Fényóra

A fényóra egyszerű módon mutatja be a speciális relativitáselmélet egyik alapvető jellemzőjét. Az óra úgy működik, hogy egy távoli tükörről visszaverődik egy fényvillanás, és a visszatérő fényt felhasználva egy újabb fényvillanást indít el, miközben számolja, hogy hány villanás történt az út során. Könnyű megmutatni, hogy a Földön élő emberek, akik egy ilyen órával figyelik egy űrhajó elrepülését, azt látnák, hogy az viszonylag lassan ketyeg. Ezt a hatást idődilatációnak nevezik.

Mielőtt a fényórát tanulmányoznánk, nézzünk meg egy másik fajta relativitást. Képzeljük el, hogy valaki egy kosárlabdát dribbel egy nagy teherszállító repülőgép rakterében. A kosárlabdázó ugyanabban az irányban mozog, mint a sugárhajtású repülőgép. A repülőgépen tartózkodó többi ember látja, hogy a kosaras egy-két métert mozog, miközben egy-egy dribbletet hajt végre. Az első és a második labdapattanás között körülbelül egy másodperc telik el. De amikor az első pattanás történt, a kosárlabda Gibraltár felett volt, és amikor a második pattanás történt, a kosárlabda a Spanyolországhoz közelebbi víz felett volt. A kosárlabda tehát a Földhöz képest 280 métert mozdult el.

Most tekintsük át a relatív mozgás egy némileg hasonló kérdését. Ezúttal azt fogjuk megvizsgálni, hogy mit látnak az Északi-sarkról a csillagokat figyelő emberek, amikor egy nagyon gyors űrhajó elrepül felettük. Az algebra és a Pitagorasz-tétel segítségével kiszámolhatjuk, hogy mennyivel lassul az idő az űrhajón. Az egyetlen dolog, amire még szükségünk van, az az egyenlet, amely a távolságot, d, az utazási sebességet, r, és az időt, t, összekapcsolja:

d = rt

A fény sebessége állandó, ezért ezt az értéket két problémára fogjuk alkalmazni. A fénysebességet c-nek fogjuk nevezni, mivel a tudósok általában ezzel a betűvel szokták megnevezni.

Az óra úgy készül, hogy egy hosszú pólus aljára egy fénykimenetet, a pólus tetejére egy tükröt, a pólus aljára pedig egy elektronikus fényérzékelőt helyeznek. Az órát egy kapcsoló rövid ideig tartó bezárásával indítjuk el, amely egy villanásnyi fényt küld a pólus aljáról a pólus tetejére, ahol az visszatükröződik a pólus aljára. Amikor az oszlop alján lévő fényérzékelő látja a villogó fényt, két dolgot tesz. Hozzáad egyet a hozzá kapcsolt számlálóhoz, és egy másik fényvillanást lő fel a tükörre. Amikor ez a fényvillanás visszaér az oszlop aljára, a számláló kettőre változik, és újabb fényvillanás indul el. Mivel a fény nagyon gyorsan terjed (300 000 kilométer/másodperc), egy közönséges óra által mért minden másodperc alatt a fényóra nagyon sokszor "ketyeg".

A matematika megkönnyítése érdekében azt mondjuk, hogy a pólus fél kilométer hosszú. Ha tehát az Északi-sarkon a nagy távcső mellé épített fényóra mellett állunk, akkor azt látjuk, hogy a fény a fényóra minden egyes "ketyegésénél" egy kilométert tesz meg. Mivel a megtett távolság, d, egyenlő a sebesség és az idő szorzatával, és az érintett sebesség c, megkapjuk az egyenletet:

d = ct

és ezt az egyenletet megoldhatjuk t-re, hogy megtudjuk, hogy az egyes "tick"-ek másodpercben kifejezve mennyi ideig tartanak.

1 km = 300 000 km/másodperc * t másodperc

t másodperc = 1 km/300,000 (km/másodperc) = 1/300,000 másodperc = 0.00000333...3 másodperc

Más szóval, a fényóra minden egyes "ketyegése" 0,00000333...3 másodpercig tart.

Ha egy űrhajó egyenes vonalban repülne az Északi-sark felett a fénysebesség nagy töredékével, és hasonló órával rendelkezne, akkor az áthaladását figyelő emberek azt látnák, hogy a pólus tetején lévő tükör elmozdult közvetlenül a kibocsátó fény fölé, így a fény az ábrán h-val jelölt vonal mentén haladna, majd a másik hipotenuzát követné vissza a pólus aljáig - amely mostanra már megtett egy bizonyos távolságot, mivel az űrhajó olyan gyorsan mozog. Kiszámolhatjuk, hogy a földi emberek szerint mennyi időbe telne egy tikk. Tudjuk, hogy az űrhajó pólusának hossza a, mivel ez ugyanaz a fajta óra, mint amit az emberek az Északi-sarkon használnak. Ki akarjuk számolni t' , hogy mennyi idő alatt ketyeg az óra az űrhajón.

Tudjuk, hogy az űrhajó 1/2 r t' távolságot tesz meg, amíg a fényvillanás felfelé tart a tükör felé, és további 1/2 r t' távolságot, amíg a fényvillanás lefelé tart a pólus alja felé. Ez a számítás tehát megadja a b vonal hosszát a diagramon. Ismerjük az a-t, így a Pitagorasz-tétel segítségével kiszámíthatjuk h-t:

h = √(a2 + (rt' /2)²)

Tehát a fény által megtett teljes távolság 2 h vagy d = 2 √(a2 + (rt' /2)²)

Azt is tudjuk, hogy a fény sebessége, c, állandó. Mindegy, hogy ki méri meg, mindig ugyanaz a sebesség derül ki. Tehát ezt a tényt felhasználhatjuk arra, hogy egy másik módon kiszámítsuk, mennyi idő alatt jut el a fényvillanás a pólus aljától a csúcsáig és vissza:

t' = d/c

Más szóval d = c t' .

Tehát leírhatjuk

c t' = 2 √(a2 + (rt' /2)²)

vagy

1/2 c t' = √(a2 + (rt' /2)²)

A fenti egyenlet megoldásához a következőkre lesz szükségünk:

1. Mindkét oldal négyzet alakú
2. Osszuk el mindkét oldalt t' ²
3. Mindkét oldalt szorozzuk meg 4-gyel
4. Osszuk el mindkét oldalt c2-vel
5. Egyszerűsítsük c2 / c2
6. Vonjuk ki mindkét oldalból az r2/c2 értéket.
7. Vegyük mindkét oldal négyzetgyökét
8. Mindkét oldalt szorozzuk meg t' -vel
9. Osszuk el mindkét oldalt √(1-r2/c2)-vel.

A fenti egyenletet megoldva azt találjuk, hogy:

t' = 2a/(c√(1-r2/c2)

Az Északi-sarkon az óra ketyegése között eltelt idő 2a/c, így leírhatjuk:

t' = t/√(1-r2/c2)

Ha t = 1 másodperc, akkor ha az űrhajó a fénysebesség felével halad, akkor t' = 1,1547 másodperc.

Kísérletezzen különböző sebességekkel a következő címen: http://www.1728.org/reltivty.htm

Kérdések és válaszok

K: Mi az a fénycsengő?

K: Mi az időtágulás?

K: Hogyan lehet kiszámítani, hogy mennyivel lassul az idő egy űrhajóban?

K: Hogyan működik egy fényóra?

K: Milyen egyenletre van szükségünk ehhez a számításhoz?

K. Hogyan kapcsolódik Pitagorasz tétele ehhez a számításhoz?

Keresés betűvel