A matematikában a függvény olyan matematikai objektum, amely egyes bemeneti értékekhez egyértelműen hozzárendel egy kimeneti értéket. A bemenet lehet például egy szám, egy vektor vagy bármilyen más elem egy adott halmazból. A függvényt gyakran úgy képzeljük el, mint egy „gépet”, amely egy x bemenetet vesz, és erre válaszul egy y kimenetet ad.

Jelölés és alapfogalmak

Ha egy függvény y-t rendel x-hez, akkor ezt így írjuk: y = f(x). A f a függvény neve. A függvényt formálisan gyakran így jelöljük: f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} , ahol

  • X a függvény tartománya (a bemeneti értékek halmaza),
  • Y a függvény kodomainja, azaz a célhalmaz, amelyből a kimenetek választódhatnak (magyarul gyakran célhalmaz vagy kodomain, az eredmények tényleges halmazát pedig értékkészlet vagy kép néven említjük).
A fenti jelölés tehát három dolgot határoz meg: a tartományt (X), a kodomaint (Y) és a hozzárendelési szabályt (magát a f függvényt).

Tartomány, kodomain és kép (értékkészlet)

A tartomány (domain) az a halmaz, amelyből a bemenetek származnak. A kodomain (célhalmaz) az a halmaz, amelybe a képek tartozhatnak. A függvény tényleges kimeneteinek halmazát, vagyis azt a részhalmazt a kodomainból, amelyet a függvény felvesz, képnek vagy értékkészletnek nevezzük (angolul image vagy range), és jelölése gyakran Im(f) vagy f(X).

Fontos megkülönböztetni a kodomainot és a képet: a kodomain azt határozza meg, hogy honnan választhatják a kimeneteket, míg a kép azt mutatja, mely elemeket valóban vesz fel a függvény.

Példák

Egy egyszerű példa: f(x) = x + 1. Ha bemeneti értékként természetes számokat adunk (0, 1, 2, 3, ...), akkor a kimenet is természetes szám lesz (1, 2, 3, 4, ...). Az eredeti szövegben szereplő jelölések és képek megtartva:

Adunk egy természetes x {\displaystyle x}x (0,1,2,3...) számot, és kapunk egy természetes y {\displaystyle y} számot. y, amely x {\displaystyle x} x+1 (1,2,3,4...).

További példák:

  • Konstansfüggvény: g(x) = 5 minden x-re. A tartomány tetszőleges lehet, a kép pedig {5}.
  • Négyzetfüggvény a valós számok felett: h: R → R, h(x) = x². Itt a kodomain R, a kép azonban [0, ∞), mert x² soha nem lesz negatív.
  • Nem függvény példa: ha egy hozzárendelés ugyanahhoz az x-hez két különböző y-t ad, akkor az nem függvény (a függvényhez minden x-hez legfeljebb egy y tartozhat).

Tulajdonságok: injektív, szürjektív, bijektív

Gyakran vizsgáljuk, hogy a függvény milyen tulajdonságokkal rendelkezik:

  • Injektív (egy-egy): különböző bemenetek különböző kimeneteket adnak. Formálisan: ha f(x1)=f(x2), akkor x1=x2. Példa: f(x)=2x a valós számok között injektív.
  • Szürjektív (onto): a kép egyenlő a kodomainnal, azaz minden elem a kodomainból valósizínűleg elérhető mint kimenet. Példa: f: R → R, f(x)=x³ szürjektív.
  • Bijektív: egyszerre injektív és szürjektív; ekkor létezik inverz függvény f⁻1, amely visszafordítja a hozzárendelést.

Kompozíció, inverz és identitás

Ha f: X → Y és g: Y → Z, akkor a két függvény összekapcsolásával létrejön a kompozit függvény g ∘ f: X → Z, amely először f-et, majd g-t alkalmazza. Ha f bijektív, akkor létezik inverz f⁻1: Y → X, amely visszaadja az eredeti bemenetet. Az identitásfüggvény id_X: X → X úgy működik, hogy id_X(x) = x minden x-re.

Megjegyzések és általánosítások

A függvény nem feltétlenül adható meg egyszerű képlettel; lehet szabály, táblázat, algoritmus vagy bármilyen hozzárendelési mód. A függvények elmélete kiterjed például a folytonosság, deriválhatóság, mérhetőség és egyéb tulajdonságok vizsgálatára különböző matematikai ágakban.

Összefoglalva: a függvény alapvető fogalom a matematikában, amely egyértelmű hozzárendelást ad egy bemeneti halmazból egy kimeneti halmazba; fontos szerepe van a modellezésben, analízisben és sok más területen.