2 négyzetgyöke
A 2 négyzetgyöke vagy a 2 (1/2)-edik hatványa, a matematikában √2 vagy 21⁄2 , az a pozitív irracionális szám, amely önmagával megszorozva egyenlő a 2-vel. Helyesebben a 2 fő négyzetgyökének nevezik, hogy megkülönböztessük önmagának negatív változatától, ahol ez szintén igaz.
Geometriai értelemben a 2 négyzetgyöke egy olyan négyzet átlójának hossza, amelynek oldalainak hossza egy; ez a Pitagorasz-tétel segítségével állapítható meg.
A 2 négyzetgyöke egyenlő az 1 hosszúságú lábakkal rendelkező derékszögű háromszög hipotenúzájának hosszával.
Bizonyítás, hogy 2 négyzetgyöke nem racionális
A 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}
szám nem racionális. Íme a bizonyítás.
- Tegyük fel, hogy 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} racionális. Tehát vannak olyan a , b {\displaystyle a,b}
számok, hogy a / b = 2 {\displaystyle a/b={\sqrt {2}}} .
- Választhatunk a-t és b-t úgy, hogy a vagy b páratlan legyen. Ha a és b egyaránt páros lenne, akkor a törtet leegyszerűsíthetnénk (például ahelyett, hogy 2 4 {\displaystyle {\frac {2}{4}}}}
ehelyett írhatnánk 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}
). - Ha az egyenlet mindkét oldalát négyzetre állítjuk, akkor a2 / b2 = 2 és a2 = 2 b2 .
- A jobb oldal 2 b 2 {\displaystyle 2b^{2}}
. Ez a szám páros. Tehát a bal oldalnak is párosnak kell lennie. Tehát a 2 a {\displaystyle a^{2}}
páros. Ha egy páratlan számot négyzetre állítunk, akkor egy páratlan szám lesz az eredmény. Ha pedig egy páros számot négyzetre állítunk, akkor is egy páros szám lesz az eredmény. Tehát a {\displaystyle a}
páros. - Mivel a páros, így írható fel: a = 2 k {\displaystyle a=2k} .
- A 3. lépés egyenletét kell használni. Így kapjuk: 2b2 = (2k)2
- Használható a szorzási szabály (lásd a cikket) - az eredmény 2 b 2 = 4 k 2 {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}}}
. - Mindkét oldalt elosztjuk 2-vel. Tehát b 2 = 2 k 2 {\displaystyle b^{2}=2k^{2}}
. Ez azt jelenti, hogy b {\displaystyle b}
páros. - A 2. lépésben azt mondtuk, hogy a páratlan vagy b páratlan. De a 4. lépésben azt mondtuk, hogy a páros, a 7. lépésben pedig azt, hogy b páros. Ha az 1. lépésben tett feltételezésünk igaz, akkor az összes többi dolognak igaznak kell lennie, de mivel ezek nem egyeznek egymással, nem lehet mindegyik igaz; ez azt jelenti, hogy a feltételezésünk nem igaz.
Nem igaz, hogy a 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} racionális szám. Tehát 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} irracionális szám.
