Függvény (matematika): definíció, tartomány, kodomain és példák
Függvény (matematika): átfogó definíció, tartomány és kodomain magyarázata világos példákkal — kezdőknek és haladóknak, lépésről lépésre.
A matematikában a függvény olyan matematikai objektum, amely egyes bemeneti értékekhez egyértelműen hozzárendel egy kimeneti értéket. A bemenet lehet például egy szám, egy vektor vagy bármilyen más elem egy adott halmazból. A függvényt gyakran úgy képzeljük el, mint egy „gépet”, amely egy x bemenetet vesz, és erre válaszul egy y kimenetet ad.
Jelölés és alapfogalmak
Ha egy függvény y-t rendel x-hez, akkor ezt így írjuk: y = f(x). A f a függvény neve. A függvényt formálisan gyakran így jelöljük: f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} 
, ahol
- X a függvény tartománya (a bemeneti értékek halmaza),
- Y a függvény kodomainja, azaz a célhalmaz, amelyből a kimenetek választódhatnak (magyarul gyakran célhalmaz vagy kodomain, az eredmények tényleges halmazát pedig értékkészlet vagy kép néven említjük).
Tartomány, kodomain és kép (értékkészlet)
A tartomány (domain) az a halmaz, amelyből a bemenetek származnak. A kodomain (célhalmaz) az a halmaz, amelybe a képek tartozhatnak. A függvény tényleges kimeneteinek halmazát, vagyis azt a részhalmazt a kodomainból, amelyet a függvény felvesz, képnek vagy értékkészletnek nevezzük (angolul image vagy range), és jelölése gyakran Im(f) vagy f(X).
Fontos megkülönböztetni a kodomainot és a képet: a kodomain azt határozza meg, hogy honnan választhatják a kimeneteket, míg a kép azt mutatja, mely elemeket valóban vesz fel a függvény.
Példák
Egy egyszerű példa: f(x) = x + 1. Ha bemeneti értékként természetes számokat adunk (0, 1, 2, 3, ...), akkor a kimenet is természetes szám lesz (1, 2, 3, 4, ...). Az eredeti szövegben szereplő jelölések és képek megtartva:
Adunk egy természetes x {\displaystyle x}
(0,1,2,3...) számot, és kapunk egy természetes y {\displaystyle y} számot. 
, amely x {\displaystyle x} +1 (1,2,3,4...).
További példák:
- Konstansfüggvény: g(x) = 5 minden x-re. A tartomány tetszőleges lehet, a kép pedig {5}.
- Négyzetfüggvény a valós számok felett: h: R → R, h(x) = x². Itt a kodomain R, a kép azonban [0, ∞), mert x² soha nem lesz negatív.
- Nem függvény példa: ha egy hozzárendelés ugyanahhoz az x-hez két különböző y-t ad, akkor az nem függvény (a függvényhez minden x-hez legfeljebb egy y tartozhat).
Tulajdonságok: injektív, szürjektív, bijektív
Gyakran vizsgáljuk, hogy a függvény milyen tulajdonságokkal rendelkezik:
- Injektív (egy-egy): különböző bemenetek különböző kimeneteket adnak. Formálisan: ha f(x1)=f(x2), akkor x1=x2. Példa: f(x)=2x a valós számok között injektív.
- Szürjektív (onto): a kép egyenlő a kodomainnal, azaz minden elem a kodomainból valósizínűleg elérhető mint kimenet. Példa: f: R → R, f(x)=x³ szürjektív.
- Bijektív: egyszerre injektív és szürjektív; ekkor létezik inverz függvény f⁻1, amely visszafordítja a hozzárendelést.
Kompozíció, inverz és identitás
Ha f: X → Y és g: Y → Z, akkor a két függvény összekapcsolásával létrejön a kompozit függvény g ∘ f: X → Z, amely először f-et, majd g-t alkalmazza. Ha f bijektív, akkor létezik inverz f⁻1: Y → X, amely visszaadja az eredeti bemenetet. Az identitásfüggvény id_X: X → X úgy működik, hogy id_X(x) = x minden x-re.
Megjegyzések és általánosítások
A függvény nem feltétlenül adható meg egyszerű képlettel; lehet szabály, táblázat, algoritmus vagy bármilyen hozzárendelési mód. A függvények elmélete kiterjed például a folytonosság, deriválhatóság, mérhetőség és egyéb tulajdonságok vizsgálatára különböző matematikai ágakban.
Összefoglalva: a függvény alapvető fogalom a matematikában, amely egyértelmű hozzárendelást ad egy bemeneti halmazból egy kimeneti halmazba; fontos szerepe van a modellezésben, analízisben és sok más területen.
Metaforák
Táblák
A bemeneteket és kimeneteket a képhez hasonló táblázatba lehet tenni; ez egyszerű, ha nincs túl sok adat.
Grafikonok
A képen látható, hogy a 2 és a 3 is párosítva van a c-vel; ez a másik irányban nem megengedett, a 2 nem adhatná ki a c-t és a d-t,minden bemenetnek csak egy kimenete lehet. Az összes f ( x ) {\displaystyle f(x)} 
(a képen c és d) általában az f {\displaystyle f}
képhalmazának nevezzük, és a képhalmaz lehet az egész kodomain vagy nem. Mondhatjuk, hogy a kodomain A részhalmaza a képhalmazzal f(A). Ha a bemeneteknek és a kimeneteknek van egy sorrendje, akkor könnyen ábrázolhatjuk őket egy gráfban:
Így a kép jön a képen a képet a halmaz A. Ez teszi a mind a 2 és 3 van párosítva nem megengedett a másik irányba,még lehet, hogy a kodomain között vagy sem. Megállapítható, hogy a kodomain A részhalmaza a képhalmaz F(A).
Történelem
Az 1690-es években Gottfried Leibniz és Johann Bernoulli használták a függvény szót betűkkel egymás között, így a modern fogalom a számítással egy időben kezdődött.
1748-ban Leonhard Euler adta: "Egy változó mennyiség függvénye olyan analitikus kifejezés, amely a változó mennyiségből és számokból vagy állandó mennyiségekből bármilyen módon összeáll." majd 1755-ben: "Ha egyes mennyiségek úgy függenek más mennyiségektől, hogy ha az utóbbiakat megváltoztatjuk, akkor az előbbi mennyiségeket az utóbbiak függvényeinek nevezzük. Ez a meghatározás meglehetősen széles körben alkalmazható, és minden olyan módot magában foglal, ahogyan az egyik mennyiséget a másik meghatározhatja. Ha tehát x egy változó mennyiséget jelöl, akkor minden olyan mennyiséget, amely x-től bármilyen módon függ, vagy általa meghatározott, x függvényeinek nevezünk." ami nagyon modern.
Általában Dirichletnek tulajdonítják azt a változatot, amelyet a 20. század második feléig az iskolákban használtak: "y egy x változónak az a < x < b intervallumon definiált függvénye, ha az x változó minden értékének ezen az intervallumon belül megfelel az y változó egy meghatározott értéke." Az sem lényeges, hogy milyen módon jön létre ez a megfeleltetés."
1939-ben Bourbaki általánosította a Dirichlet-féle definíciót, és a definíció halmazelméleti változatát a bemenetek és kimenetek közötti megfeleltetésként adta meg; ezt körülbelül 1960-tól használták az iskolákban.
Végül 1970-ben Bourbaki megadta a modern definíciót, mint f = ( X , Y , F ) {\displaystyle f=(X,Y,F)} hármasát. 
, ahol F ⊂ X × Y , ( x , f ( x ) ) ∈ F {\displaystyle F\subset X\times Y,(x,f(x))\ in F}
(azaz f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} és F = { ( x , f ( x ) ) ) | x ∈ X , f ( x ) ∈ Y } {\displaystyle F=\{(x,f(x))|x\in X,f(x)\in Y\}} 
).
Funkciótípusok
- Elemi függvények - Az iskolában általában tanult függvények: törtek, négyzetgyök, szinusz, koszinusz és érintő függvények és néhány más függvény.
- Nem elemi függvények - A legtöbbjük nem használ olyan műveleteket, amelyeket nem tanulunk az iskolában (mint például + vagy -, vagy hatványok). Sok integrál nem elemi függvény.
- Inverz függvények - Olyan függvények, amelyek egy másik függvényt visszavonnak. Például: ha F(x) az f(x)=y inverze, akkor F(y)=x. Nem minden függvénynek van inverze.
- Különleges funkciók: Névvel rendelkező függvények. Például: szinusz, koszinusz és érintő. Az olyan függvényeket, mint f(x)=3x (háromszor x) nem nevezzük speciális függvényeknek. Ezek lehetnek elemi, nem elemi vagy inverz függvények.
Kérdések és válaszok
K: Mi a függvény a matematikában?
V: A függvény a matematikában egy olyan objektum, amely egy bemenetre adott kimenetet állít elő, ami lehet szám, vektor vagy bármi, ami egy halmazon belül létezhet.
K: Mi az a két halmaz, amely a függvényekhez kapcsolódik?
V: Az összes olyan érték halmazát, amelyet x felvehet, tartománynak nevezzük, az összes olyan értéket tartalmazó halmazt pedig, amelyet y felvehet, kodomainnek.
K: Hogyan jelölik gyakran a függvényeket?
V: A függvényeket gyakran dőlt betűkkel jelölik, például f, g, h.
K: Hogyan ábrázolunk egy függvényt?
V: Egy függvényt úgy ábrázolunk, hogy y = f(x), ahol f a függvény neve, és azt írjuk, hogy f : X → Y (függvény X-ből Y-ba), hogy a függvény három részét - tartomány (X), kodomain (Y) és párosítási folyamat (a nyíl) - ábrázoljuk.
K: Tudna példát mondani egy függvényre?
V: Egy függvényre példa az f(x) = x + 1. Az ember bemenetként megad egy x természetes számot, és megkapja az y természetes számot, amely x + 1. Ha például 3-at adunk az f függvénynek bemenetként, akkor a kimenet 4 lesz.
K: Minden függvénynek egyenletnek kell lennie?
V: Nem, nem minden függvénynek kell egyenletnek lennie. A függvények lényege, hogy a bemenetek és a kimenetek valahogyan párosítva vannak - még ha ez nagyon bonyolult is lehet.
Keres