A komplex szám olyan szám, amely két valós szám kombinációjából áll: egy valós részből és egy képzetes (imaginárius) részből. A képzetes rész alapja a i {\displaystyle i}
, amely definíció szerint négyzetre szorozva -1-et ad: i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ } 
. A komplex számokkal ugyanúgy végezhetünk összeadást, kivonást, szorzást és osztást, és ezek a műveletek a szokásos algebrai tulajdonságokat követik: kommutativitás, asszociativitás és disztributivitás.
Rövid történeti megjegyzés
A komplex számok fogalma a XVI. századi matematikusoknál (például Gerolamo Cardano és Raffaele Bombelli) jelent meg, amikor olyan egyenletek megoldásán dolgoztak, amelyeknél negatív számok négyzetgyökével kellett számolni. A jelölésben nagy szerepe volt Leonhard Euler-nak, aki elterjesztette az i {\displaystyle \mathrm {i}
jelölést.
Alapfogalmak és jelölések
Minden komplex számot felírhatunk az úgynevezett algebrai alakban: a + b i {\displaystyle a+bi} 
, ahol a és b valós számok. Itt a a szám valós része, b pedig az imaginárius része. A jelölések:
- ℜ(z) vagy Re(z) a valós rész; ha z = a + b i {\displaystyle z=a+bi}
, akkor a = ℜ(z) = Re(z). - ℑ(z) vagy Im(z) az imaginárius rész; ekkor b = ℑ(z) = Im(z).
A komplex számot írhatjuk rendezett párként is: (a, b), ahol mindkét komponens valós szám. A valós számok beágyazódnak a komplexek közé: minden valós szám megegyezik egy olyan komplex számmal, amelynek imaginárius része nulla (azaz b = 0).
Geometriai értelmezés (Argand-síkon)
A komplex számokat kétdimenziós koordinátapárként is szemlélhetjük: az a tengely a valós részt, a b tengely az imaginárius részt ábrázolja. Ezt Argand-diagramnak vagy komplex síknak nevezzük. A komplex szám abszolútértékét (modulusát) a pont origótól mért távolságaként definiáljuk: |z| = sqrt(a² + b²). A szám helyzetét az origóhoz képest jellemzi az argumentum (arg z), amely az x tengellyel bezárt szöget adja meg (általában radiánban).
Fontos műveletek és képletek
- Összeadás, kivonás: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
- Szorzás: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Itt felhasználjuk, hogy i² = −1.
- Komplex konjugált: a + bi komplex konjugáltja a − bi, jelölése \overline{z}. A konjugált hasznos az osztásnál és a modulus számításában: z·\overline{z} = a² + b² = |z|².
- Osztás: \displaystyle\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{c^{2}+d^{2}} = \frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}, feltéve, hogy c + di ≠ 0.
Poláris és exponenciális alak, Euler-formula
Ha z = a + bi ≠ 0, akkor felírható poláris alakban: z = r( cos θ + i sin θ ), ahol r = |z| és θ = arg(z). Az Euler-formula összeköti az exponenciálist és a trigonometrikus kifejezéseket:
e^{iθ} = cos θ + i sin θ, ezért z = r e^{iθ}.
De Moivre-tétel: (r e^{iθ})^{n} = r^{n} e^{i n θ}, valamint ennek segítségével határozhatók meg a hatványok és a gyökök. Példa: a nullától különböző z = r e^{iθ} komplex szám n-edik gyökei rendre r^{1/n} e^{i(θ+2kπ)/n}, ahol k = 0,1,...,n−1.
Megoldások és példák
Példa: az egyenlet (x + 1)² = −9 megoldása. A jobb oldalt −9-et írhatjuk −9 = 9·(−1) = 9·i², így x + 1 = ±3i, tehát x = −1 ± 3i.
Osztás példa: (1 + 2i)/(3 − i) előállítása konjugálással: szorozzuk számlálót és nevezőt (3 + i)-vel, majd egyszerűsítve kapjuk a valós és imaginárius részt a nevezőben lévő c² + d² alapján.
Algebrai és halmazelméleti tulajdonságok
A komplex számok halmaza, gyakran jelölve C {\displaystyle \mathbb {C} } 
, egy mezőt alkot: a komplex számok között értelmezett összeadás és szorzás kielégíti a mező axiómáit (van 0 és 1, minden elemnek van additive és multiplicative inverze a 0 kivételével). Ugyanakkor a komplex számokra nem létezik olyan rendezés, amely összeegyeztethető lenne a mezőműveletekkel — vagyis a komplex számok nem rendezett test.
Alkalmazások
A komplex számok számos területen fontos szerepet játszanak:
- elektrotechnika és jelerősítés (impedanciák kezelése), ezért az i {\displaystyle i} jelölése helyett gyakran j {\displaystyle j}
használatos, mert az elektrotechnikában az i {\displaystyle i} más jelentést (áramot) kap. - jelfeldolgozás (Fourier-transzformációk, frekvenciaelemzés),
- kvantummechanika (állapotvektorok és hullámfüggvények komplex értékűek),
- dinamikai rendszerek, analízis és differenciálegyenletek megoldása, valamint számítástechnikai műveletek bizonyos területei.
Összefoglalás
A komplex számok bővítik a valós számok rendszerszerű lehetőségeit úgy, hogy bevezetnek egy új egységet, az i {\displaystyle i}-t, melynek fontos algebrai és geometriai tulajdonságai vannak. Használatukkal egyszerűbbé válik sok egyenlet megoldása, és számos elméleti és gyakorlati probléma kezelhető természetes módon a komplex síkon.
