Négyzetszámok
A négyzetszám, néha tökéletes négyzetnek is nevezik, egy egész szám önmagával való szorzásának eredménye. Az 1, 4, 9, 16 és 25 az első öt négyzetszám. Egy képletben az n szám négyzetét n2 (exponenciálás), általában úgy ejtik ki, hogy "n négyzet". A négyzetszám elnevezés az alakzat nevéből származik; lásd alább.
A négyzetszámok nem negatívak. Egy másik módja annak, hogy egy (nemnegatív) szám négyzetszám, az, hogy a négyzetgyöke ismét egész szám. Például √9 = 3, tehát a 9 négyzetszám.
Példák
A 70-nél kisebb négyzetek (az OEIS-ben az A000290 szekvencia)2 :
102 =100
112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
152 = 225
162 = 256
172 = 289
182 = 324
192 = 361
202 = 400
212 = 441
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625
262 = 676
272 = 729
282 = 784
292 = 841
302 = 900
312 = 961
322 = 1024
332 = 1089
342 = 1156
352 = 1225
362 = 1296
372 = 1369
382 = 1444
392 = 1521
402 = 1600
412 = 1681
422 = 1764
432 = 1849
442 = 1936
452 = 2025
462 = 2116
472 = 2209
482 = 2304
492 = 2401
502 = 2500
512 = 2601
522 = 2704
532 = 2809
542 = 2916
552 = 3025
562 = 3136
572 = 3249
582 = 3364
592 = 3481
602 = 3600
612 = 3721
622 = 3844
632 = 3969
642 = 4096
652 = 4225
662 = 4356
672 = 4489
682 = 4624
692 = 4761
Végtelen sok négyzetszám van, ahogyan végtelen sok természetes szám is.
Tulajdonságok
Az m szám akkor és csak akkor négyzetszám, ha m egyenlő (kisebb) négyzetből négyzetet lehet alkotni:
| m = 12 = 1 |
|
| m = 22 = 4 |
|
| m = 32 = 9 |
|
| m = 42 = 16 |
|
| m = 52 = 25 |
|
| Megjegyzés: A négyzetek közötti fehér rések csak a vizuális érzékelés javítására szolgálnak. | |
Egy n oldalhosszúságú négyzet területe n . 2
Az n-edik négyzetszám kifejezése: n2 . Ez is egyenlő az első n páratlan szám összegével, amint az a fenti képeken is látható, ahol egy négyzet az előzőből egy páratlan számú pont hozzáadásával keletkezik (magenta színnel jelölve). A képlet a következő:
n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . {\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1). } 
Tehát például 52 =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
Egy négyzetszám csak 0, 1, 4, 6, 9 vagy 25 számjegyekkel végződhet 10-es bázison, az alábbiak szerint:
- Ha egy szám utolsó számjegye 0, akkor a négyzete páros számú 0-val végződik (tehát legalább 00), és a 0-t megelőző számjegyeknek is négyzetet kell alkotniuk.
- Ha egy szám utolsó számjegye 1 vagy 9, akkor a négyzete 1-re végződik, és az azt megelőző számjegyekből képzett számnak néggyel oszthatónak kell lennie.
- Ha egy szám utolsó számjegye 2 vagy 8, akkor a négyzete 4-re végződik, és az azt megelőző számjegynek párosnak kell lennie.
- Ha egy szám utolsó számjegye 3 vagy 7, akkor a négyzete 9-re végződik, és az azt megelőző számjegyekből képzett számnak néggyel oszthatónak kell lennie.
- Ha egy szám utolsó számjegye 4 vagy 6, akkor a négyzete 6-ra végződik, és az azt megelőző számjegynek páratlannak kell lennie.
- Ha egy szám utolsó számjegye 5, akkor a négyzete 25-re végződik, és az azt megelőző számjegyeknek 0, 2, 06 vagy 56-nak kell lenniük.
A négyzetszám nem lehet tökéletes szám.
Minden negyedik, hatodik, nyolcadik és így tovább tökéletes négyzet.
Különleges esetek
- Ha a szám m5 alakú, ahol m az előtte lévő számjegyeket jelöli, akkor a négyzete n25, ahol n = m × (m + 1) és a 25 előtti számjegyeket jelöli. Például a 65 négyzete a következőképpen számítható ki: n = 6 × (6 + 1) = 42, így a négyzete 4225.
- Ha a szám m0 alakú, ahol m az előző számjegyeket jelöli, akkor a négyzete n00, ahol n = m2 . Például a 70 négyzete 4900.
- Ha a szám két számjegyű és 5m alakú, ahol m az egységszámjegy, akkor a négyzete AABB, ahol AA = 25 + m és BB = m2 . Példa: Az 57 négyzetének kiszámításához 25 + 7 = 32 és 72 = 49, ami azt jelenti, hogy 572 = 3249.
Páratlan és páros négyzetszámok
A páros számok négyzetei párosak (és valójában oszthatók 4-gyel), mivel (2n)2 = 4n2 .
A páratlan számok négyzetei páratlanok, mivel (2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1.
Ebből következik, hogy a páros négyzetszámok négyzetgyökei párosak, a páratlan négyzetszámok négyzetgyökei pedig páratlanok.
Mivel minden páros négyzetszám osztható 4-gyel, a 4n + 2 alakú páros számok nem négyzetszámok.
Mivel minden páratlan négyzetszám 4n + 1 alakú, a 4n + 3 alakú páratlan számok nem négyzetszámok.
A páratlan számok négyzete 8n + 1 alakú, mivel (2n + 1)2 = 4n(n + 1) + 1 és n(n + 1) páros szám.
