Taylor-sor

A Taylor-sorozat a számítástechnikában, a számtanban, a kémiában, a fizikában és más magasabb szintű matematikában használt ötlet. Ez egy olyan sorozat, amelyet arra használnak, hogy becslést (becslést) készítsenek arról, hogy milyen egy függvény. A Taylor-sorozatnak van egy speciális fajtája is, amelyet Maclaurin-sorozatnak neveznek.

A Taylor-sorozat elmélete az, hogy ha a koordinátasíkon (x- és y-tengely) kiválasztunk egy pontot, akkor meg lehet találni, hogy egy függvény hogyan fog kinézni az adott pont körüli területen. Ez úgy történik, hogy a függvény deriváltjait vesszük és összeadjuk. Az ötlet lényege, hogy a végtelen számú deriváltat össze lehet adni, és egyetlen véges összeget kapunk.

A matematikában a Taylor-sorozat egy függvényt végtelen sorozatok összegeként mutat be. Az összeg tagjait a függvény deriváltjaiból vesszük. A Taylor-sorok a Taylor-tételből származnak.

Zoom

Egy animáció, amely bemutatja, hogyan lehet egy Taylor-sorozatot használni egy függvény közelítésére. A kék vonal az f ( x ) = e x exponenciális függvényt mutatja {\displaystyle f(x)=e^{x}} {\displaystyle f(x)=e^{x}}. A piros vonalak az n deriváltak összegét mutatják, azaz a Taylor-sorozat n+1 tagját. Ahogy n nő, a piros vonal egyre közelebb kerül a kék vonalhoz.

Történelem

Az ókori görög filozófus, Zénón Eleai Zénón találta ki először ennek a sorozatnak az ötletét. Az úgynevezett "zenói parodoxia" paradoxon az eredménye. Úgy vélte, hogy lehetetlen végtelen számú értéket összeadni, és eredményként egyetlen véges értéket kapni.

Egy másik görög filozófus, Arisztotelész is választ adott a filozófiai kérdésre. Arkhimédész volt azonban az, aki a kimerülés módszerével matematikai megoldást talált. Be tudta bizonyítani, hogy ha valamit végtelen számú apró darabra osztunk szét, akkor is egyetlen egészet kapunk, ha az összeset összeadjuk. Az ősi kínai matematikus, Liu Hui több száz évvel később ugyanezt bizonyította.

A Taylor-sorozat legkorábbi ismert példái az 1300-as években Indiában, Sañgamāgrama Mādhava munkái. Későbbi indiai matematikusok írtak a szinusz, koszinusz, érintő és arktangens trigonometrikus függvényekkel kapcsolatos munkájáról. Mādhava egyetlen írása vagy feljegyzése sem maradt fenn napjainkban. Más matematikusok Mādhava felfedezéseire alapozták munkájukat, és az 1500-as évekig többet dolgoztak ezekkel a sorozatokkal.

James Gregory skót matematikus az 1600-as években ezen a területen dolgozott. Gregory tanulmányozta a Taylor-sorozatokat, és számos Maclaurin-sorozatot publikált. Brook Taylor 1715-ben felfedezett egy általános módszert a sorozat minden függvényre való alkalmazására. (Minden korábbi kutatás azt mutatta, hogyan lehet a módszert csak bizonyos függvényekre alkalmazni.) Colin Maclaurin az 1700-as években publikálta a Taylor-sorozat egy speciális esetét. Ezt a nulla körüli sorozatot Maclaurin-sorozatnak nevezik.

Meghatározás

A Taylor-sorozat bármely olyan ƒ(x) függvény leírására használható, amely sima függvény (vagy matematikai kifejezéssel élve "végtelenül differenciálható".) A ƒ függvény lehet valós vagy komplex. A Taylor-sorozatot ezután arra használjuk, hogy leírjuk, hogyan néz ki a függvény valamely a szám szomszédságában.

Ez a Taylor-sorozat, hatványsorozatként leírva, így néz ki:

f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x - a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x - a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x - a ) 3 + . {\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots . } {\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .}

Ez a képlet sigma jelöléssel is leírható:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}}\,(x-a)^{n}}} {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}}

Itt n! az n faktora. ƒ (n)(a) az ƒ n-edik deriváltja az a pontban. a {\displaystyle a}a egy szám a függvény tartományában. Ha egy függvény Taylor-sorozata megegyezik az adott függvénnyel, akkor a függvényt "analitikus függvénynek" nevezzük.

Maclaurin sorozat

Ha a = 0 {\displaystyle a=0} {\displaystyle a=0}a függvényt Maclaurin-sorozatnak nevezzük. A Maclaurin-sorozat hatványsorozatként leírva így néz ki:

f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! x 3 + . {\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots . } {\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots .}

A Maclaurin-sorozat sigma jelöléssel írva a következő:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}}\,x^{n}} {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}}

Közös Taylor-sorozat

Néhány fontos Taylor-sorozat és Maclaurin-sorozat a következő.

sin x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋯ minden x-re {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ minden }}x\! } {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!}

cos x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - ⋯ minden x-re {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ minden }}x\! } {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!}

sinh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 minden x-re {\displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ for all }}x\! } {\displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ for all }}x\!}

cosh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n minden x-re {\displaystyle \cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ mindenre}x\! } {\displaystyle \cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ for all }}x\!}

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ minden x-re {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ minden }}x\! } {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ for all }}x\!}

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ for all | x | < 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for all }}|x|<1} {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for all }}|x|<1}

ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n x n minden | x | < 1 {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}}{n}}x^{n}{\text{ for all }}|x|<1} {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}{\text{ for all }}|x|<1}

tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( - 4 ) n ( 1 - 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n - 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ for | x | < π 2 {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\! } {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}

Ahol B n {\displaystyle B_{n}}{\displaystyle B_{n}} az n-edik Bernoulli-szám, és ln {\displaystyle \ln } {\displaystyle \ln }a természetes logaritmus.

Kérdések és válaszok

K: Mi az a Taylor-sorozat?


V: A Taylor-sorozat a számítástechnikában, a számtanban, a kémiában, a fizikában és más magasabb szintű matematikában használt elképzelés. Ez egy olyan sorozat, amelyet arra használnak, hogy becslést (becslést) készítsenek arról, hogy milyen egy függvény.

K: Mi a különbség a Taylor-sorozat és a Maclaurin-sorozat között?


V: A Taylor-sorozatnak van egy speciális fajtája is, amelyet Maclaurin-sorozatnak neveznek.

K: Mi az elmélet a Taylor-sorozat mögött?


V: A Taylor-sorozat elmélete az, hogy ha a koordinátasíkon (x- és y-tengely) kiválasztunk egy pontot, akkor meg lehet találni, hogy egy függvény hogyan fog kinézni az adott pont körüli területen.

K: Hogyan jön létre a függvény a Taylor-sorozat segítségével?


V: Ez úgy történik, hogy a függvény deriváltjait vesszük és összeadjuk. Az ötlet lényege, hogy a végtelen számú deriváltat össze lehet adni, és egyetlen véges összeget kapunk.

K: Mit mutat a Taylor-sorozat a matematikában?


V: A matematikában a Taylor-sorozat egy függvényt végtelen sorozatok összegeként mutat meg. Az összeg tagjait a függvény deriváltjaiból vesszük.

K: Honnan származnak a Taylor-sorozatok?


V: A Taylor-sorozatok a Taylor-tételből származnak.

K: Milyen területeken használják általában a Taylor-sorozatot?


V: A Taylor-sorozatot általában az informatikában, a számtanban, a kémiában, a fizikában és más magasabb szintű matematikában használják.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3