Mi az a komplex szám? Definíció, a+bi forma és alapvető tulajdonságok
Ismerd meg a komplex számokat: definíció, a+bi alak, i szerepe és alapműveletek egyszerű magyarázattal — praktikus példákkal és történeti áttekintéssel.
A komplex szám olyan szám, amely két valós szám kombinációjából áll: egy valós részből és egy képzetes (imaginárius) részből. A képzetes rész alapja a i {\displaystyle i}
, amely definíció szerint négyzetre szorozva -1-et ad: i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ } 
. A komplex számokkal ugyanúgy végezhetünk összeadást, kivonást, szorzást és osztást, és ezek a műveletek a szokásos algebrai tulajdonságokat követik: kommutativitás, asszociativitás és disztributivitás.
Rövid történeti megjegyzés
A komplex számok fogalma a XVI. századi matematikusoknál (például Gerolamo Cardano és Raffaele Bombelli) jelent meg, amikor olyan egyenletek megoldásán dolgoztak, amelyeknél negatív számok négyzetgyökével kellett számolni. A jelölésben nagy szerepe volt Leonhard Euler-nak, aki elterjesztette az i {\displaystyle \mathrm {i}
jelölést.
Alapfogalmak és jelölések
Minden komplex számot felírhatunk az úgynevezett algebrai alakban: a + b i {\displaystyle a+bi} 
, ahol a és b valós számok. Itt a a szám valós része, b pedig az imaginárius része. A jelölések:
- ℜ(z) vagy Re(z) a valós rész; ha z = a + b i {\displaystyle z=a+bi}
, akkor a = ℜ(z) = Re(z). - ℑ(z) vagy Im(z) az imaginárius rész; ekkor b = ℑ(z) = Im(z).
A komplex számot írhatjuk rendezett párként is: (a, b), ahol mindkét komponens valós szám. A valós számok beágyazódnak a komplexek közé: minden valós szám megegyezik egy olyan komplex számmal, amelynek imaginárius része nulla (azaz b = 0).
Geometriai értelmezés (Argand-síkon)
A komplex számokat kétdimenziós koordinátapárként is szemlélhetjük: az a tengely a valós részt, a b tengely az imaginárius részt ábrázolja. Ezt Argand-diagramnak vagy komplex síknak nevezzük. A komplex szám abszolútértékét (modulusát) a pont origótól mért távolságaként definiáljuk: |z| = sqrt(a² + b²). A szám helyzetét az origóhoz képest jellemzi az argumentum (arg z), amely az x tengellyel bezárt szöget adja meg (általában radiánban).
Fontos műveletek és képletek
- Összeadás, kivonás: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
- Szorzás: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Itt felhasználjuk, hogy i² = −1.
- Komplex konjugált: a + bi komplex konjugáltja a − bi, jelölése \overline{z}. A konjugált hasznos az osztásnál és a modulus számításában: z·\overline{z} = a² + b² = |z|².
- Osztás: \displaystyle\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{c^{2}+d^{2}} = \frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}, feltéve, hogy c + di ≠ 0.
Poláris és exponenciális alak, Euler-formula
Ha z = a + bi ≠ 0, akkor felírható poláris alakban: z = r( cos θ + i sin θ ), ahol r = |z| és θ = arg(z). Az Euler-formula összeköti az exponenciálist és a trigonometrikus kifejezéseket:
e^{iθ} = cos θ + i sin θ, ezért z = r e^{iθ}.
De Moivre-tétel: (r e^{iθ})^{n} = r^{n} e^{i n θ}, valamint ennek segítségével határozhatók meg a hatványok és a gyökök. Példa: a nullától különböző z = r e^{iθ} komplex szám n-edik gyökei rendre r^{1/n} e^{i(θ+2kπ)/n}, ahol k = 0,1,...,n−1.
Megoldások és példák
Példa: az egyenlet (x + 1)² = −9 megoldása. A jobb oldalt −9-et írhatjuk −9 = 9·(−1) = 9·i², így x + 1 = ±3i, tehát x = −1 ± 3i.
Osztás példa: (1 + 2i)/(3 − i) előállítása konjugálással: szorozzuk számlálót és nevezőt (3 + i)-vel, majd egyszerűsítve kapjuk a valós és imaginárius részt a nevezőben lévő c² + d² alapján.
Algebrai és halmazelméleti tulajdonságok
A komplex számok halmaza, gyakran jelölve C {\displaystyle \mathbb {C} } 
, egy mezőt alkot: a komplex számok között értelmezett összeadás és szorzás kielégíti a mező axiómáit (van 0 és 1, minden elemnek van additive és multiplicative inverze a 0 kivételével). Ugyanakkor a komplex számokra nem létezik olyan rendezés, amely összeegyeztethető lenne a mezőműveletekkel — vagyis a komplex számok nem rendezett test.
Alkalmazások
A komplex számok számos területen fontos szerepet játszanak:
- elektrotechnika és jelerősítés (impedanciák kezelése), ezért az i {\displaystyle i} jelölése helyett gyakran j {\displaystyle j}
használatos, mert az elektrotechnikában az i {\displaystyle i} más jelentést (áramot) kap. - jelfeldolgozás (Fourier-transzformációk, frekvenciaelemzés),
- kvantummechanika (állapotvektorok és hullámfüggvények komplex értékűek),
- dinamikai rendszerek, analízis és differenciálegyenletek megoldása, valamint számítástechnikai műveletek bizonyos területei.
Összefoglalás
A komplex számok bővítik a valós számok rendszerszerű lehetőségeit úgy, hogy bevezetnek egy új egységet, az i {\displaystyle i}-t, melynek fontos algebrai és geometriai tulajdonságai vannak. Használatukkal egyszerűbbé válik sok egyenlet megoldása, és számos elméleti és gyakorlati probléma kezelhető természetes módon a komplex síkon.
Műveletek komplex számokkal
Az összeadás, kivonás, szorzás, osztás, amennyiben az osztó nem nulla, és az exponenciálás (számok exponenssé emelése) mind lehetséges komplex számokkal. Néhány más számítás is lehetséges komplex számokkal.
Az összetett számok összeadásának és kivonásának szabálya nagyon egyszerű:
Legyen z = ( a + b i ) , w = ( c + d i ) {\displaystyle z=(a+bi),w=(c+di)} 
, akkor z + w = ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i {\displaystyle z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}
, és z - w = ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i {\displaystyle z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}
.
A szorzás egy kicsit más:
z ⋅ w = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c - b d ) + ( b c + a d ) i . {\displaystyle z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i. } 
A komplex számok másik nevezetes művelete a konjugáció. A z = a + b i {\displaystyle z=a+bi}} komplex konjugáltja z ¯ {\displaystyle {\overline {z}}}
a - b i {\displaystyle a-bi}
. Ez elég egyszerű, de a számítások szempontjából fontos, mert z × z ¯ {\displaystyle z\times {\overline {z}}}
minden komplex z {\displaystyle z}}
esetén a valós számokhoz tartozik:
z z ¯ = ( a + b i ) ( a - b i ) = ( a 2 + b 2 ) + ( a b - a b ) i = a 2 + b 2 {\displaystyle z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}}} 
.
Ezt használhatjuk az osztás elvégzésére:
1 z = z ¯ z z z ¯ = a - b i a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i {\displaystyle {\frac {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i} 
w z = w ( 1 z ) = ( c + d i ) ⋅ ( a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i ) = 1 a 2 + b 2 ( ( ( c x + d y ) + ( d x - c y ) i ) . {\displaystyle {\frac {w}{z}}=w({\frac {1}{z}})=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}}\left((cx+dy)+(dx-cy)i\right). } 
A komplex számok leírásának más formái
A komplex számok egy úgynevezett komplex síkon ábrázolhatók. Ha van egy z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} szám, akkor a valós tengelyen egy pontra, a képzeletbeli tengelyen pedig b-re mehetünk, és rajzolhatunk egy vektort ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} 
és ( a , b ) {\displaystyle (a,b)}
között. Ennek a vektornak a hossza kiszámítható a Pitagorasz-tétel és a pozitív valós tengely és a vektor közötti szög segítségével, az óramutató járásával ellentétesen haladva. A z {\displaystyle z} számhoz tartozó vektor hosszát modulusának nevezzük (| z | {\displaystyle |z|}
), a szöget pedig argumentumának ( arg z {\displaystyle \arg z}
).
Ez a komplex számok leírásának trigonometrikus formájához vezet: a szinusz és a koszinusz definíciója szerint minden z {\displaystyle z} esetén az áll, hogy
z = | z | ( cos arg z + i sin arg z ) . {\displaystyle z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z). } 
Ez szorosan kapcsolódik De Moivre képletéhez.
Létezik még egy másik forma is, az úgynevezett exponenciálisforma.
Egy komplex szám vizuálisan úgy ábrázolható, mint két szám, amelyek egy vektort alkotnak egy Argand-diagramon, amely a komplex síkot ábrázolja.
Következtetés
A komplex számok matematikába való beillesztésével minden komplex együtthatós polinomnak olyan gyökerei vannak, amelyek komplex számok. A komplex számok sikeres hozzáadása a matematikához segített megnyitni az utat a számok más fajtáinak létrehozása előtt is, amelyek számos különböző probléma megoldására és magyarázatára alkalmasak, például a hiperösszetett számok, a szedenion, a hiperreális számok, a szürreális számok és sok más számok. Lásd a számok típusait.
Kérdések és válaszok
K: Mi az az összetett szám?
V: A komplex szám egy olyan szám, amely két részből áll, az első rész egy valós szám, a második rész pedig egy képzeletbeli szám.
K: Mi a legfontosabb képzetes szám?
V: A legfontosabb imaginárius szám az i, amelyet úgy definiálnak, hogy négyzetbe állítva -1 lesz.
K: Hogyan használják az aritmetikai függvényeket a komplex számokkal?
V: Az olyan aritmetikai függvények, mint az összeadás, kivonás, szorzás és osztás használhatók komplex számokkal. Ezek is ugyanúgy követik a kommutatív, asszociatív és disztributív tulajdonságokat, mint a valós számok.
K: Milyen szimbólum jelöli a komplex számok halmazát?
V: A komplex számok halmazát gyakran a C szimbólummal ábrázolják.
K: Miért fedezték fel a komplex számokat?
V: A komplex számokat akkor fedezték fel, amikor olyan speciális egyenleteket próbáltak megoldani, amelyekben exponensek szerepelnek, mert ezek valódi problémákat vetettek fel a matematikusok számára.
K: Ki vezette be az i írást erre a számtípusra?
V: Valószínűleg Leonhard Euler volt az, aki bevezette az i írását erre a számtípusra.
K: Hogyan lehet egy komplex számot rendezett párként leírni?
V: Egy komplex számot (a, b) rendezett párként lehet leírni, ahol a és b egyaránt valós szám.
Keres