Harmonikus sorozat: definíció, divergens tulajdonságok és zenei eredet

Azt, hogy a harmonikus sorozatok divergálnak, először Nicole Oresme bizonyította be a 14. században, de elfelejtették. A 17. században Pietro Mengoli, Johann Bernoulli és Jacob Bernoulli adtak bizonyítékot.

A harmonikus szekvenciákat az építészek is használják. A barokk korszakban az építészek az alaprajzok, a homlokzatok arányaiban, valamint a templomok és paloták építészeti részletei közötti kapcsolatokban használták őket.

A harmonikus sorok divergenciájának több ismert bizonyítéka is van. Ezek közül néhányat az alábbiakban közlünk.

Összehasonlító teszt

A divergencia bizonyításának egyik módja, hogy a harmonikus sorozatot egy másik divergens sorozattal hasonlítjuk össze, ahol minden nevezőt a következő legnagyobb kettes hatványra cserélünk:

1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 + 1 9 + ⋯ ≥ 1 + 1 2 + 1 4 + 1 4 + 1 4 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 16 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}&{}1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}}+{\frac {1}{8}}}+{\frac {1}{9}}+\cdots \\\[12pt]\geq {}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {4}{\mathbf {4} }}}+{\frac {1}{4}}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8}} }}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8}} }}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8}} }}}+{\frac {1}{8}}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {16}} }}}+\cdots \end{aligned}}}}

A harmonikus sorozat minden egyes tagja nagyobb vagy egyenlő a második sorozat megfelelő tagjával, ezért a harmonikus sorozat összegének nagyobbnak vagy egyenlőnek kell lennie a második sorozat összegével. A második sorozat összege azonban végtelen:

1 + ( 1 2 ) + ( 1 4 + 1 4 ) + ( 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ) + ( 1 16 + ⋯ + 1 16 ) + ⋯ = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋯ = ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}&{}1+\left({\frac {1}{2}}}\right)+\left({\frac {1}{4}}}\!+\!{\frac {1}{4}}}\right)+\left({\frac {1}{8}}\!+\!{\!{\frac {1}{8}}}\!+\!{\frac {1}{8}}}\!+\!{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{16}}}\!+\!\cdots \!+\!{\frac {1}{16}}}\right)+\cdots \\\[12pt]={}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}}+{\frac {1}{2}}}+\cdots =\infty \end{aligned}}}}

Ebből következik (az összehasonlító teszt alapján), hogy a harmonikus sorok összegének is végtelennek kell lennie. Pontosabban, a fenti összehasonlítás azt bizonyítja, hogy

∑ n = 1 2 k 1 n ≥ 1 + k 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{2^{k}}}{\frac {1}{n}}\geq 1+{\frac {k}{2}}}}

minden k pozitív egész számra.

Ezt a bizonyítást, amelyet Nicole Oresme javasolt 1350 körül, a középkori matematika egyik csúcspontjának tekintik. Ma is a matematikaórákon tanított standard bizonyítás.

Integrált teszt

A harmonikus sorozat divergens voltát úgy lehet bizonyítani, hogy az összegét összehasonlítjuk egy helytelen integrállal. Tekintsük a jobb oldali ábrán látható téglalapok elrendezését. Minden téglalap 1 egység széles és 1/n egység magas, így a végtelen számú téglalapok összterülete a harmonikus sorozat összege:

téglalapok területe = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{c}{\text{area of}}\\\{\text{rectangles}\end{array}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots }

Az y = 1/x görbe alatti teljes területet 1-től a végtelenig egy divergens impropozitív integrál adja:

görbe alatti terület = ∫ 1 ∞ 1 x d x = ∞ . {\displaystyle {\begin{array}{c}{\text{area under}}\\\\{\text{görbe}}\end{array}}=\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,dx=\infty . }

Mivel ez a terület teljes egészében a téglalapokban van, a téglalapok teljes területének is végtelennek kell lennie. Ez azt bizonyítja, hogy

∑ n = 1 k 1 n > ∫ 1 k + 1 1 1 x d x = ln ( k + 1 ) . {\displaystyle \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n}}>\int _{1}^{k+1}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln(k+1). }

Ennek az érvnek az általánosítását integrálvizsgálatnak nevezik.

A harmonikus sorozat nagyon lassan válik szét. Például az első 1043 tag összege kevesebb, mint 100. Ez azért van, mert a sorozat részösszegeinek logaritmikus növekedése van. Különösen,

∑ n = 1 k 1 n = ln k + γ + ε k ≤ ( ln k ) + 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n}}=\ln k+\gamma +\varepsilon _{k}\leq (\ln k)+1}

ahol γ az Euler-Mascheroni-állandó és εk ~ 1/2k, amely k végtelenbe menve közelít a 0-hoz. Leonhard Euler bizonyította mindezt, és azt is, hogy az összeg, amely csak a prímek reciprokát tartalmazza, szintén divergál, azaz:

∑ p prime 1 p = 1 2 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + 1 11 + 1 13 + 1 17 + ⋯ = ∞ . {\displaystyle \sum _{p{\text{ prime }}}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}+{\frac {1}{7}}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+\cdots =\infty . }

A divergáló harmonikus sorok véges parciális összegei,

H n = ∑ k = 1 n 1 k , {\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}

harmonikus számoknak nevezzük.

A Hn és az ln n közötti különbség az Euler-Mascheroni-állandóhoz konvergál. Bármely két harmonikus szám különbsége soha nem egész szám. Egyetlen harmonikus szám sem egész szám, kivéve _H1 = 1 esetén.

Váltakozó harmonikus sorozat

A sorozat

∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - ⋯ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}}-\cdots }

váltakozó harmonikus sorozatnak nevezik. Ez a sorozat a váltakozó sorozatok vizsgálatával konvergál. Különösen, hogy az összege egyenlő a 2 természetes logaritmusával:

1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - ⋯ = ln 2. {\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots =\ln 2.}

A váltakozó harmonikus sorozat, bár feltételesen konvergens, nem abszolút konvergens: ha a sorozat tagjait szisztematikusan átrendezzük, az összeg általában más lesz, és az átrendezéstől függően akár végtelenné is válhat.

A váltakozó harmonikus sorozat képlete a Mercator-sorozat speciális esete, a természetes logaritmus Taylor-sorozata.

Az arctangens Taylor-sorozatából levezethető egy kapcsolódó sorozat:

∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n 2 n + 1 = 1 - 1 3 + 1 5 - 1 7 + ⋯ = π 4 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}}. }

Ez az úgynevezett Leibniz-sorozat.

Általános harmonikus sorozat

Az általános harmonikus sorozat a következő formájú

∑ n = 0 ∞ 1 a n + b , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{an+b}},}

ahol a ≠ 0 és b valós számok, és b/a nem nulla vagy negatív egész szám.

A harmonikus sorozatokkal való határérték-összehasonlító teszt szerint minden általános harmonikus sorozat is eltér.

p-sorozat

A harmonikus sorozat általánosítása a p-sorozat (vagy hiperharmonikus sorozat), amelyet a következőképpen határozunk meg

∑ n = 1 ∞ 1 n p {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}}

bármely p valós számra. Ha p = 1, akkor a p-sorozat a harmonikus sorozat, amely divergál. Az integrálpróba vagy a Cauchy-féle sűrítési próba azt mutatja, hogy a p-sorozat minden p > 1 esetén konvergál (ebben az esetben túlharmonikus sorozatnak nevezzük), és minden p ≤ 1 esetén divergál. Ha p > 1, akkor a p-sorozat összege ζ(p), azaz a p-nél kiértékelt Riemann-zétafüggvény.

A p = 2 esetén az összeg megtalálásának problémáját bázeli problémának nevezzük; Leonhard Euler megmutatta, hogy π2/6. Az összeg értékét p = 3 esetén Apéry-állandónak nevezik, mivel Roger Apéry bebizonyította, hogy ez egy irracionális szám.

ln-sorozat

A p-sorozathoz kapcsolódik az ln-sorozat, amelyet a következőképpen határozunk meg

∑ n = 2 ∞ 1 n ( ln n ) p {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n(\ln n)^{p}}}}

bármely p pozitív valós számra. Ez az integrálpróba segítségével kimutatható, hogy p ≤ 1 esetén eltér, de minden p > 1 esetén konvergál.

φ-sorozat

Bármely konvex, valós értékű φ függvény esetében, amely úgy néz ki, hogy

lim sup u → 0 + φ ( u 2 ) φ ( u ) < 1 2 , {\displaystyle \limsup _{u\to 0^{+}}{\frac {\varphi \left({\frac {u}{2}}}\right)}{\varphi (u)}}<{\frac {1}{2}}},}

a sorozat

∑ n = 1 ∞ φ ( 1 n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\varphi \left({\frac {1}{n}}\right)}

konvergens. ^[]

Véletlen harmonikus sorozat

A véletlen harmonikus sorozat

∑ n = 1 ∞ s n n , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n}},}

ahol az _sn független, azonos eloszlású véletlen változók, amelyek a +1 és -1 értékeket 1/2 valószínűséggel veszik fel, a valószínűségelméletben jól ismert példa a véletlen változók olyan sorozatára, amely 1 valószínűséggel konvergál. Ennek a konvergenciának a ténye vagy a Kolmogorov-féle háromsoros tétel, vagy a vele szorosan összefüggő Kolmogorov-féle maximális egyenlőtlenség egyszerű következménye. Byron Schmuland az Albertai Egyetemről tovább vizsgálta a véletlen harmonikus sorozat tulajdonságait, és kimutatta, hogy a konvergens sorozat egy olyan véletlen változó, amely néhány érdekes tulajdonsággal rendelkezik. Nevezetesen, hogy e véletlen változó valószínűségi sűrűségfüggvénye +2-nél vagy -2-nél értékelve 0,12499999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999764... értéket vesz fel, amely kevesebb mint 10-42 eltéréssel tér el az 1/8-tól. Schmuland tanulmánya megmagyarázza, hogy ez a valószínűség miért van olyan közel, de nem pontosan 1/8-hoz. Ennek a valószínűségnek a pontos értékét a végtelen koszinuszszorzat _C2 integrálja osztva π-vel adja meg.

Kimerült harmonikus sorozat

A kimerített harmonikus sorozat, amelyből eltávolítjuk az összes olyan tagot, amelynek nevezőjében a 9-es számjegy bárhol megjelenik, konvergensnek bizonyul, és értéke kisebb, mint 80. Valójában, ha az összes olyan tagot eltávolítjuk, amely egy adott számjegysorozatot tartalmaz (bármely bázisban), a sorozat konvergál.

A harmonikus sorozatok ellenkező értelműek lehetnek. Ez azért van, mert ez egy divergens sorozat, annak ellenére, hogy a sorozat feltételei egyre kisebbek és a nulla felé haladnak. A harmonikus sorozat divergenciája néhány paradoxon forrása.

• A "kukac a gumiszalagon". Tegyük fel, hogy egy végtelenül rugalmas, egy méteres gumiszalagon egy féreg kúszik végig, miközben a gumiszalag egyenletesen feszül. Ha a féreg percenként 1 centimétert halad, a szalag pedig percenként 1 métert nyúlik, eléri-e a féreg valaha is a gumiszalag végét? A válasz, ellentmondásos módon, "igen", mert n perc elteltével a féreg által megtett távolság és a gumiszalag teljes hosszának aránya a következő lesz

1 100 ∑ k = 1 n 1 k . {\displaystyle {\frac {1}{100}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}. }

Mivel a sorozat tetszőlegesen nagy lesz, ahogy n nagyobb lesz, végül ennek az aránynak meg kell haladnia az 1-et, ami azt jelenti, hogy a féreg eléri a gumiszalag végét. Az n értékének azonban, amelynél ez bekövetkezik, rendkívül nagynak kell lennie: körülbelül e100, ami több mint 1043 perc (1037 év). Bár a harmonikus sorozat valóban eltér, ez nagyon lassan történik.

• A Jeep-probléma azt a kérdést teszi fel, hogy mennyi üzemanyagra van szükség egy korlátozott üzemanyag-szállító kapacitású autónak, hogy átkeljen egy sivatagon, és az útvonal mentén üzemanyagcseppeket hagyjon. Az autó adott mennyiségű üzemanyaggal megtett távolsága a harmonikus sorok részösszegével függ össze, amelyek logaritmikusan nőnek. És így a szükséges üzemanyag exponenciálisan nő a kívánt távolsággal.

• A tömbhalmozási probléma: adott egy sor egyforma dominó, lehetséges-e azokat egy asztal szélén úgy egymásra rakni, hogy az asztal pereme fölé lógjanak anélkül, hogy leesnének. Az ellenkező értelmű eredmény az, hogy úgy lehet őket egymásra rakni, hogy a túlnyúlás akkora legyen, amekkorát csak akarunk. Feltéve, hogy elég dominó van.

• Egy úszó, aki minden egyes alkalommal gyorsabban megy, amikor megérinti a medence falát. Az úszó egy 10 méteres medencét 2 m/s sebességgel kezd átúszni, és minden egyes átúszással további 2 m/s sebességet ad hozzá a sebességéhez. Elméletileg az úszó sebessége korlátlan, de a medencén való átkelések száma, amelyek szükségesek a sebesség eléréséhez, nagyon nagy lesz; például a fénysebesség eléréséhez (a speciális relativitáselméletet figyelmen kívül hagyva) az úszónak 150 milliószor kell átkelnie a medencén. Ezzel a nagy számmal ellentétben az adott sebesség eléréséhez szükséges idő a medencén való átúszások adott számú sorozatának összegétől függ:

10 2 ∑ k = 1 n 1 k . {\displaystyle {\frac {10}{2}}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}. }

Az összeg kiszámítása azt mutatja, hogy a fénysebesség eléréséhez szükséges idő mindössze 97 másodperc.

• Harmonikus progresszió
• A reciprok összegek listája