Képzetes számok olyan
A képzetes számok olyan számok, amelyek egy valós szám és az i nevű képzetes egység kombinálásával jönnek létre, ahol az i definíciója a következő: i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1}
. A negatív valós számoktól elkülönülten definiáltak, mivel pozitív valós szám helyett egy negatív valós szám négyzetgyökét alkotják. Ez a valós számoknál nem lehetséges, mivel nincs olyan valós szám, amely önmagával szorozva negatív számot kapna (pl. 3*3 = 9 és -3*-3 = 9).
A képzeletbeli számok a negatív számokhoz képest olyanok, mint a negatív számok a pozitív számokhoz képest. Ha azt mondom, hogy "menj keletre -1 mérföldet", az ugyanaz, mintha azt mondtam volna, hogy "menj nyugatra 1 mérföldet". Ha azt mondom, hogy "menj keletre i mérföldet", az ugyanazt jelenti, mintha azt mondtam volna, hogy "menj északra 1 mérföldet". Ha azt mondom, hogy "menj keletre -i mérfölddel", az ugyanazt jelenti, mintha azt mondtam volna, hogy "menj délre 1 mérfölddel".
A hozzáadás is egyszerű. Ha azt mondom, hogy "menj keletre 1 + i mérföldet", az ugyanazt jelenti, mintha azt mondtam volna, hogy "menj keletre egy mérföldet és északra egy mérföldet".
Két képzeletbeli szám szorzása olyan, mintha egy pozitív számot szoroznánk egy negatív számmal. Ha azt mondom, hogy "menj keletre 2*-3 mérföldet", az azt jelenti, hogy "fordulj meg teljesen (úgy, hogy most nyugat felé nézz), és menj 2*3 = 6 mérföldet". A képzeletbeli számok ugyanígy működnek, azzal a különbséggel, hogy csak részben lehet elfordulni. Ha azt mondom, hogy "menj 2*3i mérföldet keletre", az ugyanazt jelenti, mintha azt mondtam volna, hogy "fordulj el, amíg észak felé nem nézel, és menj 2*3 = 6 mérföldet".
Az 5-9 kivonása lehetetlen volt, amíg a negatív számokat fel nem találták. Azután a negatív számok négyzetgyökének kivonása lehetetlen volt, amíg fel nem találták a képzeletbeli számokat. A 9 négyzetgyöke 3, de a -9 négyzetgyöke nem -3. Ez azért van így, mert -3 x -3 = +9, nem pedig -9. Sokáig úgy tűnt, hogy a -9 négyzetgyökére nincs válasz.
Ezért találták ki a matematikusok a képzeletbeli számot, az i-t, és azt mondták, hogy ez a -1 négyzetgyöke. A -1 négyzetgyöke nem valós szám, így ez a definíció egy új számtípust hoz létre, ahogyan a törtek olyan számokat hoznak létre, mint a 2/3, amelyek nem számoló számok, mint a 4 vagy a 10, és a negatív számok lehetővé teszik, hogy 0-nál kisebb számokat kapjunk. Néha úgy tűnik, a matematikusok inkább kényelmesen használnak egy olyan számot, amely ennyire szokatlan, de a képzeletbeli elnevezés ne tévesszen meg, mert az i ugyanolyan érvényes szám, mint a 3 vagy a 145,379.
A tudomány és a mérnöki tudomány számos ága találta meg ennek a számnak a felhasználási lehetőségét. Néha a villamosmérnököknek i-re van szükségük, hogy megértsék, hogyan fog működni egy elektromos áramkör, amikor tervezik azt (a villamosmérnökök i helyett j-t használnak, hogy elkerüljék az összetévesztést az áram szimbólumával). A fizika bizonyos ágai, például a kvantumfizika és a nagyenergiájú fizika ugyanolyan gyakran használja az i-t, mint bármely más szabályos számot. A világon sok egyenlet egyszerűen nem oldható meg i nélkül.
A képzeletbeli számok keveredhetnek az általunk jobban ismert számokkal. Például egy valós számot, például a 2-t hozzáadhatjuk egy képzeletbeli számhoz, például a 3ihez, és így 2+3i-t kapunk. Az ilyen kevert számokat komplex számoknak nevezzük.
Kérdések és válaszok
K: Mi az a képzeletbeli szám?
V: A képzeletbeli szám egy valós szám és az i nevű képzeletbeli egység kombinációja, ahol az i definíciója i^2=-1.
K: Miben különböznek a képzetes számok a negatív valós számoktól?
V: A képzetes számokat a negatív valós számoktól elkülönülten definiáljuk, amennyiben egy negatív valós szám négyzetgyökét alkotják (pozitív valós szám helyett). Ez a valós számok esetében nem lehetséges, mivel nincs olyan valós szám, amely önmagával szorozva negatív számot kapna.
K: Mit jelent, amikor azt mondjuk, hogy "menjünk keletre -i mérfölddel"?
V: Amikor azt mondjuk, hogy "menj keletre -i mérfölddel", az ugyanazt jelenti, mintha azt mondtuk volna, hogy "menj délre 1 mérfölddel".
K: Hogyan adunk össze két képzeletbeli számot?
V: Két képzeletbeli szám összeadásához azt mondhatjuk, hogy "menj keletre egy mérfölddel és északra egy mérfölddel". Két képzeletbeli szám szorzása hasonló ahhoz, mintha egy pozitív számot szoroznánk egy negatív számmal.
K: Mik azok a komplex számok?
V: A komplex számok olyan vegyes számok, amelyek valós és képzeletbeli összetevőkből állnak, például 2+3i. Akkor jönnek létre, ha egy valós és egy képzeletbeli komponenst összeadunk.
K: Milyen területeken használják a matematikusok a képzeletbeli egység fogalmát?
V: A matematikusok a képzeletbeli egység fogalmát a tudomány és a mérnöki tudományok számos területén használják, például az elektrotechnikában, a kvantumfizikában, a nagyenergiájú fizikában stb. Olyan egyenletekben is használják, amelyek nélküle nem oldhatók meg.
