Schrödinger-egyenlet

A Schrödinger-egyenlet egy differenciálegyenlet (olyan egyenlettípus, amely egy ismeretlen szám helyett egy ismeretlen függvényt tartalmaz), amely a kvantummechanika alapját képezi, az egyik legpontosabb elméletet a szubatomi részecskék viselkedéséről. Ez egy matematikai egyenlet, amelyet Erwin Schrödinger 1925-ben gondolt ki. Egy részecske vagy rendszer (részecskék csoportja) hullámfüggvényét határozza meg, amely a tér minden pontján, minden adott időpontban egy bizonyos értékkel rendelkezik. Ezeknek az értékeknek nincs fizikai jelentésük (valójában matematikailag bonyolultak), mégis a hullámfüggvény tartalmaz minden információt, amit egy részecskéről vagy rendszerről tudni lehet. Ez az információ a hullámfüggvény matematikai manipulációjával úgy található meg, hogy az olyan fizikai tulajdonságokra vonatkozó valós értékeket adjon vissza, mint a pozíció, impulzus, energia stb. A hullámfüggvényt úgy lehet elképzelni, mint egy képet arról, hogyan viselkedik ez a részecske vagy rendszer az idővel, és a lehető legteljesebb mértékben leírja azt.

A hullámfüggvény egyszerre több különböző állapotban is lehet, és így egy részecske egyszerre több különböző helyzetben, energiával, sebességgel vagy más fizikai tulajdonsággal is rendelkezhet (azaz "egyszerre két helyen lehet"). Amikor azonban e tulajdonságok egyikét mérjük, akkor annak csak egyetlen konkrét értéke van (amit nem lehet biztosan megjósolni), és a hullámfüggvény ezért csak egyetlen konkrét állapotban van. Ezt nevezzük hullámfüggvény-összeomlásnak, és úgy tűnik, hogy a megfigyelés vagy a mérés aktusa okozza. A hullámfüggvény-összeomlás pontos oka és értelmezése még mindig széles körű vita tárgya a tudományos közösségben.

A térben csak egy irányban mozgó részecskére a Schrödinger-egyenlet a következőképpen néz ki:

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 Ψ ( x , t ) + V ( x ) Ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ∂ ∂ t Ψ ( x , t ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)$

ahol i {\displaystyle i} $i$ -1 négyzetgyöke, ℏ {\displaystyle \hbar } $\hbar$ a redukált Planck-állandó, t {\displaystyle t} $t$ az idő, x {\displaystyle x} egy pozíció, Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,\,t)} $\Psi (x,\,t)$ a hullámfüggvény, és V ( x ) {\displaystyle V(x)} $V(x)$ a potenciális energia, a pozíció egy még nem választott függvénye. A bal oldali egyenértékű a Ψ {\displaystyle \Psi } $\Psi$ .

Erwin Schrödinger mellszobra a bécsi egyetemen. Egy Schrödinger-egyenletet is ábrázol.

Időfüggetlen változat

Feltételezve, hogy a hullámfüggvény Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,t)} $\Psi (x,t)$ , szeparálható, azaz feltételezzük, hogy két változó függvénye egy változó két különböző függvényének szorzataként írható fel:

Ψ ( x , t ) = ψ ( x ) T ( t ) {\displaystyle \Psi (x,t)=\psi (x)T(t)} $\Psi (x,t)=\psi (x)T(t)$

akkor a parciális differenciálegyenletek standard matematikai technikáinak alkalmazásával kimutatható, hogy a hullámegyenlet két különböző differenciálegyenletként írható át.

i ℏ d T ( t ) d t = E T ( t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)} $i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)$

- ℏ 2 2 m d 2 ψ ( x ) d x 2 + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)$

ahol az első egyenlet kizárólag a T ( t ) {\displaystyle T(t)} időtől függ. $T(t)$ , a második egyenlet pedig csak a helyzettől függ ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} $\psi (x)$ , és ahol E {\displaystyle E} $E$ csak egy szám. Az első egyenlet azonnal megoldható, így kapjuk a következő egyenletet

T ( t ) = e - i E t ℏ {\displaystyle T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}} $T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}$

ahol e {\displaystyle e} $e$ az Euler-szám. A második egyenlet megoldásai a potenciális energia függvényétől, V ( x ) {\displaystyle V(x)} $V(x)$ , és így nem oldható meg, amíg ez a függvény meg nem adódik. A kvantummechanika segítségével kimutatható, hogy az E {\displaystyle E} $E$ szám valójában a rendszer energiája, így ezek a szeparálható hullámfüggvények állandó energiájú rendszereket írnak le. Mivel az energia sok fontos fizikai rendszerben (például: egy elektron az atomban) állandó, ezért gyakran a fent bemutatott szeparált differenciálegyenletek sorozatának második egyenletét használják. Ezt az egyenletet időfüggetlen Schrödinger-egyenletnek nevezik, mivel nem tartalmazza a t {\displaystyle t} $t$ értéket.

A hullámfüggvény értelmezései

Született értelmezés

A hullámfüggvénynek számos filozófiai értelmezése létezik, és a következőkben néhány vezető elképzelést veszünk figyelembe. A Born-féle valószínűség-értelmezés (Max Born fizikusról elnevezve) abból az egyszerű gondolatból indul ki, hogy a hullámfüggvény négyzetesen integrálható, azaz.

∫ - ∞ ∞ | Ψ ( x , t ) | 2 d x < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty } $\int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty$

Ennek a meglehetősen egyszerű képletnek nagy fizikai következményei vannak. Born feltételezte, hogy a fenti integrál meghatározza, hogy a részecske valahol a térben létezik. De hogyan találhatjuk meg? Az integrál segítségével

∫ b a Ψ ( x , t ) d x = P ( b < x < a ) {\displaystyle \int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)} $\int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)$

ahol P ( b < x < a ) {\displaystyle P(b<x<a)} annak a valószínűsége $P(b<x<a)$ , hogy a részecske a b {\displaystyle b} és a {\displaystyle $b$ a} közötti tartományban található. Más szóval, egy részecskéről általában csak valószínűségek, átlagok és egyéb, a fizikai mennyiségekhez (helyzet, impulzus stb.) kapcsolódó statisztikai mennyiségek ismerhetők meg előre. Alapvetően ez a Born-értelmezés.

Koppenhágai értelmezés

A fenti gondolatok kibővíthetők. Mivel a Born-értelmezés szerint a tényleges helyzetű részecske nem ismerhető, levezethetjük a következőket. Ha Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 , ... Ψ n {\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}} $\Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}$ a hullámegyenlet megoldásai, akkor ezen megoldások szuperpozíciója, ill.

Ψ s = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + c 3 Ψ 3 + ⋯ + c n Ψ n {\displaystyle \Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}} $\Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}$

szintén megoldás. Ez tehát azt jelenti, hogy a részecske minden lehetséges helyzetben létezik. Ha jön egy megfigyelő és megméri a részecske helyzetét, akkor a szuperpozíció egyetlen lehetséges hullámfüggvényre redukálódik. (azaz Ψ s {\displaystyle \Psi _{s}} $\Psi _{s}$ → Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} $\Psi _{n}$ , ahol Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} $\Psi _{n}$ bármelyik lehetséges hullámfüggvényállapot). Ebből az elképzelésből, hogy egy részecske helyzete nem ismerhető pontosan, és hogy egy részecske egyszerre többféle helyzetben létezik, származik a Bizonytalansági elv. Ennek az elvnek a matematikai megfogalmazása a következőképpen adható meg

Δ x Δ p > ℏ 2 {\displaystyle \Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}} $\Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}$

Ahol Δ x {\displaystyle \Delta x} $\Delta x$ a pozíció bizonytalansága, Δ p {\displaystyle \Delta p} $\Delta p$ pedig a lendület bizonytalansága. Ez az elv matematikailag levezethető az impulzus és a pozíció közötti Fourier-transzformációból, ahogyan azt a kvantummechanika meghatározza, de ebben a cikkben nem vezetjük le.

Egyéb értelmezések

Számos más értelmezés is létezik, például a sokvilág-értelmezés és a kvantumdeterminizmus.

Kérdések és válaszok

K: Mi az a Schrödinger-egyenlet?

V: A Schrödinger-egyenlet a kvantummechanika alapját képező differenciálegyenlet, amelyet Erwin Schrödinger 1925-ben gondolt ki. Egy részecske vagy rendszer hullámfüggvényét határozza meg, amely a tér minden pontján, minden adott időben egy bizonyos értéket vesz fel.

K: Milyen információ nyerhető a hullámfüggvény manipulálásából?

V: A hullámfüggvény matematikai manipulálásával olyan fizikai tulajdonságokkal kapcsolatos valós értékek találhatók, mint a pozíció, az impulzus, az energia stb.

K: Mit jelent, ha egy részecske egyszerre több különböző pozíciót, energiát, sebességet vagy más fizikai tulajdonságot is birtokolhat?

V: Ez azt jelenti, hogy a hullámfüggvény egyszerre több különböző állapotban is lehet, és így egy részecske egyszerre több különböző pozícióval, energiával, sebességgel vagy más fizikai tulajdonsággal rendelkezhet (azaz "egyszerre két helyen lehet").

K: Mi a hullámfüggvény összeomlása?

V: Hullámfüggvény-összeomlásnak nevezzük azt, amikor az egyik ilyen tulajdonság mérésekor csak egy konkrét értéket kap (amit nem lehet biztosan megjósolni), és a hullámfüggvény ezért csak egy konkrét állapotban van. Úgy tűnik, hogy ezt a megfigyelés vagy a mérés aktusa okozza.

K: Melyek a Schrödinger-egyenlet néhány összetevője?

V: A Schrödinger-egyenlet összetevői a következők: i, amely egyenlő a -1 négyzetgyökkel; ℏ, amely a csökkentett Planck-állandó; t, amely az időt jelöli; x, amely a helyzetet jelenti; Ψ (x , t), amely a hullámfüggvényt jelenti; és V(x), amely a potenciális energiát jelenti, mint a helyzet egy még nem választott függvényét.

K: Hogyan értelmezzük a hullámfüggvény összeomlását?

V: A hullámfüggvény-összeomlás pontos oka és értelmezése még mindig széles körben vitatott a tudományos közösségben.