Fényóra — a speciális relativitás és az idődilatáció magyarázata
Fényóra: egyszerű, vizuális magyarázat a speciális relativitás elméletére és az idődilatáció szemléltetésére — érthetően és matematikailag is igazolva.
A fényóra egyszerű, mégis szemléletes eszköz arra, hogy bemutassuk a speciális relativitáselmélet egyik legfontosabb következményét: az idődilatációt, azaz hogy a gyorsan mozgó rendszerekben lassabban telik az idő a külső, nyugvó megfigyelőhöz képest. A fényóra működése: egy alul elhelyezett fényforrás és fényérzékelő, valamint a pólus tetején egy tükör váltja egymást — egy villanás felmegy a tükörig, visszaverődik, az érzékelő regisztrálja és újabb villanást indít el. Így az óra „ketyegéseit” a fényvisszaverődések számolja.
Előbb mutatunk egy hétköznapibbnak tűnő, de hasonló gondolatmenetet. Képzeljünk el valakit, aki egy teherrepülő rakterében kosárlabdázik. A fedélzeten ülők érzékelik, hogy a labda egy gömbölyű utat ír le a kéz és a padló között: a pattanások között például nagyjából egy másodperc telik el. Eközben a repülő a Földhöz viszonyítva előrehalad — így amikor a labda újra lepattan, az egy kicsit előrébb történik a Földhöz képest. Itt a mozgás „összeadódik” a pattanások helyével, de a pattanások közötti idő a fedélzeten ugyanannyi marad. Ez az egyszerű példa segít elképzelni, mit jelent két különböző rendszerben mérni ugyanazt az eseménysorozatot.
Fényóra az Északi-sarkon (nyugvó óra)
Most nézzük meg a fényórát matematikailag. Az egyszerűség kedvéért használjuk a távolság, sebesség és idő alapegyenletét:
d = r t
A relativitás egyik alaptétele szerint a fény sebessége minden megfigyelő számára ugyanaz; ezt a sebességet c-vel jelöljük (kb. 300 000 km/s). Képzeljünk el egy fényórát, amelynek a pólusa hosszúsága a (a pólus aljától a tetejéig mért távolság). Az Északi-sarkon álló megfigyelő szerint egy „ketyegés” alatt a fény felmegy és visszajön, tehát a fény által megtett út d = 2a. Mivel a fénysebesség c, a ketyegés ideje (a nyugvó óra szerint) hogy:
t = d / c = 2a / c
Fényóra, amely gyorsan halad (mozgó óra)
Most képzeljük el ugyanazt az órát, de az űrhajóban, amely az Északi-sark felett átrepül sebességgel, amit jelöljünk r-rel (sok szakirodalom v-vel írja). A hajóhoz rögzített óra hosszúsága ugyanaz: a. A külső megfigyelő (az Északi-sark mellett álló ember) számára a fénynek most nem csupán függőlegesen kell haladnia: amikor a fény felfelé tart, a tükör közben előre mozdul, ezért a fény útja egy ferde szakasz lesz. Az ábra szerint a fény egyik szakasza hossza h, ahol a derékszögű háromszög alapja az űrhajó által elmozdult távolság a fel- (vagy lefelé) tartó út alatt.
Kiszámoljuk, mennyi időt mér a földi megfigyelő egy ketyegésre az űrhajó óráján. Legyen ez az idő t'. Amíg a fény felfelé halad, az űrhajó a külső megfigyelő szerint (r t')/2 távolságot tesz meg; ugyanez igaz a lefelé tartó útra is. A Pitagorasz-tétel szerint ekkor
h = √(a² + (r t'/2)²)
Így a fény által megtett teljes távolság a felfelé és lefelé út miatt d = 2 h = 2 √(a² + (r t'/2)²). Ugyanakkor a fénysebesség minden megfigyelő számára c c t' = 2 √(a² + (r t'/2)²) Fejtsük ki és oldjuk meg t'-re: 1) Négyzetre emelés: c² t'² = 4 [ a² + (r² t'² / 4) ] = 4 a² + r² t'² 2) Hozzuk össze a t'²-es tagokat: c² t'² − r² t'² = 4 a² 3) Kiemelés: t'² (c² − r²) = 4 a² 4) Osztás és gyökvonás: t'² = 4 a² / (c² − r²) ⇒ t' = 2 a / √(c² − r²) Ha tę könyebben írjuk fel, bevezethetjük a nyugvó óra idejét t = 2 a / c. Ekkor t' = (2 a / c) · 1 / √(1 − r² / c²) = t / √(1 − r² / c²) Az utolsó kifejezésben a faktor γ = 1 / √(1 − r² / c²) a Lorentz-faktor. Mivel γ ≥ 1, ezért t' ≥ t: a földi megfigyelő úgy látja, hogy a hajón levő óra «lassabban» ketyeg (a ketyegések közötti idő hosszabb), ez az idődilatáció jelensége. Példaként, ha t = 1 s (az álló óra egy ketyegése egy másodperc), és az űrhajó sebessége r = c/2, akkor t' = 1 / √(1 − (1/2)²) = 1 / √(3/4) ≈ 1,1547 s Azaz a mozgó óra egy ketyegése a földi szemlélő szerint ≈1,1547 másodpercig tart. Fontos megjegyezni, hogy a fényóra levezetése azon alapul, hogy a fény sebessége minden inerciarendszerben ugyanaz, és hogy a fényóra tengelye merőleges a mozgás irányára. A kapott idődilatáció nem pusztán matematikai játék: kísérleti bizonyítékok sora támasztja alá, például a gyorsan mozgó részecskék (muonok) hosszabb élettartama a Föld légkörében, valamint a GPS-műholdak óráinak korrekciója — mindkettő a speciális (és általában a GPS esetében a általános) relativitáselmélet következménye. Ha szeretne kísérletezni különböző sebességekkel és látni az idődilatáció mértékét numerikusan, próbálja ki a következő interaktív oldalt: http://www.1728.org/reltivty.htmAz egyenlet megoldása (lépésenként)
Példa és kísérlet
Fizikai értelmezés és kísérleti bizonyítékok
Kérdések és válaszok
K: Mi az a fénycsengő?
V: A fényóra egy olyan eszköz, amelyet a speciális relativitáselmélet egyik alapvető tulajdonságának demonstrálására terveztek. Úgy működik, hogy egy távoli tükörről visszaveri a fényt, és a visszavert fényt felhasználva újabb fényvillanást vált ki, miközben számolja, hogy hány villanás történt az út során.K: Mi az időtágulás?
V: Az időtágulás egy olyan jelenség, amely akkor következik be, amikor a Földön élő emberek egy fényóra segítségével figyelik egy űrhajó repülését. Úgy látják, hogy a relativitáselmélet hatására viszonylag lassan ketyeg.K: Hogyan lehet kiszámítani, hogy mennyivel lassul az idő egy űrhajóban?
V: Az algebra és a Pitagorasz-tétel segítségével kiszámíthatjuk, hogy mennyivel lassul az idő egy űrhajóban. Két feladatban kell alkalmaznunk a d = rt egyenletet (a távolság egyenlő a sebesség és az idő szorzatával), és a c állandó fénysebességet kell használnunk.K: Hogyan működik egy fényóra?
A: A fényóra egy hosszú rúd alján lévő fényforrásból áll, amelynek tetején egy tükör, alján pedig egy elektronikus érzékelő található. Bekapcsoláskor egyetlen fényvillanás halad át alulról felfelé, ahol visszaverődik lefelé, amikor az alul lévő érzékelő észleli, ami egy számlálót ad hozzá a csatlakoztatott számlálóhoz, és ismét egy újabb villanást indít el felfelé. Ez a folyamat addig folytatódik, amíg le nem állítják vagy vissza nem állítják.K: Milyen egyenletre van szükségünk ehhez a számításhoz?
V: Szükségünk van t' = 2a/(c√(1-r2/c2)), ahol t' (az északi sarki óra ketyegése közötti idő) egyenlő 2a/c osztva √(1-r2/c2)-vel. Ha t = 1 másodperc, és a fénysebesség felével halad, akkor t' = 1,1547 másodperc.K. Hogyan kapcsolódik Pitagorasz tétele ehhez a számításhoz?
V: A Pitagorasz-tétel segít megtalálni h-t (a hipotenúzát), amely része annak az egyenletnek, amely lehetővé teszi számunkra, hogy kiszámítsuk, mennyi ideig tart egy-egy tick másodpercben kifejezve (d=ct). Ha már tudjuk a h-t, meg tudjuk oldani a t' értékét, amely megmondja, hogy az egyes öltések mennyi ideig tartanak a Földön az Északi-sarkról nézve, illetve a hajóról nézve, amely nagyon gyorsan halad el felettük.
Keres