A hasonlóság a geometria egyik alapfogalma: két alakzat akkor hasonló, ha azonos az alakjuk, de nem feltétlenül azonos a méretük. Hivatalosan két alakzat akkor hasonló, ha megfelelő (megfeleltetett) szögeik egyenlőek, és a megfelelő oldalhosszaik arányosak. A szögek említéséhez lásd a szögeiknek szót, az oldalarányokra pedig a arányosak hivatkozást.

Alapfogalmak és jelölés

Ha az A és B alakzat hasonló, ezt gyakran így jelöljük: A ~ B. A megfelelés során egyértelműen meg kell határozni, mely csúcsok és mely oldalak felelnek meg egymásnak (azaz melyek a megfelelő csúcsok/szögek és a megfelelő oldalak). A megfelelő oldalak aránya a hasonlósági arány vagy aránytényező (k). Például ha egy háromszög oldalai rendre a, b, c, és egy hozzá hasonló háromszög oldalai k·a, k·b, k·c, akkor a hasonlósági arány k.

Tulajdonságok

  • Megfelelő szögek egyenlők: minden pár megfelelő szög megegyezik.
  • Megfelelő oldalak arányosak: bármely két megfelelő oldal hosszának hányadosa állandó (=k).
  • Transzformációk: két hasonló alakzat egymásba vihető egy olyan mozgássorozattal, amely állhat eltolásból, forgatásból, tükrözésből és egyetlen arányos nagyításból/kicsinyítésből (dilatációból).
  • Relációs tulajdonságok: a hasonlóság reflexív (A ~ A), szimmetrikus (ha A ~ B, akkor B ~ A) és tranzitív (ha A ~ B és B ~ C, akkor A ~ C).
  • Különleges esetek: minden kör hasonló minden más körhöz; minden négyzet hasonló minden más négyzethez; minden vonalszakasz hasonló bármely más vonalszakaszhoz.

Hasonlóság és kongruencia

A hasonlóság és a kongruencia között a fő különbség a méret: kongruens alakzatok oldalai és szögei egyaránt megegyeznek (azonos alak és méret). Minden kongruens alakzat természetesen hasonló is (a hasonlósági arány 1), de nem minden hasonló alakzat kongruens.

Háromszög-hasonlóság kritériumai

A háromszögek esetében több egyszerű és gyakran használt kritérium is létezik, amelyekkel elegendő feltételeket adhatunk a hasonlóság megállapítására:

  • AA (két szög egyenlő): ha két háromszögben két-két megfelelő szög egyenlő, akkor a harmadik szög is egyenlő lesz, tehát a háromszögek hasonlóak. Ez a leggyakoribb és legegyszerűbb módszer.
  • SSS (három oldal arányos): ha a háromszög megfelelő oldalai páronként arányosak (a1/a2 = b1/b2 = c1/c2), akkor a háromszögek hasonlóak.
  • SAS (két oldal aránya és a közbezárt szög): ha két oldal párhuzamos arányban vannak (a1/a2 = b1/b2) és a közbezárt szögük egyenlő, akkor a háromszögek hasonlóak.
  • Speciális esetek: derékszögű háromszögeknél egy másik gyakori kritérium, hogy ha egy hegyesszög egyenlő a másik háromszög egyik hegyesszögével, akkor a derékszögek miatt a háromszögek hasonlóak.

Rövid magyarázat (miért működnek ezek a kritériumok)

AA: Két-egyenlő szög esetén a harmadik szög is egyenlő, így az összes szög egyforma, és a háromszögek alakja megegyezik (a méret különbözhet), tehát hasonlóak.

SSS: Ha az oldalarányok megegyeznek, akkor a háromszögek oldalai arányban vannak, ezért párhuzamos szakaszok és párhuzamos vetületek segítségével be lehet mutatni, hogy a szögek is egyformák.

SAS: A két oldal aránya és az őket közrezáró szög megadja a harmadik oldal viszonyát is (koszinusz-tétel alapján), így a teljes alak megegyezik arányosan.

Gyakorlati példa

Vegyünk két háromszöget: az egyik oldalai 3, 4, 5; a másik oldalai 6, 8, 10. Itt minden oldal a másodikban kétszerese az elsőnek (arány k = 2), így SSS-kritériummal következik, hogy a háromszögek hasonlóak (valójában kongruens nem, mert méretük különböző).

Alkalmazások

  • Távolságok és magasságok meghatározása mérések nélkül (hasábok, tornyok árnyékából számolva),
  • műszaki rajzok és modellezés (arányos kicsinyítések/nagyítások),
  • geometriai bizonyítások egyszerűsítése (háromszög-hasonlóság felhasználásával).

Összefoglalva: a hasonlóság megőrzi az alakot (szögek), az arányosság pedig adja meg a méretek közötti kapcsolatot. A háromszögek különösen jól kezelhetők: AA, SSS és SAS egyszerű, gyakran alkalmazható kritériumok a hasonlóság megállapítására.