Négyzetszámok — definíció, tulajdonságok és példák (1, 4, 9…)
Négyzetszámok: világos definíció, kulcstulajdonságok és szemléletes példák (1, 4, 9, 16…), magyarázatok és gyakorlatok lépésről lépésre.
A négyzetszám, néha tökéletes négyzetnek is nevezik, egy egész szám önmagával való szorzásának eredménye. Az 1, 4, 9, 16 és 25 az első öt négyzetszám. Egy képletben az n szám négyzetét n2 (exponenciálás), általában úgy ejtik ki, hogy "n négyzet". A négyzetszám elnevezés az alakzat nevéből származik; lásd alább.
A négyzetszámok nem negatívak. Egy másik módja annak, hogy egy (nemnegatív) szám négyzetszám, az, hogy a négyzetgyöke ismét egész szám. Például √9 = 3, tehát a 9 négyzetszám.
Alapfogalmak és jelölés
- Definíció: Egy n egész szám négyzetszáma az n2 kifejezés. A négyzetszámok sorozata: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, … (sok szerző a 0-t is négyzetszámként sorolja).
- Negatívok: Bár n lehet negatív, az n2 mindig nemnegatív, és (−n)2 = n2.
- Négyzetgyök: Egy nemnegatív egész szám akkor és csak akkor négyzetszám, ha négyzetgyöke egész (például 36 = 62, mert √36 = 6).
Fontos tulajdonságok
- Különbségek: Két egymást követő négyzetszám különbsége mindig páratlan: (n+1)2 − n2 = 2n + 1.
- Odd számok összege: Az első n páratlan szám összege n2. Így 1 + 3 + 5 + … + (2n−1) = n2.
- Prímtényezős alak: Egy egész szám tökéletes négyzetszám akkor és csak akkor, ha minden prímtényező kitevője páros a szám prímtényezős felbontásában (például 36 = 22·32).
- Moduláris maradékok: Négyzetszámok bizonyos maradékokat vehetnek fel modulo k szerint. Például mod 4 a négyzetszámok csak 0 vagy 1 lehetnek; mod 3 csak 0 vagy 1; mod 8 lehet 0, 1 vagy 4.
- Egész tízes számjegyek: Az utolsó számjegy alapján egy négyzetszám tízesrendszerben nem végződhet 2, 3, 7 vagy 8; lehetséges utolsó számjegyek: 0, 1, 4, 5, 6, 9.
- Monoton növekedés: A négyzetszámok növekvő sorrendben nőnek, és növekedésük kvadratikus (az n–edik négyzetszám arányosan nő n2-sel).
Hogyan ellenőrizhető, hogy egy szám négyzetszám-e?
- Gyökvizsgálat: Számítsuk ki a nemnegatív szám négyzetgyökét; ha az egész, akkor négyzetszám.
- Prímtényezős módszer: Fejtsük fel a számot prímtényezőkre; ha minden prímtényező kitevője páros, akkor tökéletes négyzetszám.
- Egyszerű kizárás modulo-teszttel: Ha a szám maradéka modulo 4, 8 vagy 10 olyan érték, amely négyzetszámoknál nem fordul elő (például maradék 2 mod 4), akkor nem lehet négyzetszám.
Példák és konkrét esetek
- 1 = 12, 4 = 22, 9 = 32, 16 = 42, 25 = 52, 36 = 62, 49 = 72, 64 = 82, 81 = 92, 100 = 102.
- 36 prímtényezős alakja 22·32, ezért négyzetszám. Ezzel szemben 18 = 2·32 nem négyzetszám, mert a 2 prímtényező kitevője páratlan.
- Az első 5 páratlan szám összege: 1+3+5+7+9 = 25 = 52.
Geometriai értelmezés
A név onnan ered, hogy egy n×n rácsból álló négyzet pontjainak száma éppen n2. Például 3×3 rács 9 pontot tartalmaz — ez a 9 négyzetszám vizuális értelmezése. A páros különbségek (2n+1) a négyzetszámok növekvő négyzetalapjainak peremére illeszthetők: minden egyes új réteg egy páratlan számú pontot ad hozzá.
Alkalmazások és előfordulás
- Geometria: területszámításnál (négyzet területe = oldal2).
- Számelmélet: diofantikus egyenletek, pitagoraszi számhármasok vizsgálata.
- Kombinatorika és algoritmusok: négyzetszámokat használó képletek, hashing és néhány algoritmus komplexitásának modellezése.
További megjegyzések
- Square-free számok: Azok az egész számok, amelyek nem oszthatók négyzetszámmal (kivéve 1), a számelméletben fontos szerepet játszanak.
- Negatív négyzetszámok a komplex síkon: A valós számok között nincs negatív négyzetszám, de komplex számok esetén bárminek létezik négyzetgyöke (például i2 = −1).
Összefoglalva, a négyzetszámok egyszerű, mégis rendkívül hasznos fogalmak a matematikában, könnyen felismerhetők prímtényezőzés alapján, és sok érdekes algebrai és számelméleti tulajdonsággal rendelkeznek.
Példák
A 70-nél kisebb négyzetek (az OEIS-ben az A000290 szekvencia)2 :
102 =100
112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
152 = 225
162 = 256
172 = 289
182 = 324
192 = 361
202 = 400
212 = 441
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625
262 = 676
272 = 729
282 = 784
292 = 841
302 = 900
312 = 961
322 = 1024
332 = 1089
342 = 1156
352 = 1225
362 = 1296
372 = 1369
382 = 1444
392 = 1521
402 = 1600
412 = 1681
422 = 1764
432 = 1849
442 = 1936
452 = 2025
462 = 2116
472 = 2209
482 = 2304
492 = 2401
502 = 2500
512 = 2601
522 = 2704
532 = 2809
542 = 2916
552 = 3025
562 = 3136
572 = 3249
582 = 3364
592 = 3481
602 = 3600
612 = 3721
622 = 3844
632 = 3969
642 = 4096
652 = 4225
662 = 4356
672 = 4489
682 = 4624
692 = 4761
Végtelen sok négyzetszám van, ahogyan végtelen sok természetes szám is.
Tulajdonságok
Az m szám akkor és csak akkor négyzetszám, ha m egyenlő (kisebb) négyzetből négyzetet lehet alkotni:
| m = 12 = 1 |
|
| m = 22 = 4 |
|
| m = 32 = 9 |
|
| m = 42 = 16 |
|
| m = 52 = 25 |
|
| Megjegyzés: A négyzetek közötti fehér rések csak a vizuális érzékelés javítására szolgálnak. | |
Egy n oldalhosszúságú négyzet területe n . 2
Az n-edik négyzetszám kifejezése: n2 . Ez is egyenlő az első n páratlan szám összegével, amint az a fenti képeken is látható, ahol egy négyzet az előzőből egy páratlan számú pont hozzáadásával keletkezik (magenta színnel jelölve). A képlet a következő:
n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . {\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1). } 
Tehát például 52 =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
Egy négyzetszám csak 0, 1, 4, 6, 9 vagy 25 számjegyekkel végződhet 10-es bázison, az alábbiak szerint:
- Ha egy szám utolsó számjegye 0, akkor a négyzete páros számú 0-val végződik (tehát legalább 00), és a 0-t megelőző számjegyeknek is négyzetet kell alkotniuk.
- Ha egy szám utolsó számjegye 1 vagy 9, akkor a négyzete 1-re végződik, és az azt megelőző számjegyekből képzett számnak néggyel oszthatónak kell lennie.
- Ha egy szám utolsó számjegye 2 vagy 8, akkor a négyzete 4-re végződik, és az azt megelőző számjegynek párosnak kell lennie.
- Ha egy szám utolsó számjegye 3 vagy 7, akkor a négyzete 9-re végződik, és az azt megelőző számjegyekből képzett számnak néggyel oszthatónak kell lennie.
- Ha egy szám utolsó számjegye 4 vagy 6, akkor a négyzete 6-ra végződik, és az azt megelőző számjegynek páratlannak kell lennie.
- Ha egy szám utolsó számjegye 5, akkor a négyzete 25-re végződik, és az azt megelőző számjegyeknek 0, 2, 06 vagy 56-nak kell lenniük.
A négyzetszám nem lehet tökéletes szám.
Minden negyedik, hatodik, nyolcadik és így tovább tökéletes négyzet.
Különleges esetek
- Ha a szám m5 alakú, ahol m az előtte lévő számjegyeket jelöli, akkor a négyzete n25, ahol n = m × (m + 1) és a 25 előtti számjegyeket jelöli. Például a 65 négyzete a következőképpen számítható ki: n = 6 × (6 + 1) = 42, így a négyzete 4225.
- Ha a szám m0 alakú, ahol m az előző számjegyeket jelöli, akkor a négyzete n00, ahol n = m2 . Például a 70 négyzete 4900.
- Ha a szám két számjegyű és 5m alakú, ahol m az egységszámjegy, akkor a négyzete AABB, ahol AA = 25 + m és BB = m2 . Példa: Az 57 négyzetének kiszámításához 25 + 7 = 32 és 72 = 49, ami azt jelenti, hogy 572 = 3249.
Páratlan és páros négyzetszámok
A páros számok négyzetei párosak (és valójában oszthatók 4-gyel), mivel (2n)2 = 4n2 .
A páratlan számok négyzetei páratlanok, mivel (2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1.
Ebből következik, hogy a páros négyzetszámok négyzetgyökei párosak, a páratlan négyzetszámok négyzetgyökei pedig páratlanok.
Mivel minden páros négyzetszám osztható 4-gyel, a 4n + 2 alakú páros számok nem négyzetszámok.
Mivel minden páratlan négyzetszám 4n + 1 alakú, a 4n + 3 alakú páratlan számok nem négyzetszámok.
A páratlan számok négyzete 8n + 1 alakú, mivel (2n + 1)2 = 4n(n + 1) + 1 és n(n + 1) páros szám.
Keres