Mi a logaritmus? Definíció, példák és típusok (10-es, természetes)

A logaritmusokat először Indiában használták az i. e. 2. században. Az újkorban elsőként Michael Stifel német matematikus (1487-1567 körül) használta a logaritmusokat. 1544-ben a következő egyenleteket írta le: q m q n = q m + n {\displaystyle q^{m}q^{n}=q^{m+n}} és q m q n = q m - n {\displaystyle {\tfrac {q^{m}}}{q^{n}}}=q^{m-n}}} Ez az alapja a logaritmusok megértésének. Stifel számára m {\displaystyle m} és n {\displaystyle n} egész számoknak kellett lennie. John Napier (1550-1617) nem akarta ezt a korlátozást, és tartományt akart az exponensek számára.

Napier szerint a logaritmusok arányokat fejeznek ki: a {\displaystyle a} ugyanolyan arányban áll b {\displaystyle b} és c {\displaystyle c} és d {\displaystyle d} között, ha logaritmusaik különbsége megegyezik. Matematikailag: log ( a ) - log ( b ) = log ( c ) - log ( d ) {\displaystyle \log(a)-\log(b)=\log(c)-\log(d)} . Eleinte az e bázist használták (annak ellenére, hogy a számnak még nem volt neve). Henry Briggs javasolta, hogy a logaritmusok bázisaként a 10-et használják, az ilyen logaritmusok nagyon hasznosak a csillagászatban.

A logaritmus megmondja, hogy egy adott számhoz milyen exponens (vagy hatvány) szükséges, tehát a logaritmus a hatványozás fordítottja (ellentéte).

Ahogy az exponenciális függvénynek három része van, úgy a logaritmusnak is három része van. A logaritmus három része a bázis, az argumentum és a válasz (más néven a hatvány).

Ez egy exponenciális függvény:

2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8\ }

Ebben a függvényben a bázis 2, az argumentum 3, a válasz pedig 8.

Ennek az exponenciális függvénynek van egy inverze, a logaritmusa:

log 2 ( 8 ) = 3 {\displaystyle \log _{2}(8)=3\ }

Ebben a logaritmusban a bázis 2, az argumentum 8, a válasz pedig 3.

Az összeadásnak van egy fordított művelete: a kivonás. A szorzásnak is van egy fordított művelete: az osztás. Ezért lehet, hogy nehéz megérteni, miért van a szorzásnak valójában két fordított művelete: Miért van szükségünk a logaritmusra, ha már megvan a gyök? Ez azért van így, mert az exponenciálás nem kommutatív.

A következő példa ezt szemlélteti:

• Ha x+2=3, akkor a kivonással megállapíthatjuk, hogy x=3-2. Ugyanez a helyzet, ha 2+x=3: akkor is x=3-2-t kapsz. Ez azért van, mert x+2 ugyanaz, mint 2+x.
• Ha x - 2=3, akkor az osztás segítségével megállapíthatjuk, hogy x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}}. Ugyanez a helyzet, ha 2 - x=3: akkor is megkapjuk, hogy x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} . Ez azért van, mert x - 2 ugyanaz, mint 2 - x.
• Ha x²=3, akkor a (négyzet)gyökkel kiszámíthatjuk x-et: Az eredmény x = 3 {\textstyle {\sqrt {3}}} . Ha azonban 2^x =3, akkor nem használhatjuk a gyökeret x kiszámításához, hanem a (bináris) logaritmust kell használnunk x kiszámításához: Az x=log₂(3) eredményt kapjuk. Ennek az
  az oka, hogy a 2 ^xáltalában nem azonos az x-szel ²(például 2 ⁵=32, de 5²=25).

A logaritmusok megkönnyíthetik a nagy számok szorzását és osztását, mivel a logaritmusok hozzáadása megegyezik a szorzással, a logaritmusok kivonása pedig az osztással.

Mielőtt a számológépek népszerűvé és elterjedtté váltak volna, az emberek könyvekben található logaritmustáblázatokat használtak a szorzáshoz és osztáshoz. Ugyanezek az információk egy logaritmustáblázatban a logaritmusok írásával ellátott eszközön, a csúszószámon is elérhetőek voltak.

• A logaritmikus spirálok gyakoriak a természetben. Ilyen például a nautilus héja vagy a napraforgó magjainak elrendezése.
• A kémiában a hidróniumionok (H₃O ⁺, a vízben a H formája) ⁺aktivitása 10-es bázisú logaritmusának negatívja az a mérték, amelyet pH-nak nevezünk. A hidróniumionok aktivitása semleges vízben 25 °C-on 10 ⁻⁷mol/l, tehát a pH 7. (Ez abból adódik, hogy az egyensúlyi állandó, a hidróniumionok és a hidroxil-ionok koncentrációjának szorzata vízoldatokban 10 ⁻¹⁴M ².)
• A Richter-skála a földrengések intenzitását 10-es logaritmikus skálán méri.
• A csillagászatban a látszólagos fényesség a csillagok fényességét logaritmikusan méri, mivel a szem is logaritmikusan reagál a fényességre.
• A zenei intervallumokat logaritmikusan félhangokban mérik. A két hang közötti intervallum félhangokban kifejezve a frekvenciaarány 2 bázisú ^1/12logaritmusa (vagy ennek megfelelően a 2 bázisú logaritmus 12-szerese). A tört félhangokat a nem egyenlő temperálásoknál használják. Különösen az egyenlő hangolású skálától való eltérések mérésére az intervallumokat centekben (az egyenlő hangolású félhangok századrészeiben) is kifejezik. A két hang közötti intervallum centekben kifejezve a frekvenciaarány bázis-2 ^1/1200logaritmusa (vagy a bázis-2 logaritmus 1200-szorosa). A MIDI-ben a hangjegyek számozása a félhangskálán történik (logaritmikus abszolút névleges hangmagasság, a középső C 60-nál). Más hangolási rendszerekhez történő mikrohangoláshoz logaritmikus skálát határoznak meg, amely kompatibilis módon kitölti az egyenlő hangolású skála félhangjai közötti tartományokat. Ez a skála megfelel az egész félhangokra vonatkozó hangszámoknak. (lásd a mikrohangolást a MIDI-ben).

A 10-es bázisú logaritmusokat közös logaritmusoknak nevezzük. Ezeket általában a bázis nélkül írják. Például:

log ( 100 ) = 2 {\displaystyle \log(100)=2\ }

Ez azt jelenti:

10 2 = 100 {\displaystyle 10^{2}=100\ }

Az e bázisú logaritmusokat természetes logaritmusoknak nevezzük. Az e szám közel 2,71828, és Leonhard Euler matematikus után Euler-állandónak is nevezik.

A természetes logaritmusok a log e ( x ) {\displaystyle \log _{e}(x)\,} vagy ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)\,} jeleket vehetik fel.

Egyes szerzők inkább a természetes logaritmusokat használják log ( x ) {\displaystyle \log(x)}, de ezt általában az előszóban említik meg.

A logaritmusoknak számos tulajdonsága van. Például:

Tulajdonságok a logaritmus definíciójából

Ez a tulajdonság egyenesen a logaritmus definíciójából következik:

log n ( n a ) = a {\displaystyle \log _{n}(n^{a})=a} Például

log 2 ( 2 3 ) = 3 {\displaystyle \log _{2}(2^{3})=3} , és

log 2 ( 1 2 ) = - 1 {\displaystyle \log _{2}{\bigg (}{\frac {1}{2}}}{\bigg )}=-1} mert 1 2 = 2 - 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}=2^{-1}}} .

Egy a szám b
bázisú logaritmusa megegyezik az a logaritmusának és a b logaritmusának hányadosával,

log b ( a ) = log ( a ) log ( b ) {\displaystyle \log _{b}(a)={\frac {\log(a)}{\log(b)}}}

Legyen például a 6 és b 2. Számológépekkel ki tudjuk mutatni, hogy ez igaz, vagy legalábbis nagyon közel van hozzá:

log 2 ( 6 ) = log ( 6 ) log ( 2 ) {\displaystyle \log _{2}(6)={\frac {\log(6)}{\log(2)}}}

log 2 ( 6 ) ≈ 2.584962 {\displaystyle \log _{2}(6)\approx 2.584962}

2.584962 ≈ 0.778151 0.301029 ≈ 2.584970 {\displaystyle 2.584962\approx {\frac {0.778151}{0.301029}}\approx 2.584970}

Eredményeinkben volt egy kis hiba, de ez a számok kerekítéséből adódott.

Mivel a természetes logaritmust nehéz elképzelni, ezért a tízes bázisú logaritmusra vonatkoztatva azt találjuk, hogy:

ln ( x ) = log ( x ) log ( e ) ≈ log ( x ) 0.434294 {\displaystyle \ln(x)={\frac {\log(x)}{\log(e)}}\approx {\frac {\log(x)}{0.434294}}}} Ahol 0,434294 az e logaritmusának közelítése.

Műveletek logaritmus argumentumokon belül

Az argumentumukon belül szorzott logaritmusok a következőképpen módosíthatók:

log ( a b ) = log ( a ) + log ( b ) {\displaystyle \log(ab)=\log(a)+\log(b)}

Például,

log ( 1000 ) = log ( 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ) = log ( 10 ) + log ( 10 ) + log ( 10 ) + log ( 10 ) = 1 + 1 + 1 = 3 {\displaystyle \log(1000)=\log(10\cdot 10\cdot 10)=\log(10)+\log(10)+\log(10)=1+1+1=3}

Ugyanez működik az osztásnál is, de az összeadás helyett a kivonásnál, mivel ez a szorzás fordított művelete:

log ( a b ) = log ( a ) - log ( b ) {\displaystyle \log {\bigg (}{\frac {a}{b}}{\bigg )}=\log(a)-\log(b)}

Logaritmustáblázatok, diagramok és történelmi alkalmazások

Az elektronikus számítógépek előtt a logaritmusokat a tudósok mindennap használták. A logaritmusok számos területen, például a csillagászatban segítették a tudósokat és a mérnököket.

A számítógépek előtt a logaritmustáblázat fontos eszköz volt. Henry Briggs 1617-ben nyomtatta ki az első logaritmustáblázatot. Ez nem sokkal Napier alapvető találmánya után történt. Később az emberek jobb terjedelmű és pontosabb táblázatokat készítettek. Ezek a táblázatok a log_b(x) és b^x értékeit sorolták fel egy bizonyos tartományba eső bármely x számra, egy bizonyos pontossággal, egy bizonyos b bázisra (általában b = 10). Briggs első táblázata például az 1-1000 tartományban lévő összes egész szám közös logaritmusát tartalmazta, 8 számjegy pontossággal. Mivel az f(x) = b^x függvény a log_b (x) fordított függvénye, antilogaritmusnak nevezték el. Az emberek ezeket a táblázatokat használták a számok szorzására és osztására. Egy felhasználó például két pozitív szám mindegyikének logaritmusát megnézte a táblázatban. A táblázatban szereplő számok összeadása megadta a szorzat logaritmusát. A táblázat antilogaritmus funkciója ezután a logaritmus alapján megkereste a szorzatot.

A pontosságot igénylő kézi számításoknál a két logaritmus megkeresése, összegük vagy különbségük kiszámítása és az antilogaritmus megkeresése sokkal gyorsabb, mint a szorzás korábbi módon történő elvégzése.

Sok logaritmustáblázat úgy adja meg a logaritmusokat, hogy külön megadja x karakterisztikáját és mantisszáját, vagyis a log ₁₀(x) egész és tört részét. A 10 - x karakterisztikája egy plusz az x karakterisztikája, és a szignifikánsaik megegyeznek. Ez kiterjeszti a logaritmustáblázatok alkalmazási körét: egy olyan táblázatot kapunk, amely az 1 és 1000 közötti x egész számok log₁₀(x) értékét tartalmazza, és a 3542 logaritmusát a következővel közelíthetjük meg.

log 10 ( 3542 ) = log 10 ( 10 ⋅ 354,2 ) = 1 + log 10 ( 354,2 ) ≈ 1 + log 10 ( 354 ) . {\displaystyle \log _{10}(3542)=\log _{10}(10\cdot 354.2)=1+\log _{10}(354.2)\approx 1+\log _{10}(354).\,}

Egy másik kritikus alkalmazás volt a számológép, egy logaritmikusan osztott skálapár, amelyet a számításokhoz használtak, ahogyan az itt látható:

A számokat a logaritmusuk különbségével arányos távolságban, csúszó skálákon jelöljük. A felső skála megfelelő csúsztatása a logaritmusok mechanikus összeadásának felel meg. Például, ha az alsó skálán lévő 1 és 2 közötti távolságot hozzáadjuk a felső skálán lévő 1 és 3 közötti távolsághoz, akkor 6-os szorzatot kapunk, amelyet az alsó részen olvasunk le. Az 1970-es évekig sok mérnök és tudós használt csúszószabályokat. A tudósok gyorsabban tudnak dolgozni a számológörbével, mint a logaritmustáblával.