Hasonlóság a geometriában: definíció, tulajdonságok és háromszög-kritériumok
Hasonlóság a geometriában: definíció, tulajdonságok és háromszög-kritériumok egyszerű magyarázattal, példákkal és gyakorlati alkalmazásokkal.
A hasonlóság a geometria egyik alapfogalma: két alakzat akkor hasonló, ha azonos az alakjuk, de nem feltétlenül azonos a méretük. Hivatalosan két alakzat akkor hasonló, ha megfelelő (megfeleltetett) szögeik egyenlőek, és a megfelelő oldalhosszaik arányosak. A szögek említéséhez lásd a szögeiknek szót, az oldalarányokra pedig a arányosak hivatkozást.
Alapfogalmak és jelölés
Ha az A és B alakzat hasonló, ezt gyakran így jelöljük: A ~ B. A megfelelés során egyértelműen meg kell határozni, mely csúcsok és mely oldalak felelnek meg egymásnak (azaz melyek a megfelelő csúcsok/szögek és a megfelelő oldalak). A megfelelő oldalak aránya a hasonlósági arány vagy aránytényező (k). Például ha egy háromszög oldalai rendre a, b, c, és egy hozzá hasonló háromszög oldalai k·a, k·b, k·c, akkor a hasonlósági arány k.
Tulajdonságok
- Megfelelő szögek egyenlők: minden pár megfelelő szög megegyezik.
- Megfelelő oldalak arányosak: bármely két megfelelő oldal hosszának hányadosa állandó (=k).
- Transzformációk: két hasonló alakzat egymásba vihető egy olyan mozgássorozattal, amely állhat eltolásból, forgatásból, tükrözésből és egyetlen arányos nagyításból/kicsinyítésből (dilatációból).
- Relációs tulajdonságok: a hasonlóság reflexív (A ~ A), szimmetrikus (ha A ~ B, akkor B ~ A) és tranzitív (ha A ~ B és B ~ C, akkor A ~ C).
- Különleges esetek: minden kör hasonló minden más körhöz; minden négyzet hasonló minden más négyzethez; minden vonalszakasz hasonló bármely más vonalszakaszhoz.
Hasonlóság és kongruencia
A hasonlóság és a kongruencia között a fő különbség a méret: kongruens alakzatok oldalai és szögei egyaránt megegyeznek (azonos alak és méret). Minden kongruens alakzat természetesen hasonló is (a hasonlósági arány 1), de nem minden hasonló alakzat kongruens.
Háromszög-hasonlóság kritériumai
A háromszögek esetében több egyszerű és gyakran használt kritérium is létezik, amelyekkel elegendő feltételeket adhatunk a hasonlóság megállapítására:
- AA (két szög egyenlő): ha két háromszögben két-két megfelelő szög egyenlő, akkor a harmadik szög is egyenlő lesz, tehát a háromszögek hasonlóak. Ez a leggyakoribb és legegyszerűbb módszer.
- SSS (három oldal arányos): ha a háromszög megfelelő oldalai páronként arányosak (a1/a2 = b1/b2 = c1/c2), akkor a háromszögek hasonlóak.
- SAS (két oldal aránya és a közbezárt szög): ha két oldal párhuzamos arányban vannak (a1/a2 = b1/b2) és a közbezárt szögük egyenlő, akkor a háromszögek hasonlóak.
- Speciális esetek: derékszögű háromszögeknél egy másik gyakori kritérium, hogy ha egy hegyesszög egyenlő a másik háromszög egyik hegyesszögével, akkor a derékszögek miatt a háromszögek hasonlóak.
Rövid magyarázat (miért működnek ezek a kritériumok)
AA: Két-egyenlő szög esetén a harmadik szög is egyenlő, így az összes szög egyforma, és a háromszögek alakja megegyezik (a méret különbözhet), tehát hasonlóak.
SSS: Ha az oldalarányok megegyeznek, akkor a háromszögek oldalai arányban vannak, ezért párhuzamos szakaszok és párhuzamos vetületek segítségével be lehet mutatni, hogy a szögek is egyformák.
SAS: A két oldal aránya és az őket közrezáró szög megadja a harmadik oldal viszonyát is (koszinusz-tétel alapján), így a teljes alak megegyezik arányosan.
Gyakorlati példa
Vegyünk két háromszöget: az egyik oldalai 3, 4, 5; a másik oldalai 6, 8, 10. Itt minden oldal a másodikban kétszerese az elsőnek (arány k = 2), így SSS-kritériummal következik, hogy a háromszögek hasonlóak (valójában kongruens nem, mert méretük különböző).
Alkalmazások
- Távolságok és magasságok meghatározása mérések nélkül (hasábok, tornyok árnyékából számolva),
- műszaki rajzok és modellezés (arányos kicsinyítések/nagyítások),
- geometriai bizonyítások egyszerűsítése (háromszög-hasonlóság felhasználásával).
Összefoglalva: a hasonlóság megőrzi az alakot (szögek), az arányosság pedig adja meg a méretek közötti kapcsolatot. A háromszögek különösen jól kezelhetők: AA, SSS és SAS egyszerű, gyakran alkalmazható kritériumok a hasonlóság megállapítására.
Az azonos színnel ábrázolt számok hasonlóak
Kérdések és válaszok
K: Mi az a hasonlóság?
V: A hasonlóság a geometriában egy olyan gondolat, amely azt jelenti, hogy két sokszög, vonalszakasz vagy más alakzat átméretezéssel azonos lehet.
K: Honnan tudod, hogy két alakzat hasonló-e?
V: Két alakzat akkor hasonló, ha a szögeiknek azonos a mértéke, és az oldalaik arányosak.
K: Minden sokszög hasonló-e egymáshoz?
V: Nem, nem minden sokszög hasonló egymáshoz. Minden más sokszögnek meg kell felelnie mindkét feltételnek, hogy a szögek azonosak és az oldalak arányosak legyenek ahhoz, hogy hasonlónak lehessen őket tekinteni.
K: Hogyan viszonyul a hasonlóság a kongruenciához?
V: A kongruens alakzatok oldalai és szögei megegyeznek, tehát két alakzat akkor kongruens egymással, ha az egyik csak forgatással, tükrözéssel vagy mozgatással válhat a másik alakzattá. Minden olyan alakzat, amely kongruens egymással, hasonló is, de fordítva nem.
K: A körök mindig hasonlóak?
V: Igen, a körök, négyzetek vagy vonalszakaszok mindig hasonlónak tekinthetők.
Keres