A 2 négyzetgyöke vagy a 2 (1/2)-edik hatványa, a matematikában √2 vagy 21⁄2, az a pozitív irracionális szám, amely önmagával megszorozva egyenlő a 2-vel. Pontosabban a 2 fő négyzetgyökének nevezik, hogy megkülönböztessék a negatív gyökétől (−√2), amelyre szintén igaz, hogy négyzete 2.
Geometriai értelemben a 2 négyzetgyöke egy olyan négyzet átlójának hossza, amelynek oldalainak hossza egy; ez a Pitagorasz-tétel alkalmazásával közvetlenül megállapítható: az egységnyi oldalú négyzet átlójának hossza √(1²+1²)=√2.
Irracionalitás (rövid bizonyítás)
A √2 irracionalitását klasszikus, ellentmondásos bizonyítással szokás szemléltetni. Tegyük fel, hogy √2=racionális, azaz van olyan egész p és q (q≠0), hogy √2 = p/q, ahol a tört egyszerűsített alakban, azaz p és q relatív prímek. Ekkor p² = 2q², tehát p² páros, így p is páros (mivel prímek négyzete páros csak akkor, ha a szám maga páros). Legyen p=2k; ekkor 4k² = 2q², azaz q² = 2k², tehát q is páros. Ez ellentmond annak, hogy p és q relatív prímek. Következésképp √2 nem írható fel két egész hányadosaként, vagyis irracionális.
Decimalis közelítés és periodikus egyszerű tört előállítás
√2 ≈ 1,4142135623730950488… — a tizedesjegysorozat nem periódikus, ezért a szám nem írható fel véges vagy végtelen ismétlődő tizedestört formájában. A legegyszerűbb tömör közelítések és a folyamatos törtek konvergensei jó közelítést adnak: a √2 egyszerű lánctört-fejlődése periódikus és a következő alakú végtelen lánctört: [1; 2, 2, 2, ...]. Ennek konvergensei (jó racionális közelítések) pl.:
- 1 = 1/1
- 3/2 = 1,5
- 7/5 = 1,4
- 17/12 ≈ 1,41666…
- 41/29 ≈ 1,41379…
- 99/70 ≈ 1,4142857…
- 239/169 ≈ 1,41420118…
Algebrai és számelméleti tulajdonságok
√2 algebrai szám: kielégíti az x² − 2 = 0 minimális polinomot, tehát algebrai fokszáma 2. Az algebrai egységek és a Z[√2] gyűrű vizsgálata fontos a Pell-egyenlet (x² − 2y² = ±1) elméletében: a Pell-egyenlet megoldásai szolgáltatják a √2 kiváló racionális közelítőit, és a legkisebb nemtriviális egység a Z[√2]-ben 1 + √2. A √2 párja (galois-konjugátja) a −√2, ami szintén gyök a x² − 2 polinomra.
Alkalmazások és történeti megjegyzés
√2 gyakran fordul elő geometriában (egységnyi négyzet átlója), trigonometriában, algebrai számelméletben és a fizikában is. A történelemben a √2 irracionalitását gyakran a pitagoreusokhoz kötik: az olasz matematikus Hippasszosznak tulajdonítják a felfedezést, amely komoly hatással volt az ókori számfogalomra.
Összefoglalva: √2 a pozitív szám, amelynek négyzete 2; algebrai irracionális szám, egyszerű lánctörttel jellemezhető, geometriailag az egységnyi oldalú négyzet átlóját adja, és fontos szerepe van racionális közelítésekben és a Pell-egyenlet megoldásaiban.
