√2 (a 2 négyzetgyöke): definíció, irracionális szám, geometria

Ismerd meg a √2 definícióját, irracionalitását és geometriai jelentését: Pitagorasz‑bizonyítás, egységoldalú négyzet átlóhossza és alkalmazások érthetően.

Szerző: Leandro Alegsa

06-01-2026 23:30

A 2 négyzetgyöke vagy a 2 (1/2)-edik hatványa, a matematikában √2 vagy $2 $ ^1⁄₂, az a pozitív irracionális szám, amely önmagával megszorozva egyenlő a 2-vel. Pontosabban a 2 fő négyzetgyökének nevezik, hogy megkülönböztessék a negatív gyökétől (−√2), amelyre szintén igaz, hogy négyzete 2.

Geometriai értelemben a 2 négyzetgyöke egy olyan négyzet átlójának hossza, amelynek oldalainak hossza egy; ez a Pitagorasz-tétel alkalmazásával közvetlenül megállapítható: az egységnyi oldalú négyzet átlójának hossza √(1²+1²)=√2.

Irracionalitás (rövid bizonyítás)

A √2 irracionalitását klasszikus, ellentmondásos bizonyítással szokás szemléltetni. Tegyük fel, hogy √2=racionális, azaz van olyan egész p és q (q≠0), hogy √2 = p/q, ahol a tört egyszerűsített alakban, azaz p és q relatív prímek. Ekkor p² = 2q², tehát p² páros, így p is páros (mivel prímek négyzete páros csak akkor, ha a szám maga páros). Legyen p=2k; ekkor 4k² = 2q², azaz q² = 2k², tehát q is páros. Ez ellentmond annak, hogy p és q relatív prímek. Következésképp √2 nem írható fel két egész hányadosaként, vagyis irracionális.

Decimalis közelítés és periodikus egyszerű tört előállítás

√2 ≈ 1,4142135623730950488… — a tizedesjegysorozat nem periódikus, ezért a szám nem írható fel véges vagy végtelen ismétlődő tizedestört formájában. A legegyszerűbb tömör közelítések és a folyamatos törtek konvergensei jó közelítést adnak: a √2 egyszerű lánctört-fejlődése periódikus és a következő alakú végtelen lánctört: [1; 2, 2, 2, ...]. Ennek konvergensei (jó racionális közelítések) pl.:

1 = 1/1
3/2 = 1,5
7/5 = 1,4
17/12 ≈ 1,41666…
41/29 ≈ 1,41379…
99/70 ≈ 1,4142857…
239/169 ≈ 1,41420118…

Algebrai és számelméleti tulajdonságok

√2 algebrai szám: kielégíti az x² − 2 = 0 minimális polinomot, tehát algebrai fokszáma 2. Az algebrai egységek és a Z[√2] gyűrű vizsgálata fontos a Pell-egyenlet (x² − 2y² = ±1) elméletében: a Pell-egyenlet megoldásai szolgáltatják a √2 kiváló racionális közelítőit, és a legkisebb nemtriviális egység a Z[√2]-ben 1 + √2. A √2 párja (galois-konjugátja) a −√2, ami szintén gyök a x² − 2 polinomra.

Alkalmazások és történeti megjegyzés

√2 gyakran fordul elő geometriában (egységnyi négyzet átlója), trigonometriában, algebrai számelméletben és a fizikában is. A történelemben a √2 irracionalitását gyakran a pitagoreusokhoz kötik: az olasz matematikus Hippasszosznak tulajdonítják a felfedezést, amely komoly hatással volt az ókori számfogalomra.

Összefoglalva: √2 a pozitív szám, amelynek négyzete 2; algebrai irracionális szám, egyszerű lánctörttel jellemezhető, geometriailag az egységnyi oldalú négyzet átlóját adja, és fontos szerepe van racionális közelítésekben és a Pell-egyenlet megoldásaiban.

A 2 négyzetgyöke egyenlő az 1 hosszúságú lábakkal rendelkező derékszögű háromszög hipotenúzájának hosszával.

Bizonyítás, hogy 2 négyzetgyöke nem racionális

A 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ szám nem racionális. Íme a bizonyítás.

Tegyük fel, hogy 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ racionális. Tehát vannak olyan a , b {\displaystyle a,b} $a,b$ számok, hogy a / b = 2 {\displaystyle a/b={\sqrt {2}}} . $a/b={\sqrt {2}}$
Választhatunk a-t és b-t úgy, hogy a vagy b páratlan legyen. Ha a és b egyaránt páros lenne, akkor a törtet leegyszerűsíthetnénk (például ahelyett, hogy 2 4 {\displaystyle {\frac {2}{4}}}} ${\frac {2}{4}}$ ehelyett írhatnánk 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} ${\frac {1}{2}}$ ).
Ha az egyenlet mindkét oldalát négyzetre állítjuk, akkor a² / b² = 2 és a² = 2 b² .
A jobb oldal 2 b 2 {\displaystyle 2b^{2}} $2b^{2}$ . Ez a szám páros. Tehát a bal oldalnak is párosnak kell lennie. Tehát a 2 a {\displaystyle a^{2}} $a^{2}$ páros. Ha egy páratlan számot négyzetre állítunk, akkor egy páratlan szám lesz az eredmény. Ha pedig egy páros számot négyzetre állítunk, akkor is egy páros szám lesz az eredmény. Tehát a {\displaystyle a} páros.
Mivel a páros, így írható fel: a = 2 k {\displaystyle a=2k} . $a=2k$
A 3. lépés egyenletét kell használni. Így kapjuk: 2b² = (2k)²
Használható a szorzási szabály (lásd a cikket) - az eredmény 2 b 2 = 4 k 2 {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}}} $2b^{2}=4k^{2}$ .
Mindkét oldalt elosztjuk 2-vel. Tehát b 2 = 2 k 2 {\displaystyle b^{2}=2k^{2}} $b^{2}=2k^{2}$ . Ez azt jelenti, hogy b {\displaystyle b} $b$ páros.
A 2. lépésben azt mondtuk, hogy a páratlan vagy b páratlan. De a 4. lépésben azt mondtuk, hogy a páros, a 7. lépésben pedig azt, hogy b páros. Ha az 1. lépésben tett feltételezésünk igaz, akkor az összes többi dolognak igaznak kell lennie, de mivel ezek nem egyeznek egymással, nem lehet mindegyik igaz; ez azt jelenti, hogy a feltételezésünk nem igaz.