Taylor-sorozat: definíció, képletek és alkalmazások

Az ókori görög filozófus, Zénón Eleai Zénón találta ki először ennek a sorozatnak az ötletét. Az úgynevezett "zenói parodoxia" paradoxon az eredménye. Úgy vélte, hogy lehetetlen végtelen számú értéket összeadni, és eredményként egyetlen véges értéket kapni.

Egy másik görög filozófus, Arisztotelész is választ adott a filozófiai kérdésre. Arkhimédész volt azonban az, aki a kimerülés módszerével matematikai megoldást talált. Be tudta bizonyítani, hogy ha valamit végtelen számú apró darabra osztunk szét, akkor is egyetlen egészet kapunk, ha az összeset összeadjuk. Az ősi kínai matematikus, Liu Hui több száz évvel később ugyanezt bizonyította.

A Taylor-sorozat legkorábbi ismert példái az 1300-as években Indiában, Sañgamāgrama Mādhava munkái. Későbbi indiai matematikusok írtak a szinusz, koszinusz, érintő és arktangens trigonometrikus függvényekkel kapcsolatos munkájáról. Mādhava egyetlen írása vagy feljegyzése sem maradt fenn napjainkban. Más matematikusok Mādhava felfedezéseire alapozták munkájukat, és az 1500-as évekig többet dolgoztak ezekkel a sorozatokkal.

James Gregory skót matematikus az 1600-as években ezen a területen dolgozott. Gregory tanulmányozta a Taylor-sorozatokat, és számos Maclaurin-sorozatot publikált. Brook Taylor 1715-ben felfedezett egy általános módszert a sorozat minden függvényre való alkalmazására. (Minden korábbi kutatás azt mutatta, hogyan lehet a módszert csak bizonyos függvényekre alkalmazni.) Colin Maclaurin az 1700-as években publikálta a Taylor-sorozat egy speciális esetét. Ezt a nulla körüli sorozatot Maclaurin-sorozatnak nevezik.

A Taylor-sorozat bármely olyan ƒ(x) függvény leírására használható, amely sima függvény (vagy matematikai kifejezéssel élve "végtelenül differenciálható".) A ƒ függvény lehet valós vagy komplex. A Taylor-sorozatot ezután arra használjuk, hogy leírjuk, hogyan néz ki a függvény valamely a szám szomszédságában.

Ez a Taylor-sorozat, hatványsorozatként leírva, így néz ki:

f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x - a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x - a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x - a ) 3 + ⋯ . {\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots . }

Ez a képlet sigma jelöléssel is leírható:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}}\,(x-a)^{n}}}

Itt n! az n faktora. ƒ ⁽ⁿ⁾(a) az ƒ n-edik deriváltja az a pontban. a {\displaystyle a} egy szám a függvény tartományában. Ha egy függvény Taylor-sorozata megegyezik az adott függvénnyel, akkor a függvényt "analitikus függvénynek" nevezzük.

Maclaurin sorozat

Ha a = 0 {\displaystyle a=0} a függvényt Maclaurin-sorozatnak nevezzük. A Maclaurin-sorozat hatványsorozatként leírva így néz ki:

f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! x 3 + ⋯ . {\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots . }

A Maclaurin-sorozat sigma jelöléssel írva a következő:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}}\,x^{n}}

Néhány fontos Taylor-sorozat és Maclaurin-sorozat a következő.

sin x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋯ minden x-re {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ minden }}x\! }

cos x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - ⋯ minden x-re {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ minden }}x\! }

sinh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 minden x-re {\displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ for all }}x\! }

cosh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n minden x-re {\displaystyle \cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ mindenre}x\! }

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ minden x-re {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ minden }}x\! }

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ for all | x | < 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for all }}|x|<1}

ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n x n minden | x | < 1 {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}}{n}}x^{n}{\text{ for all }}|x|<1}

tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( - 4 ) n ( 1 - 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n - 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ for | x | < π 2 {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\! }

Ahol B n {\displaystyle B_{n}} az n-edik Bernoulli-szám, és ln {\displaystyle \ln } a természetes logaritmus.