Valós számok
A valós szám racionális vagy irracionális szám. Amikor az emberek azt mondják, hogy "szám", akkor általában "valós számot" értenek alatta. A valós számok hivatalos szimbóluma egy félkövér R vagy egy tábla félkövér R {\displaystyle \mathbb {R} } 
.
Néhány valós számot pozitívnak nevezünk. A pozitív szám "nagyobb, mint a nulla". A valós számokat végtelen hosszú vonalzónak lehet elképzelni. A nullának és minden más számnak van egy jele, nagyság szerinti sorrendben. A vonalzóval ellentétben a nulla alatt is vannak számok. Ezeket negatív valós számoknak nevezzük. A negatív számok "kisebbek a nullánál". Olyanok, mint a pozitív számok tükörképe, azzal a különbséggel, hogy mínusz jelet (-) kapnak, így másképp jelölik őket, mint a pozitív számokat.
Végtelen sok valós szám létezik. Nincs legkisebb vagy legnagyobb valós szám. Nem számít, hogy hány valós számot számolunk meg, mindig van még több, amit meg kell számolni. A valós számok között nincsenek üres helyek. Ez azt jelenti, hogy ha két különböző valós számot veszünk, mindig lesz közöttük egy harmadik valós szám, függetlenül attól, hogy az első két szám milyen közel van egymáshoz.
Ha egy pozitív számot hozzáadunk egy másik pozitív számhoz, akkor az a szám nagyobb lesz. A nulla is valós szám. Ha egy számhoz nullát adunk, akkor az a szám nem változik. Ha egy negatív számot hozzáadunk egy másik számhoz, akkor az a szám kisebb lesz.
A valódi számok megszámlálhatatlanok. Ez azt jelenti, hogy nem lehet az összes valós számot sorba rendezni. A valós számok bármelyik sorozatából kimarad egy valós szám, még akkor is, ha a sorozat végtelen. Ez teszi a valós számokat különlegessé. Bár végtelen sok valós szám és végtelen sok egész szám van, mégis azt mondhatjuk, hogy "több" valós szám van, mint egész szám, mert az egész számok megszámlálhatók, a valós számok pedig megszámlálhatatlanok.
Néhány egyszerűbb számrendszer a valós számokon belül van. Például a racionális számok és az egész számok mind a valós számokon belül vannak. Vannak a valós számoknál bonyolultabb számrendszerek is, például a komplex számok. Minden valós szám komplex szám, de nem minden komplex szám valós szám.
A valós számok különböző típusai
A valós számoknak különböző típusai vannak. Néha az összes valós számról nem beszélünk egyszerre. Néha csak speciális, kisebb halmazaikról beszélnek. Ezeknek a halmazoknak speciális nevük van. Ezek a következők:
- Természetes számok: Ezek olyan valós számok, amelyeknek nincs tizedesjegyük, és nagyobbak nullánál.
- Egész számok: Ezek pozitív valós számok, amelyeknek nincsenek tizedesjegyei, és nulla is. A természetes számok szintén egész számok.
- Egész számok: Ezek olyan valós számok, amelyekben nincsenek tizedesjegyek. Ide tartoznak a pozitív és negatív számok is. Az egész számok is egész számok.
- Racionális számok: Ezek olyan valós számok, amelyek egész számok törtrészeként írhatók le. Az egész számok is racionális számok.
- Transzcendens számok nem kaphatók egész számokat tartalmazó egyenlet megoldásával.
- Irracionális számok: Ezek olyan valós számok, amelyek nem írhatók egész számok törtrészeként. A transzcendens számok is irracionálisak.
A 0 (nulla) szám különleges. Néha a figyelembe veendő részhalmaz részének tekintjük, máskor nem. Ez az összeadás és kivonás azonossági eleme. Ez azt jelenti, hogy a nulla hozzáadása vagy kivonása nem változtatja meg az eredeti számot. Szorzásra és osztásra az azonossági elem az 1.
Az egyik valós szám, amely nem racionális, a 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 
. Ez a szám irracionális. Ha egy olyan négyzetet rajzolunk, amelynek oldalai egy egységnyi hosszúak, akkor a szemben lévő sarkok közötti egyenes hossza 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} .
Kérdések és válaszok
K: Mi az a valós szám?
V: A valós szám minden olyan racionális vagy irracionális szám, amely tizedesvesszővel kifejezhető. Ez a leggyakrabban említett számtípus, amikor az emberek azt mondják, hogy "szám".
K: Milyen szimbólum jelöli a valós számokat?
V: A valós számok hivatalos szimbóluma egy félkövér R, vagy egy tábla félkövér R vonat {\displaystyle \mathbb {R} } .
K: Miben különböznek a pozitív és a negatív számok?
V: A pozitív számok "nagyobbak a nullánál", míg a negatív számok "kisebbek a nullánál", és mínuszjelet (-) kapnak, hogy a pozitív számoktól eltérően lehessen őket jelölni.
K: Több valós szám van, mint egész szám?
V: Igen, végtelen sok valós szám van, míg az egész számok megszámlálhatók. Ez azt jelenti, hogy bár mindkét számtípusból végtelen sok van, mégis több valós szám van, mint egész szám.
K: Minden komplex szám egyben valós szám is?
V: Nem, minden valós szám komplex szám, de nem minden komplex szám valós szám. Hasonlóképpen a 3/7 racionális szám, de nem egész szám.
K: Lehetséges az összes valós számot sorba állítani?
V: Nem, mert az összes valós szám halmaza megszámlálhatatlan, ami azt jelenti, hogy bármilyen hosszú is legyen a sorozat, legalább egy mindig kimarad belőle.
