Kalkulus (differenciál- és integrálszámítás): alapfogalmak és alkalmazások

Az 1670-es és 1680-as években az angliai Sir Isaac Newton és a német Gottfried Leibniz egyszerre, egymástól függetlenül dolgoztak a számításon. Newton új módszert akart arra, hogy megjósolhassa, hol láthatja a bolygókat az égbolton, mivel a csillagászat mindig is népszerű és hasznos tudományág volt, és a hajók navigációja szempontjából fontos volt, hogy többet tudjunk az éjszakai égbolton lévő objektumok mozgásáról. Leibniz meg akarta mérni a görbe (egy nem egyenes vonal) alatti teret (területet). Sok évvel később a két férfi azon vitatkozott, hogy ki fedezte fel előbb. Az angliai tudósok Newton mellett álltak ki, de az Európa többi részéből származó tudósok Leibniz mellett. A legtöbb matematikus ma már egyetért abban, hogy mindkét férfi egyformán osztozik az érdemen. A modern számtan egyes részei Newtontól származnak, például a fizikában való felhasználása. Más részei Leibniztől származnak, például az írásához használt szimbólumok.

Nem ők voltak az elsők, akik a matematikát használták a fizikai világ leírására - Arisztotelész és Pitagorasz már korábban is, és Galileo Galilei is, aki szerint a matematika a tudomány nyelve. De mind Newton, mind Leibniz elsőként dolgozott ki egy olyan rendszert, amely leírja, hogyan változnak a dolgok az idő múlásával, és meg tudja jósolni, hogyan fognak változni a jövőben.

A "calculus" latinul egy kis kőre utal, amelyet az ókori rómaiak számoláshoz és szerencsejátékhoz használtak. Az angol "calculate" szó ugyanebből a latin szóból származik.

A differenciálszámítást egy változó változásának mértékének meghatározására használják egy másik változóhoz képest.

A való világban felhasználható egy mozgó tárgy sebességének meghatározására, vagy az elektromosság és a mágnesesség működésének megértésére. Nagyon fontos a fizika és a tudomány számos más területének megértéséhez.

A differenciálszámítás grafikonok készítéséhez is hasznos. Használható egy görbe meredekségének, valamint egy görbe legmagasabb és legalacsonyabb pontjának (ezeket nevezzük maximumnak és minimumnak) meghatározására.

A változók megváltoztathatják az értéküket. Ez eltér a számoktól, mert a számok mindig ugyanazok. Például az 1-es szám mindig egyenlő 1-gyel, a 200-as szám pedig mindig egyenlő 200-zal. A változókat gyakran betűkkel írjuk, például az x betűvel. "X" az egyik ponton lehet egyenlő 1-gyel, a másik ponton pedig 200-zal.

Néhány példa a változókra a távolság és az idő, mert ezek változhatnak. Egy tárgy sebessége az, hogy egy adott idő alatt mekkora távolságot tesz meg. Ha tehát egy város 80 kilométerre van, és egy személy egy autóval egy óra alatt ér oda, akkor átlagosan 80 kilométer/óra sebességgel haladt. De ez csak egy átlag - lehet, hogy bizonyos időszakokban (autópályán) gyorsabban, máskor (közlekedési lámpánál vagy egy kis utcában, ahol emberek laknak) pedig lassabban haladtak. Képzeljük el, hogy egy sofőr csak a kilométeróra (távolságmérő) és az óra segítségével próbálja kitalálni az autó sebességét, sebességmérő nélkül!

Amíg a számítást fel nem találták, ezt csak úgy lehetett kiszámítani, hogy az időt egyre kisebb és kisebb darabokra vágták, így a kisebb idő alatt mért átlagsebesség egyre közelebb került a tényleges sebességhez egy adott időpontban. Ez egy nagyon hosszú és nehéz folyamat volt, és minden egyes alkalommal el kellett végezni, amikor az emberek ki akartak számolni valamit.

Nagyon hasonló probléma a görbe bármely pontján a meredekség (meredekség) meghatározása. Egy egyenes meredekségét könnyű kiszámítani - egyszerűen annyi, hogy mennyivel megy felfelé (y vagy függőleges) és mennyivel megy át (x vagy vízszintes). Egy görbén azonban a meredekség változó (különböző pontokon különböző értékeket vesz fel), mivel az egyenes kanyarodik. De ha a görbét nagyon-nagyon kis darabokra vágnánk, akkor a görbe a ponton majdnem úgy nézne ki, mint egy nagyon rövid egyenes. Tehát a meredekségének kiszámításához a ponton keresztül húzható egy egyenes, amelynek meredeksége megegyezik a görbe meredekségével az adott pontban. Ha ezt pontosan elvégezzük, akkor az egyenesnek ugyanolyan meredeksége lesz, mint a görbének, és ezt nevezzük érintőnek. De nem lehet tudni (nagyon bonyolult matematika nélkül), hogy az érintő pontosan helyes-e, és a szemünk sem elég pontos ahhoz, hogy biztosak legyünk abban, hogy pontos-e, vagy csak nagyon közel van hozzá.

Newton és Leibniz megtalálta a módját annak, hogy egyszerű és logikus szabályok segítségével pontosan kiszámítsa a lejtést (vagy a távolsági példában a sebességet). A görbét végtelen számú, nagyon kis darabra osztották. Ezután kiválasztották a számukra érdekes tartomány két oldalán lévő pontokat, és mindegyiknél kidolgozták az érintőiket. Ahogy a pontok közelebb kerültek egymáshoz a számukra érdekes pont felé, a meredekség megközelített egy adott értéket, ahogy az érintőpontok közeledtek a görbe valódi meredekségéhez. Az a bizonyos érték, amelyhez közeledett, volt a tényleges meredekség.

Tegyük fel, hogy van egy y = f ( x ) függvényünk {\displaystyle y=f(x)} . f a függvény rövidítése, tehát ez az egyenlet azt jelenti, hogy "y az x függvénye". Ez azt mondja, hogy az, hogy y milyen magasan van a függőleges tengelyen, attól függ, hogy x (a vízszintes tengely) éppen mekkora. Például az y = x {\displaystyle2 y=x^{2}} egyenlet esetén az y = x {\displaystyle y=x^{2}} tudjuk, hogy ha x {\displaystyle x} 1, akkor y {\displaystyle y} 1 lesz; ha x {\displaystyle x} 3, akkor y {\displaystyle y} 9 lesz; ha x {\displaystyle x} 20, akkor y {\displaystyle y} 400 lesz. A módszerrel előállított derivált itt x 2{\displaystyle 2x} , vagy 2 szorozva x {\displaystyle x} -el. Tehát anélkül, hogy érintővonalakat kellene rajzolnunk, tudjuk, hogy az f ( x ) = x {\displaystyle2 f(x)=x^{2}} görbe bármelyik pontjánál , a derivált, f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} (prímszimbólummal jelölve), bármelyik pontban x 2{\displaystyle 2x} lesz. A meredekség határértékek segítségével történő kiszámításának ezt a folyamatát differenciálásnak vagy derivált megtalálásának nevezzük.

A deriváltat matematikailag így írhatjuk: f ′ ( x ) = lim h → f0 ( x + h ) - f ( x ) h . {\displaystyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}. }

Leibniz ugyanerre az eredményre jutott, de h " d x {\displaystyle dx} ", ami azt jelenti, hogy "x-re vonatkoztatva". Az f ( x ) eredő változását pedig {\displaystyle f(x)} " d y {\displaystyle dy} ", ami azt jelenti, hogy "egy apró y mennyiség". Leibniz jelölését több könyv is használja, mert könnyen érthető, amikor az egyenletek bonyolultabbá válnak. Leibniz-jelölésben: d y d x = f ′ ( x ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x)}

A matematikusok ezt az alapelméletet továbbfejlesztették, hogy egyszerű algebrai szabályokat alkossanak, amelyek segítségével szinte bármilyen függvény deriváltját meg lehet találni.

Az integrálszámítás egy függvény grafikonja alatti terület kiszámításának folyamata. Egy példa erre egy autó megtett távolságának kiszámítása: ha ismerjük az autó sebességét különböző időpontokban, és megrajzoljuk ennek a sebességnek a grafikonját, akkor az autó megtett távolsága a grafikon alatti terület lesz.

Ezt úgy lehet elérni, hogy a grafikont sok nagyon kis darabra osztjuk, majd minden egyes darab alá nagyon vékony téglalapokat rajzolunk. Ahogy a téglalapok egyre vékonyabbak lesznek, a téglalapok egyre jobban és jobban fedik a grafikon alatti területet. A téglalapok területét könnyű kiszámítani, így kiszámolhatjuk az összes téglalap teljes területét. Vékonyabb téglalapok esetén ez az összterület érték megközelíti a grafikon alatti területet. A terület végső értékét a függvény integráljának nevezzük.

A matematikában az f(x) függvény integrálját a-tól b-ig a következőképpen írjuk fel: ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} .

A számtan fő gondolatát a számtan alaptételének nevezik. Ez a fő gondolat azt mondja ki, hogy a két számítási eljárás, a differenciál- és az integrálszámítás ellentétes. Vagyis valaki a differenciálszámítással visszacsinálhat egy integrálszámítási folyamatot. Továbbá egy személy használhatja az integrálszámítást egy differenciálszámítási eljárás visszafordítására. Ez olyan, mintha az osztást használnánk a szorzás "visszacsinálására", vagy az összeadást a kivonás "visszacsinálására".

Egyetlen mondatban az alaptétel valahogy így hangzik: "Az f függvény integráljának deriváltja maga a függvény".

A számítást olyan dolgok leírására használják, amelyek változnak, mint például a természetben lévő dolgok. Mindezek bemutatására és megtanulására használható:

• Hogyan mozognak a hullámok. A hullámok nagyon fontosak a természetben. Például a hangot és a fényt hullámoknak tekinthetjük.
• Ahol a hő mozog, mint egy házban. Ez hasznos az építészetben (házépítés), hogy a ház fűtése a lehető legolcsóbb legyen.
• Hogyan viselkednek az olyan apró dolgok, mint az atomok.
• Az, hogy milyen gyorsan esik le valami, más néven gravitáció.
• Hogyan működnek a gépek, más néven mechanika.
• A Hold útja a Föld körül. A Föld útja a Nap körül, valamint bármely bolygó vagy hold mozgása a világűrben.