Mi az e? e (Euler-szám, Napier-állandó) — definíció és tulajdonságok
Ismerd meg az e (Euler-szám, Napier-állandó): definíció, tulajdonságok, története és szerepe az exponenciális függvényekben — az irracionális 2,71828 titka.
e egy matematikai állandó, körülbelül 2,718281828459045…, általában Euler-szám néven ismert (a Leonhard Euler svájci matematikus tiszteletére) vagy Napier-állandó néven (a John Napier munkásságához kapcsolódóan). Ugyanolyan alapvető fontosságú a matematikában, mint a π vagy az i. Az e tizedes törtalakja végtelen és nem ismétlődő, ezért irracionális szám; továbbá transcendens (nem gyöke semmilyen nemzéró egész együtthatós polinomnak).
Definíciók és alapformulák
Az e több, egymással egyenértékű módon definiálható. A leggyakoribbak:
- Határérték-definíció: e = limn→∞ (1 + 1/n)n. Ez a definíció a kamatos kamat vizsgálatából ered.
- Számsorozatos alak: e = ∑n=0∞ 1/n! = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + …
- Exponenciális és logaritmus: e az a pozitív szám, amelyhez tartozó természetes alapú logaritmus (ln) definiálható úgy, hogy ln(e) = 1. Az e alapú exponenciális függvényt gyakran ex-vel jelöljük.
Fontos tulajdonságok
- Derivált: az f(x) = ex függvény sajátmaga deriváltja, vagyis d/dx ex = ex. Ez különlegessé teszi a bázist a differenciálszámításban.
- Integrál: ∫(1/x) dx természetes logaritmust ad; különösen ∫1e (1/x) dx = 1, mert ln(e) = 1.
- Sorok és határértékek: az e felírható végtelen sorokkal és határértékekkel (lásd fent), ezek stabil számítási módszerek a közelítéshez.
- Irracionalitás és transcendencia: e irracionális — ezt először Lambert bizonyította — és transcendens; Hermite 1873-ban bizonyította, hogy e nem lehet algebrai szám (azaz transcendens).
- Egyes klasszikus identitások: Euler-formula az komplex számokkal kapcsolva: eiπ + 1 = 0, amely összekapcsolja egymással az e-t, i-t, π-t, az 1-et és a 0-t.
Történet
A modern e-fogalom kialakulása a 17. századhoz kapcsolódik. A kamatos kamattal kapcsolatos vizsgálatok során Jacob Bernoulli 1683 körül figyelte meg az (1 + 1/n)n kifejezés viselkedését, és ebből adódott az e felbukkanása. Később matematikusok (köztük Euler) rendszeresen használták és tanulmányozták az e-t, Euler több tulajdonságát és összefüggését írta le, valamint több számjegyét is kiszámította.
Számértékek és közelítések
Az e rövid közelítése: 2,71828182845904523536… Gyakran használják a sorvégi tagokkal vagy határértékek numerikus kikalkulálásával:
- A sorozatos összeg ∑1/n! gyorsan konvergál, ezért gyakori módszer a gépi közelítéshez.
- A (1 + 1/n)n definíció is ad numerikus közelítéseket nagy n-re, de lassabban konvergál, mint a sorozat.
Alkalmazások
Az e sok területen felbukkan:
- Pénzügy: folytonos kamatozás modellezése (folyamatos kamatozás esetén a növekedés aránya e-alapú képlettel adható meg).
- Differenciálegyenletek: az ex és annak kombinációi megoldásai sok lineáris differenciálegyenletnek.
- Valószínűségszámítás és statisztika: például a Poisson-eloszlás képleteiben e szerepel.
- Komplex analízis és Fourier-analízis: Euler-formula és az exponenciális alapú transzformációk miatt.
Összefoglalva: az e egy sokszínű, alapvető matematikai konstans, amelynek tulajdonságai és alkalmazásai a matematika széles területein központi szerepet játszanak. Az e kapcsán további olvasnivalót találhatunk az exponenciális függvényeknél és a logarithmussal kapcsolatos anyagokban.
Mágikus hejroglifák
Az e-t sokféleképpen lehet meghatározni. Jacob Bernoulli, aki felfedezte az e-t, megpróbálta megoldani a problémát:
lim n → ∞ ( +1 n 1) n . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}}\right)^{n}. } 
Más szóval, van egy szám, amelyet a ( +1 n 1) n {\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}} kifejezés 
megközelít, ahogy n nagyobb lesz. Ez a szám az e.
Egy másik definíció szerint a következő képlet megoldását kell megtalálni:
2 + +22 + +33 + + 44+ 556⋱ {\displaystyle 2+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {3}{3+{\cfrac {4}{4+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {6}{\ddots \,}}}}}}}}}}} 
Az y=1/x egyenlet grafikonja alatt kékkel jelölt terület, amely 1-től e-ig terjed, pontosan 1.
Az e szám első 200 helye
A tizedesvessző utáni első 200 számjegy:
e = . 271828182845904523536028747135266249775724709369995 {\displaystyle e=2{.}71828\;18284\;59045\;23536\;02874\;71352\;66249\; 77572\;47093\;69995} 
95749669676277240766303535475945713821785251664274 {\displaystyle \;95749\;66967\;62772\;40766\;30353\;54759\;45713\;82178\;52516\;64274} 
27466391932003059921817413596629043572900334295260 {\displaystyle \;27466\;39193\;20030\;59921\;81741\;35966\;29043\;57290\;03342\;95260} 
59563073813232862794349076323382988075319525101901 … {\displaystyle \;59563\;07381\;32328\;62794\;34907\;63233\;82988\;07531\;95251\;01901\,\ldots } 
.
Kérdések és válaszok
K: Mi az az e szám?
V: Az e szám egy matematikai állandó, amely a természetes logaritmus bázisa, és értéke körülbelül 2,71828.
K: Ki az az Euler, és miért nevezik az e-t néha Euler számának?
V: Euler svájci matematikus volt, és az e-t néha róla nevezik Euler számának, mert fontos hozzájárulásokat tett a tanulmányozásához.
K: Ki az a Napier, és miért nevezik e-t néha Napier állandóságának?
V: Napier skót matematikus volt, aki bevezette a logaritmusokat, és az e-t néha az ő tiszteletére Napier-állandónak nevezik.
K: Fontos matematikai konstans-e az e?
V: Igen, az e egy fontos matematikai állandó, amely ugyanolyan fontos, mint a π és az i.
K: Milyen típusú szám az e?
V: Az e egy irracionális szám, amely nem ábrázolható egész számok hányadosaként, és transzcendens is (nem gyöke semmilyen racionális együtthatójú, nem nulla értékű polinomnak).
K: Miért fontos az e szám a matematikában?
V: Az e szám azért fontos a matematikában, mert nagy jelentősége van az exponenciális függvények szempontjából, és része egy öt fontos matematikai állandóból álló csoportnak, amely az Euler-azonosság egyik megfogalmazásában szerepel.
K: Ki és mikor fedezte fel az e számot?
V: Az e számot Jacob Bernoulli svájci matematikus fedezte fel 1683-ban, amikor a kamatos kamatot tanulmányozta.
Keres