Komplex számok
A komplex szám egy szám, de több szempontból is különbözik a közönséges számoktól. A komplex szám két szám kombinálásával jön létre. Az első rész egy valós szám. A komplex szám második része egy képzeletbeli szám. A legfontosabb képzeletbeli szám az i {\displaystyle i}
, amely olyan szám, amely négyzetre szorozva -1 lesz ("négyzetre szorozva" azt jelenti, hogy "önmagával szorozva"): i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ } 
. Az összes többi képzeletbeli szám i {\displaystyle i} szorozva egy valós számmal, ugyanúgy, ahogy minden valós számot úgy lehet elképzelni, mint 1 szorozva egy másik számmal. Az olyan számtani függvények, mint az összeadás, kivonás, szorzás és osztás használhatók komplex számokkal. Ezek is kommutatív, asszociatív és disztributív tulajdonságokat követnek, akárcsak a valós számok.
A komplex számokat akkor fedezték fel, amikor olyan speciális egyenleteket próbáltak megoldani, amelyekben exponensek vannak. Ezek kezdtek valódi problémákat okozni a matematikusoknak. Összehasonlításképpen: negatív számok használatával az a + x = b {\displaystyle a+x=b}
egyenletben az a és b minden valós értékére meg lehet találni az x-et, de ha csak pozitív számokat engedünk meg az x-hez, akkor néha lehetetlen pozitív x-et találni, mint például a 3 + x = 1 egyenletben.
Az exponenciálással egy nehézséget kell leküzdeni. Nincs olyan valós szám, amely négyzetre szorozva -1-et adna. Más szóval a -1-nek (vagy bármely más negatív számnak) nincs valós négyzetgyöke. Például nincs olyan valós x {\displaystyle x}
szám, amely megoldja ( x + 1 ) 2 = - 9 {\displaystyle (x+1)^{2}=-9}
. E probléma megoldására a matematikusok bevezettek egy i szimbólumot, és képzeletbeli számnak nevezték el. Ez az a képzeletbeli szám, amely négyzetre szorozva -1-et ad.
Az első matematikusok, akik erre gondoltak, valószínűleg Gerolamo Cardano és Raffaele Bombelli voltak. Ők a 16. században éltek. Valószínűleg Leonhard Euler volt az, aki bevezette az i {\displaystyle \mathrm {i} írását. }
a számot.
Minden komplex számot felírhatunk a + b i {\displaystyle a+bi} 
(vagy a + b ⋅ i {\displaystyle a+b\cdot i}
), ahol a a a szám valós része, b pedig az imaginárius része. Írjuk ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)} 
vagy Re ( z ) {\displaystyle \operatorname {Re} (z)}
a z komplex szám valós részét {\displaystyle z}
. Ha tehát z = a + b i {\displaystyle z=a+bi}
, akkor a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\displaystyle a=\Re (z)=\operatornév {Re} (z)}
. Hasonlóképpen írjuk ℑ ( z ) {\displaystyle \Im (z)} 
vagy Im ( z ) {\displaystyle \operatorname {Im} (z)}
a z komplex szám képzetes része {\displaystyle z} ; b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)} 
, ugyanarra a z-re. Minden valós szám egyben komplex szám is; olyan z komplex szám, amelynek ℑ ( z ) = 0 {\displaystyle \Im (z)=0}
.
A komplex számot rendezett párként is fel lehet írni: (a, b). Mind a, mind b valós szám. Bármely valós szám egyszerűen felírható a + 0 ⋅ i {\displaystyle a+0\cdot i} 
vagy (a, 0) párként.
Néha i {\displaystyle i} helyett j {\displaystyle j}-t
írunk. Az elektrotechnikában az i {\displaystyle i} elektromos áramot jelent. Az i {\displaystyle i} írása sok problémát okozhat, mivel a villamosmérnöki tudományban egyes számok összetett számok.
A komplex számok halmazát általában úgy írjuk, hogy C {\displaystyle \mathbb {C} } 
.
Műveletek komplex számokkal
Az összeadás, kivonás, szorzás, osztás, amennyiben az osztó nem nulla, és az exponenciálás (számok exponenssé emelése) mind lehetséges komplex számokkal. Néhány más számítás is lehetséges komplex számokkal.
Az összetett számok összeadásának és kivonásának szabálya nagyon egyszerű:
Legyen z = ( a + b i ) , w = ( c + d i ) {\displaystyle z=(a+bi),w=(c+di)} 
, akkor z + w = ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i {\displaystyle z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}
, és z - w = ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i {\displaystyle z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}
.
A szorzás egy kicsit más:
z ⋅ w = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c - b d ) + ( b c + a d ) i . {\displaystyle z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i. } 
A komplex számok másik nevezetes művelete a konjugáció. A z = a + b i {\displaystyle z=a+bi}} komplex konjugáltja z ¯ {\displaystyle {\overline {z}}}
a - b i {\displaystyle a-bi}
. Ez elég egyszerű, de a számítások szempontjából fontos, mert z × z ¯ {\displaystyle z\times {\overline {z}}}
minden komplex z {\displaystyle z}} esetén a valós számokhoz tartozik:
z z ¯ = ( a + b i ) ( a - b i ) = ( a 2 + b 2 ) + ( a b - a b ) i = a 2 + b 2 {\displaystyle z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}}} 
.
Ezt használhatjuk az osztás elvégzésére:
1 z = z ¯ z z z ¯ = a - b i a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i {\displaystyle {\frac {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i} 
w z = w ( 1 z ) = ( c + d i ) ⋅ ( a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i ) = 1 a 2 + b 2 ( ( ( c x + d y ) + ( d x - c y ) i ) . {\displaystyle {\frac {w}{z}}=w({\frac {1}{z}})=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}}\left((cx+dy)+(dx-cy)i\right). } 
A komplex számok leírásának más formái
A komplex számok egy úgynevezett komplex síkon ábrázolhatók. Ha van egy z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} szám, akkor a valós tengelyen egy pontra, a képzeletbeli tengelyen pedig b-re mehetünk, és rajzolhatunk egy vektort ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} 
és ( a , b ) {\displaystyle (a,b)}
között. Ennek a vektornak a hossza kiszámítható a Pitagorasz-tétel és a pozitív valós tengely és a vektor közötti szög segítségével, az óramutató járásával ellentétesen haladva. A z {\displaystyle z} számhoz tartozó vektor hosszát modulusának nevezzük (| z | {\displaystyle |z|}
), a szöget pedig argumentumának ( arg z {\displaystyle \arg z}
).
Ez a komplex számok leírásának trigonometrikus formájához vezet: a szinusz és a koszinusz definíciója szerint minden z {\displaystyle z} esetén az áll, hogy
z = | z | ( cos arg z + i sin arg z ) . {\displaystyle z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z). } 
Ez szorosan kapcsolódik De Moivre képletéhez.
Létezik még egy másik forma is, az úgynevezett exponenciálisforma.
Egy komplex szám vizuálisan úgy ábrázolható, mint két szám, amelyek egy vektort alkotnak egy Argand-diagramon, amely a komplex síkot ábrázolja.
Következtetés
A komplex számok matematikába való beillesztésével minden komplex együtthatós polinomnak olyan gyökerei vannak, amelyek komplex számok. A komplex számok sikeres hozzáadása a matematikához segített megnyitni az utat a számok más fajtáinak létrehozása előtt is, amelyek számos különböző probléma megoldására és magyarázatára alkalmasak, például a hiperösszetett számok, a szedenion, a hiperreális számok, a szürreális számok és sok más számok. Lásd a számok típusait.
Kérdések és válaszok
K: Mi az az összetett szám?
V: A komplex szám egy olyan szám, amely két részből áll, az első rész egy valós szám, a második rész pedig egy képzeletbeli szám.
K: Mi a legfontosabb képzetes szám?
V: A legfontosabb imaginárius szám az i, amelyet úgy definiálnak, hogy négyzetbe állítva -1 lesz.
K: Hogyan használják az aritmetikai függvényeket a komplex számokkal?
V: Az olyan aritmetikai függvények, mint az összeadás, kivonás, szorzás és osztás használhatók komplex számokkal. Ezek is ugyanúgy követik a kommutatív, asszociatív és disztributív tulajdonságokat, mint a valós számok.
K: Milyen szimbólum jelöli a komplex számok halmazát?
V: A komplex számok halmazát gyakran a C szimbólummal ábrázolják.
K: Miért fedezték fel a komplex számokat?
V: A komplex számokat akkor fedezték fel, amikor olyan speciális egyenleteket próbáltak megoldani, amelyekben exponensek szerepelnek, mert ezek valódi problémákat vetettek fel a matematikusok számára.
K: Ki vezette be az i írást erre a számtípusra?
V: Valószínűleg Leonhard Euler volt az, aki bevezette az i írását erre a számtípusra.
K: Hogyan lehet egy komplex számot rendezett párként leírni?
V: Egy komplex számot (a, b) rendezett párként lehet leírni, ahol a és b egyaránt valós szám.
