = γ m0 fogalom, de ez mára kevésbé használatos; a legtöbb modern fizikus az invariáns tömeget (m0) tartja alapvetőnek, és az energiát/impulzust használja a mozgás jellemzésére.
Matematikai kiterjesztések és közelítések
Kis sebességű közelítés (v << c): γ ≈ 1 + 1/2 (v²/c²) + 3/8 (v^4/c^4) + … Ez megmagyarázza, hogy alacsony sebességeken a relativisztikus korrekciók kis másodrendű javításokként jelentkeznek, és a klasszikus mechanika jó közelítést ad.
Gyorsulás a fénysebesség határához: Ahogy v → c, a nevező → 0, ezért γ → ∞. Ez az oka annak, hogy tömeggel rendelkező részecskét végtelen energiával lehetne csak a fénysebességre gyorsítani — fizikailag megoldhatatlan.
Példák számszerűen
- v = 0,6 c → β = 0,6, γ = 1,25
- v = 0,8 c → β = 0,8, γ ≈ 1,6667
- v = 0,99 c → β = 0,99, γ ≈ 7,09
- v = 0,999 c → β = 0,999, γ ≈ 22,37
Fizikai szerepe és eredete
A Lorentz-tényező a speciális relativitáselméletből következik: az a következmény, hogy a fénysebesség minden inerciarendszerben azonos. Matematikaian a Lorentz-transzformációkhoz tartozik, és kapcsolatban áll a Minkowski-téridő intervallumával. A megfelelő idő és a tér koordinátái közötti transzformációk úgy írhatók fel, hogy γ megjelenik az idő- és térkomponensek keveredésében.
Összefoglalás
A Lorentz-faktor γ alapvető mennyiség a relativisztikus mozgás leírásában: megadja az időtágulás, hosszkontrakció, az energia és az impulzus relativisztikus korrekcióját. Mindig ≥ 1, közel 1 kis sebességeknél, és divergál, amikor a részecske sebessége a fénysebességhez közelít. A modern szemlélet az invariáns tömegre és az energiára/impulzusra helyezi a hangsúlyt, de γ továbbra is központi szerepet játszik a fizikai számításokban.
Klasszikus relativitáselmélet
A klasszikus relativitáselmélet szerint, ha egy labdát 50 mérföld/órás sebességgel dobsz el, miközben 5 mérföld/órás sebességgel futsz, a labda 55 mérföld/órás sebességgel repül. Természetesen a labda még mindig 50 mérföld/órás sebességgel távolodik tőled, tehát ha valaki megkérdezné tőled, akkor azt látnád, hogy a labda 50 mérföld/órás sebességgel halad. Eközben Rory barátod látta, hogy te történetesen 5 mérföld/órás sebességgel futsz. Ő azt mondaná, hogy a labda 55 mérföld/órás sebességgel haladt. Mindkettőtöknek igaza van, csak történetesen együtt haladtatok a labdával.
A fény sebessége, c, 670,616,629 mph. Tehát ha egy autóban ülsz, amely a fénysebesség felével halad (0,5c), és bekapcsolod a fényszórókat, a fény 1 c-vel távolodik tőled... vagy 1,5 c-vel? Végül is c az c, bármi is legyen. A következő részben elmagyarázzuk, hogy miért nem c - 0,5c.
Időtágulás
Amikor az óra mozgásban van, egy apró γ-vel lassabban ketyeg, mint a többi. 
. A híres ikerparadoxon azt mondja, hogy ha két iker van, és az iker A a Földön marad, míg az iker B néhány évig c közelében utazik, akkor amikor az iker B visszatér a Földre, sok évvel fiatalabb lesz, mint az iker A (mert kevesebb időt tapasztalt). Például, ha B ikertestvér 20 évesen távozott, és 10 évig 0,9c-vel utazott, akkor amikor visszatér a Földre, B ikertestvér 30 éves lenne (20 év + 10 év), A ikertestvér pedig majdnem 43 éves:
20 + ( 10 ∗ 1 1 1 - . 9 2 ) = 42.9416 {\displaystyle 20+(10*{\frac {1}{\sqrt {1-.9^{2}}}})=42.9416} 
Twin B egyáltalán nem venné észre, hogy az idő lelassult. Számára, ha kinézne az ablakon, úgy tűnne, mintha az univerzum elmozdulna mellette, és ezért lassabb lenne (ne feledjük, számára ő nyugalomban van). Az idő tehát relatív.
Hosszúság összehúzódás
A dolgok a mozgás irányában rövidülnek, amikor relativisztikus sebességgel haladnak. Az iker B utazása során valami furcsát vesz észre a világegyetemben. Észrevette, hogy az rövidebb lett (összehúzódott a mozgása irányában). És a tényező, amivel a dolgok rövidebbek lesznek, γ {\displaystyle \gamma}. .
Relativisztikus tömeg
A relativisztikus tömeg is növekszik. Ez megnehezíti a tolást. Tehát mire eléri a 0,9999c-t, már nagyon nagy erőre van szüksége ahhoz, hogy gyorsabban haladjon. Ez lehetetlenné teszi, hogy bármi elérje a fénysebességet.
Mégis, ha egy kicsit lassabban haladsz, mondjuk a fénysebesség 90%-ával, a tömeged csak 2,3-szorosára nő. Tehát, bár lehetetlen elérni a fénysebességet, mégis lehetséges, hogy megközelítsük azt - már ha van elég üzemanyagunk.
Kérdések és válaszok
K: Mi a Lorentz-tényező?
V: A Lorentz-együttható az az együttható, amellyel az idő, a hosszúság és a tömeg változik relativisztikus sebességgel (a fénysebességhez közel) egy mozgó objektum esetében.
K: Kinek a nevét viseli?
V: A Lorentz-tényezőt Hendrik Lorentz holland fizikusról nevezték el.
K: Melyik egyenlet írja le a Lorentz-tényezőt?
V: A Lorentz-tényező egyenlete a következő: gamma = 1/(sqrt(1-(v/c)^2)), ahol v az objektum sebessége és c a fénysebesség.
K: Mit jelent a (v/c) ebben az egyenletben?
V: Ebben az egyenletben a (v/c) a béta értéket, azaz a tárgy sebessége és a fénysebesség közötti kapcsolatot jelenti.
K: Hogyan írható át ez az egyenlet?
V: Ezt az egyenletet átírhatjuk gamma = 1/(sqrt(1-béta^2)).
Keres