A fényóra egyszerű, mégis szemléletes eszköz arra, hogy bemutassuk a speciális relativitáselmélet egyik legfontosabb következményét: az idődilatációt, azaz hogy a gyorsan mozgó rendszerekben lassabban telik az idő a külső, nyugvó megfigyelőhöz képest. A fényóra működése: egy alul elhelyezett fényforrás és fényérzékelő, valamint a pólus tetején egy tükör váltja egymást — egy villanás felmegy a tükörig, visszaverődik, az érzékelő regisztrálja és újabb villanást indít el. Így az óra „ketyegéseit” a fényvisszaverődések számolja.

Előbb mutatunk egy hétköznapibbnak tűnő, de hasonló gondolatmenetet. Képzeljünk el valakit, aki egy teherrepülő rakterében kosárlabdázik. A fedélzeten ülők érzékelik, hogy a labda egy gömbölyű utat ír le a kéz és a padló között: a pattanások között például nagyjából egy másodperc telik el. Eközben a repülő a Földhöz viszonyítva előrehalad — így amikor a labda újra lepattan, az egy kicsit előrébb történik a Földhöz képest. Itt a mozgás „összeadódik” a pattanások helyével, de a pattanások közötti idő a fedélzeten ugyanannyi marad. Ez az egyszerű példa segít elképzelni, mit jelent két különböző rendszerben mérni ugyanazt az eseménysorozatot.

Fényóra az Északi-sarkon (nyugvó óra)

Most nézzük meg a fényórát matematikailag. Az egyszerűség kedvéért használjuk a távolság, sebesség és idő alapegyenletét:

d = r t

A relativitás egyik alaptétele szerint a fény sebessége minden megfigyelő számára ugyanaz; ezt a sebességet c-vel jelöljük (kb. 300 000 km/s). Képzeljünk el egy fényórát, amelynek a pólusa hosszúsága a (a pólus aljától a tetejéig mért távolság). Az Északi-sarkon álló megfigyelő szerint egy „ketyegés” alatt a fény felmegy és visszajön, tehát a fény által megtett út d = 2a. Mivel a fénysebesség c, a ketyegés ideje (a nyugvó óra szerint) hogy:

t = d / c = 2a / c

Fényóra, amely gyorsan halad (mozgó óra)

Most képzeljük el ugyanazt az órát, de az űrhajóban, amely az Északi-sark felett átrepül sebességgel, amit jelöljünk r-rel (sok szakirodalom v-vel írja). A hajóhoz rögzített óra hosszúsága ugyanaz: a. A külső megfigyelő (az Északi-sark mellett álló ember) számára a fénynek most nem csupán függőlegesen kell haladnia: amikor a fény felfelé tart, a tükör közben előre mozdul, ezért a fény útja egy ferde szakasz lesz. Az ábra szerint a fény egyik szakasza hossza h, ahol a derékszögű háromszög alapja az űrhajó által elmozdult távolság a fel- (vagy lefelé) tartó út alatt.

Kiszámoljuk, mennyi időt mér a földi megfigyelő egy ketyegésre az űrhajó óráján. Legyen ez az idő t'. Amíg a fény felfelé halad, az űrhajó a külső megfigyelő szerint (r t')/2 távolságot tesz meg; ugyanez igaz a lefelé tartó útra is. A Pitagorasz-tétel szerint ekkor

h = √(a² + (r t'/2)²)

Így a fény által megtett teljes távolság a felfelé és lefelé út miatt d = 2 h = 2 √(a² + (r t'/2)²). Ugyanakkor a fénysebesség minden megfigyelő számára c

c t' = 2 √(a² + (r t'/2)²)

Az egyenlet megoldása (lépésenként)

Fejtsük ki és oldjuk meg t'-re:

1) Négyzetre emelés:

c² t'² = 4 [ a² + (r² t'² / 4) ] = 4 a² + r² t'²

2) Hozzuk össze a t'²-es tagokat:

c² t'² − r² t'² = 4 a²

3) Kiemelés:

t'² (c² − r²) = 4 a²

4) Osztás és gyökvonás:

t'² = 4 a² / (c² − r²) ⇒ t' = 2 a / √(c² − r²)

Ha tę könyebben írjuk fel, bevezethetjük a nyugvó óra idejét t = 2 a / c. Ekkor

t' = (2 a / c) · 1 / √(1 − r² / c²) = t / √(1 − r² / c²)

Az utolsó kifejezésben a faktor γ = 1 / √(1 − r² / c²) a Lorentz-faktor. Mivel γ ≥ 1, ezért t' ≥ t: a földi megfigyelő úgy látja, hogy a hajón levő óra «lassabban» ketyeg (a ketyegések közötti idő hosszabb), ez az idődilatáció jelensége.

Példa és kísérlet

Példaként, ha t = 1 s (az álló óra egy ketyegése egy másodperc), és az űrhajó sebessége r = c/2, akkor

t' = 1 / √(1 − (1/2)²) = 1 / √(3/4) ≈ 1,1547 s

Azaz a mozgó óra egy ketyegése a földi szemlélő szerint ≈1,1547 másodpercig tart.

Fizikai értelmezés és kísérleti bizonyítékok

Fontos megjegyezni, hogy a fényóra levezetése azon alapul, hogy a fény sebessége minden inerciarendszerben ugyanaz, és hogy a fényóra tengelye merőleges a mozgás irányára. A kapott idődilatáció nem pusztán matematikai játék: kísérleti bizonyítékok sora támasztja alá, például a gyorsan mozgó részecskék (muonok) hosszabb élettartama a Föld légkörében, valamint a GPS-műholdak óráinak korrekciója — mindkettő a speciális (és általában a GPS esetében a általános) relativitáselmélet következménye.

Ha szeretne kísérletezni különböző sebességekkel és látni az idődilatáció mértékét numerikusan, próbálja ki a következő interaktív oldalt: http://www.1728.org/reltivty.htm