Hatvány

A hatványozás (hatványozás) számokkal végzett aritmetikai művelet. Ismételt szorzás, ahogy a szorzás is ismételt összeadás. Az emberek az exponenciálást felső indexszel írják. Ez így néz ki: x y {\displaystyle x^{y}} $x^{y}$ . A matematikai jelölés más módszereit is használták a múltban. Amikor olyan eszközökkel írnak, amelyek nem tudják használni a felső indexet, a hatványokat a ^ vagy ** jelekkel írják, így a 2^3 vagy 2**3 azt jelenti, hogy 2 3 {\displaystyle 2^{3}} $2^{3}$ .

Az x {\displaystyle x} számot bázisnak, az y {\displaystyle y} számot pedig exponensnek nevezzük. Például, a 2 3 {\displaystyle 2^{3}}-ban $2^{3}$ a 2 a bázis, a 3 pedig az exponens.

A 2 3 {\displaystyle 2^{3}} $2^{3}$ kiszámításához a 2-es számot háromszor kell megszorozni önmagával. Tehát 2 3 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 {\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2} $2^{3}=2\cdot 2\cdot 2$ . Az eredmény 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 {\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=8} $2\cdot 2\cdot 2=8$ . Az egyenletet így is felolvashatjuk hangosan: 2 3 hatványára emelve egyenlő 8.

Példák:

5 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125} $5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125$
x 2 = x ⋅ x {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x} $x^{2}=x\cdot {}x$
1 x = 1 {\displaystyle 1^{x}=1} $1^{x}=1$ minden x számhoz

Ha az exponens egyenlő 2-vel, akkor a hatványt négyzetnek nevezzük, mert a négyzet területét 2 {\displaystyle a^{2}} segítségével számoljuk ki. $a^{2}$ . Tehát

x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ az x négyzete {\displaystyle x}

Ha az exponens egyenlő 3-mal, akkor a hatványt kockának nevezzük, mert a kocka térfogatát 3 {\displaystyle a^{3}} $a^{3}$ . Tehát

x 3 {\displaystyle x^{3}} $x^{3}$ az x kockája {\displaystyle x}

Ha az exponens -1, akkor az illetőnek ki kell számolnia a bázis inverzét. Tehát

x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}} $x^{-1}={\frac {1}{x}}$

Ha az exponens egész szám, és kisebb, mint 0, akkor a személynek meg kell fordítania a számot, és ki kell számolnia a hatványt. Például:

2 - 3 = ( 1 2 ) 3 = 1 8 {\displaystyle 2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}}} $2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}$

Ha az exponens egyenlő 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}} ${\frac {1}{2}}$ , akkor az exponenciálás eredménye a bázis négyzetgyöke. Tehát x 1 2 = x . {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}. } $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.$ Példa:

4 1 2 = 4 = 2 {\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2} $4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2$

Hasonlóképpen, ha az exponens 1 n {\displaystyle {\frac {\frac {1}{n}}}} ${\frac {1}{n}}$ az eredmény az n-edik gyök, tehát:

a 1 n = a n {\displaystyle a^{\\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}}} $a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$

Ha az exponens egy p q racionális szám {\displaystyle {\frac {p}{q}}}} ${\frac {p}{q}}$ , akkor az eredmény a bázis q-edik gyöke p hatványára emelve, tehát:

a p q = a p q {\displaystyle a^{\\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}} $a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}$

Az exponens nem is lehet racionális. Ahhoz, hogy egy a bázist egy irracionális x-edik hatványra emeljünk, a racionális számok végtelen sorozatát (xi) használjuk, amelynek a határa x:

x = lim n → ∞ x n {\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}} $x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

mint ez:

a x = lim n → ∞ a x n {\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}} $a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}$

Van néhány szabály, amely segít a teljesítmény kiszámításában:

( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}}} $\left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}$
( a b ) n = a n b n , b ≠ 0 {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0} $\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0$
a r ⋅ a s = a r + s {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}}} $a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}$
a r a s = a r - s , a ≠ 0 {\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0} ${\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0$
a - n = 1 a n , a ≠ 0 {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0} $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0$
( a r ) s = a r ⋅ s {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}} $\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}$
a 0 = 1 {\displaystyle a^{0}=1} $a^{0}=1$

Lehetőség van mátrixok exponenciálásának kiszámítására. A mátrixnak négyzetnek kell lennie. Például: I 2 = I ⋅ I = I {\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I} $I^{2}=I\cdot I=I$

Commutativity

Mind az összeadás, mind a szorzás kommutatív. Például 2+3 ugyanaz, mint 3+2; és 2 - 3 ugyanaz, mint 3 - 2. Bár az exponenciálás ismételt szorzás, nem kommutatív. Például 2³=8, de 3²=9.

Inverz műveletek

Az összeadásnak van egy fordított művelete: a kivonás. A szorzásnak is van egy fordított művelete: az osztás.

De az exponenciálásnak két inverz művelete van: A gyök és a logaritmus. Ez azért van így, mert az exponenciálás nem kommutatív. Ezt láthatod ebben a példában:

Ha x+2=3, akkor a kivonással megállapíthatjuk, hogy x=3-2. Ugyanez a helyzet, ha 2+x=3: akkor is x=3-2-t kapsz. Ez azért van, mert x+2 ugyanaz, mint 2+x.
Ha x - 2=3, akkor az osztás segítségével megállapíthatjuk, hogy x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Ugyanez a helyzet, ha 2 - x=3: akkor is megkapjuk, hogy x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Ez azért van így, mert x - 2 ugyanaz, mint 2 - x
Ha x²=3, akkor a (négyzet)gyökkel kiszámíthatjuk x-et: Az eredmény: x = 3 2 {\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}} ${\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}$ . Ha azonban ^2x=3, akkor nem használhatjuk a gyökeret x kiszámításához, hanem a (bináris) logaritmust kell használnunk x kiszámításához^{: Az} x=log2(3) eredményt kapjuk.

Kapcsolódó oldalak

Exponens

Kérdések és válaszok

K: Mi az az exponenciálás?

V: Az exponenciálás egy számokkal végzett aritmetikai művelet, amelyet úgy lehet elképzelni, mint ismételt szorzást.

K: Hogyan írják le az exponenciálást?

V: A hatványozást általában x^y alakban írjuk, ahol x a bázis, y pedig az exponens. Írható a ^ vagy ** jelek használatával is, például 2^4 vagy 2**4.

K: Milyen példák vannak az exponenciálásra?

V: Az exponenciálás példái közé tartozik az 5^3 = 5*5*5 = 125; x^2 = x*x; 1^x = 1 minden x számra; és 4^(1/2) = sqrt(4) = 2.

K: Mit jelent, ha az exponens egyenlő -1-gyel?

V: Ha az exponens egyenlő -1-gyel, akkor a hatvány egyszerűen a bázis reciproka (x^(-1) = 1/x).

K: Hogyan számoljuk ki egy bázis irracionális hatványát?

V: Ahhoz, hogy egy a bázist az irracionális x-edik hatványra emeljük, a racionális számok végtelen sorozatát (xn) használjuk, amelynek határértéke x (a^x = lim n->végtelen a^(x_n)).

K: Vannak olyan szabályok, amelyek megkönnyítik az exponensek kiszámítását?

V: Igen, van néhány szabály, amely megkönnyíti az exponensek kiszámítását. Ezek közé tartozik (a * b) ^ n = a ^ n * b ^ n; (a / b) ^ n = a ^ n / b ^ n; a ^ r * a ^ s=a ^ (r + s); és így tovább.