60-as számrendszer (sexageszimális): eredet, tulajdonságok és használat

A szexagezimális (60-as bázis) egy olyan számrendszer, amelynek alapja a hatvan. Az ősi sumérok találták ki az i. e. 3. évezredben. Az ókori babilóniaiakhoz került, és ma is használják - módosított formában - az idő, a szögek és a földrajzi koordináták mérésére.

A 60 egy összetett szám. Tizenkét tényezője van: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 és 60, amelyek közül a 2, 3 és 5 prímszám.

Ezért a hatványszámok használatával a törtek egyszerűsödnek. Például egy óra egyenletesen felosztható 30 perces, 20 perces, 15 perces, 12 perces, 10 perces, 6 perces, 5 perces, 4 perces, 3 perces, 2 perces és 1 perces szakaszokra.

A 60 a legkisebb olyan szám, amely minden 1-től 6-ig terjedő számmal osztható, azaz az 1, 2, 3, 4, 5 és 6 legkisebb közös többszöröse.

Megjegyzés: ebben a cikkben az összes hatos számjegyet tizedes számként ábrázoljuk. Például a 10 a tízes számot jelenti, a 60 pedig a hatvanas számot.

Eredet és rövid történet

A szexagezimális rendszert az ókori Mezopotámiában fejlesztették ki. A babilóniaiak egy pozícionális, 60-as alapú rendszert használtak, amelyben a helyiértékek hatvanal növekednek. A korai jelölés cuneiform jelekből állt: két alapvető jelet (egyesek és tízesek) kombináltak, hogy 1–59 közötti számokat írjanak. Hosszabb távon a rendszer sok területen fennmaradt, mert praktikus számos mértékegység felosztásához.

Egyes elméletek szerint a 60-as rendszer kialakulásához hozzájárult a kéz ujjainak számolási módja: a hüvelykujjal a többi kéz ujjain lévő három ujjpercek megjelölése 12-es egységeket adott, ezt pedig ötszörözve 60-hoz jutottak. Ez csak egyik magyarázat; a pontos folyamat nem teljesen ismert.

Matematikai tulajdonságok és előnyök

60 rendkívül előnyös a gyakorlati felosztásokhoz, mert sok osztója van. Emiatt a hétköznapi törtek (1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 stb.) egyszerűen ábrázolhatók:

1/2 = 30/60
1/3 = 20/60
1/4 = 15/60
1/5 = 12/60
1/6 = 10/60

Ezért az idő- és szögfelosztásoknál kisebb, egyszerűbb törtekkel dolgozhatunk, kevesebb ismétlődő tizedes tört alakul ki.

Számábrázolás és jelölés

A babilóniai pozícionális rendszerben a helyiértékeket hatvanal való szorzással kapták meg (1, 60, 3600 = 60², 216000 = 60³, ...). Későbbiekben — a helyi nullajel hiánya miatt — a számok bizonyos esetekben többértelműek voltak; csak idővel vezettek be helykitöltő jelet, majd más kultúrák átvették és továbbfejlesztették a hiányzó nullajelek kezelését.

A modern tudományos és gyakorlati jelölésben a szexagezimális tört részeket gyakran pontosvesszővel vagy kettősponttal választják el az egész résztől. Például:

2;30 (vagy 2:30) jelentése 2 + 30/60 = 2,5 (tizedesben).
0;20 jelentése 20/60 = 1/3 ≈ 0,333...
1:15:30 = 1 + 15/60 + 30/3600 ≈ 1,258333... (óraformátumban 1 óra 15 perc 30 másodperc).

Példák átváltásra

Átváltás szexagezimálisból tizedesre: minden helyiértéket a hozzátartozó 60 hatványa alapján kell összeadni. Példák:

2;30 = 2 + 30/60 = 2,5
0;45 = 45/60 = 0,75
3;12;30 = 3 + 12/60 + 30/3600 = 3 + 0,2 + 0,008333... = 3,208333...

Átváltás tizedesből szexagezimálisba: a tizedestörteket megszorozzuk 60-nal, az egész részt leírjuk az első szexagezimális jegyként, majd az új törtet ismét 60-nal szorozzuk a következő jegyhez, és így tovább.

Használat ma

A szexagezimális rendszer maradványai ma is széles körben használatosak:

Időmérés: 1 óra = 60 perc, 1 perc = 60 másodperc. A nap 24 órára oszlik, de a percalapú felosztás 60-as.
Szögek: 1 fok = 60 perc (arcpercek), 1 perc = 60 másodperc (másodpercmásodperc). A kör 360° (6×60), ami szintén a 60-as rendszer előnyös felhasználása.
Földrajzi koordináták: szélesség és hosszúság fok-perc-másodperc formátumban.
Csillagászat: a rektascenziót órában, percben és másodpercben mérik (24 óra = 360°; 1 óra = 15°), a deklináció fok-perc-másodperc rendszerben.

Modern alkalmazásokban gyakran használják a decimális fokokat (pl. GPS rendszerek belső számításai), de a megjelenítésnél és emberi értelmezésnél sokszor visszatérnek a fok-perc-másodperc formátumhoz.

Miért maradt fenn?

A szexagezimális rendszer fennmaradását magyarázza, hogy a 60 sok osztójának köszönhetően a gyakori törtek egyszerűen ábrázolhatók, és a rendszer jól illeszkedik a mindennapi mérésekhez (idő, irány, koordináták). Továbbá a történelem során a matematikai és csillagászati hagyományok átörökítették a használatát.

Összefoglalás

A szexagezimális (60-as) számrendszer ősi eredetű, és előnye a nagy számú osztóban rejlik, ami leegyszerűsíti a gyakori törtek kezelését. Bár a modern matematikai számítások többsége a tizes alapú rendszert használja, a 60-as rendszer tovább él az idő- és szögmérésekben, valamint a földrajzi és csillagászati jelölésekben.

Kiegészítő megjegyzés a jelölésről: a cikkben szereplő sexageszimális jegyeket és példákat tizedes számként írjuk le a könnyebb olvashatóság érdekében (például a 10 a a tízes rendszerben „tízet” jelent, míg a 60 a hatvanast).