AlegsaOnline.com

Pitagorasz-tétel: derékszögű háromszög definíciója és bizonyításai

Pitagorasz-tétel: áttekintő és részletes magyarázat derékszögű háromszögekről, többféle bizonyítással, példákkal és ábrákkal — lépésről lépésre megérthető.

Szerző: Leandro Alegsa

23-02-2026

A matematikában a Pitagorasz-tétel a Pitagorasz-tétel a derékszögű háromszög oldalaira vonatkozó alapvető állítás. Egy derékszögű háromszög egyik szöge mindig 90 fok; ezt nevezzük derékszögnek. A derékszög két befogója (a derékszöggel határolt oldalak) a katéták, a velük szemközti oldal pedig a hipotenúza, amely mindig a leghosszabb oldal.

Megfogalmazás

A Pitagorasz-tétel egyszerűen megfogalmazva így szól: ha a két katéta hossza a és b, a hipotenúza hossza pedig c, akkor

a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}} $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Egyszerűbb, olvashatóbb formában: a² + b² = c².

Történet

A tételt hagyományosan a görög matematikusról, Pitagoraszról nevezték el, de valószínű, hogy az állítást és speciális eseteket korábban is ismertek más kultúrákban (például a mezopotámiai, indiai és kínai számításokban). A tétel számos különböző bizonyítását írták le az idők során.

Bizonyítások — áttekintés

Ennek a tételnek nagyon sok, egymástól különböző bizonyítása létezik. Gyakran négy nagy kategóriába sorolják őket:

Geometriai (átalakításos) bizonyítások, például négy háromszög és négyzet átrendezésével mutatják meg az egyenlő területeket.
Hasonlóságon alapuló bizonyítások, amelyek a derékszögű háromszög és az általa képzett két kisebb, hasonló háromszög arányait használják.
Algebrai és koordináta-geometriai bizonyítások, amelyek analízissel vagy koordinátarendszerben végzett számítással érnek el eredményt.
Vektor- és lineáris algebrai megközelítések, amelyek a belső szorzat és az ortogonalitás fogalmait alkalmazzák.

Két rövid bizonyítás

1. Átrendezéses (négyzetes) bizonyítás — vázlat: Készítsünk egy (a+b) élű négyzetet, és helyezzünk bele négy darab, egyforma, a, b, c oldalakkal rendelkező derékszögű háromszöget úgy, hogy középen marad egy kisebb négyzet. Az átrendezés alapján a nagy négyzet területe kétféleképpen számolható: (a) mint (a+b)², (b) mint a négy háromszög összterülete plusz a középső négyzet területe. Rendezve az egyenletet kapjuk, hogy a² + b² = c².

2. Hasonlóságon alapuló bizonyítás — vázlat: Legyen ABC derékszögű háromszög C a derékszög. Húzzuk be a C-hez tartozó magasságot a hipotenúzára, ez két kisebb háromszöget eredményez, amelyek mind hasonlóak az eredeti ABC háromszöghöz. A hasonlóság arányai felhasználásával az oldalak négyzetösszegekre bonthatók, és kimutatható, hogy a² + b² = c².

Példa

Legismertebb numerikus példa az 3–4–5 háromszög: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Ez egy primitív Pitagoraszi hármas (az oldalak közös legnagyobb közös osztója 1).

Pitagoraszi hármasok és generálásuk

A Pitagoraszi hármasok olyan egész szám-triplák (a, b, c), amelyek kielégítik az egyenletet. Egy általános paraméteres formulával minden primitív (tehát kölcsönösen relatív prím) hármas előállítható pozitív egész m és n (m > n, különböző paritású):

a = m² − n², b = 2mn, c = m² + n².

A tétel visszája (konverze)

A Pitagorasz-tétel konverze is igaz: ha egy háromszög oldalai a, b, c úgy, hogy a² + b² = c², akkor a háromszög derékszögű, és a c oldal a derékszöggel szembeni hipotenúza.

Alkalmazások és általánosítások

Távolságszámítás a síkon: a két pont közötti euklideszi távolság képlete következménye.
Az ortogonalitás vizsgálata vektorok esetén: két vektor akkor és csak akkor merőleges, ha a négyzetösszegen alapuló relációk teljesülnek (belső szorzat = 0 esetén).
Általános háromszögekre a Pitagorasz-tétel a koszinusztételbe általánosul: c² = a² + b² − 2abcos(γ).
Magasabb dimenziókban is létezik általánosítás: euklideszi térben az ortogonális komponensek négyzetösszege adja a vektor négyzetes normáját.

További megjegyzések

A Pitagorasz-tétel egyszerre könnyen érthető és rendkívül hasznos; elemzése és bizonyításai bemutatják a matematika különböző ágainak összefonódását (geometria, algebra, számelmélet). A tétel tanulmányozása jó bevezetés a hasonlóság, területszámítás és a koordinátageometria alapelveihez.

Bizonyíték

A Pitagorasz-tétel egyik bizonyítását egy görög matematikus, Eudoxus Cniduszi Eudoxus találta meg.

A bizonyítás három lemma segítségével történik:

Az azonos alapterületű és magasságú háromszögek területe megegyezik.
Egy olyan háromszög, amelynek alapja és magassága megegyezik egy négyzet oldalával, ugyanolyan területű, mint a négyzet egyik fele.
Azok a háromszögek, amelyeknek két egyező oldala és egy egyező szöge van, egybevágóak és azonos területűek.

A bizonyíték:

A kék háromszög területe megegyezik a zöld háromszög területével, mivel az alapterülete és a magassága megegyezik (1. lemma).
A zöld és a piros háromszögek két oldala megegyezik ugyanazon négyzetek oldalainak oldalával, és egy szögük megegyezik egy egyenes szöggel (90 fokos szög) plusz egy háromszög szögével, tehát egybeesnek és azonos területűek (3. lemma).
A piros és a sárga háromszögek területe egyenlő, mert magasságuk és alapjuk azonos (1. tétel).
A kék háromszög területe megegyezik a sárga háromszög területével, mert

A b l u e = A g r e e e n = A r e d = A y e l l o w {\displaystyle {\color {blue}A_{blue}}={\color {green}A_{green}}={\color {red}A_{red}}={\color {yellow}A_{yellow}}} ${\color {blue}A_{blue}}={\color {green}A_{green}}={\color {red}A_{red}}={\color {yellow}A_{yellow}}$

A barna háromszögek területe ugyanezen okok miatt azonos.
A kék és a barna egy-egy kisebb négyzet területének a fele. Területeik összege egyenlő a nagyobb négyzet területének felével. Emiatt a kis négyzetek területének fele megegyezik a nagyobb négyzet területének felével, tehát területük megegyezik a nagyobb négyzet területével.

Bizonyítás hasonló háromszögek segítségével

A Pitagorasz-tétel egy másik bizonyítását is megkaphatjuk a hasonló háromszögek segítségével.

d a = a c ⇒ d = a 2 c ( 1 ) {\displaystyle {\frac {d}{a}}={\frac {a}{c}}}\quad \Rightarrow \quad d={\frac {a^{2}}}{c}}}\quad (1)} ${\frac {d}{a}}={\frac {a}{c}}\quad \Rightarrow \quad d={\frac {a^{2}}{c}}\quad (1)$

e/b = b/c => e = b^2/c (2)

A képből tudjuk, hogy c = d + e {\displaystyle c=d+e\,\! } $c=d+e\,\!$ . Az (1) és (2) egyenletek felcserélésével pedig:

c = a 2 c + b 2 c {\displaystyle c={\frac {a^{2}}}{c}}+{\frac {b^{2}}}{c}}}} $c={\frac {a^{2}}{c}}+{\frac {b^{2}}{c}}$

Szorozva c-vel:

c 2 = a 2 + b 2 . {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,\!. } $c^{2}=a^{2}+b^{2}\,\!.$

Pitagorasz hármasai

A Pitagorasz-hármasok vagy hármasok három olyan egész szám, amelyek megfelelnek az a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}} egyenletnek. $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ .

A 3, 4 és 5 oldalú háromszög jól ismert példa. Ha a=3 és b=4, akkor 3 2 + 4 2 = 5 2 {\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}} $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ , mert 9 + 16 = 25 {\displaystyle 9+16=25}} $9+16=25$ . Ez úgy is kimutatható, hogy 3 2 + 4 2 = 5. {\displaystyle {\sqrt {3^{2}+4^{2}}}=5.} ${\sqrt {3^{2}+4^{2}}}=5.$

A három-négy-öt háromszög a 3, 4 és 5 minden többszörösére működik. Más szóval az olyan számok, mint a 6, 8, 10 vagy a 30, 40 és 50 szintén Pitagorasz-hármasok. Egy másik példa hármasra a 12-5-13 háromszög, mert 12 2 + 5 2 = 13 {\displaystyle {\sqrt {12^{2}+5^{2}}}=13}} ${\sqrt {12^{2}+5^{2}}}=13$ .

Az olyan Pitagorasz-hármast, amely nem többszöröse más hármasoknak, primitív Pitagorasz-hármasnak nevezzük. Minden primitív Pitagorasz-hármas megtalálható a ( 2 m n , m 2 - n 2 , m 2 + n 2 ) {\displaystyle (2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2})} kifejezéssel. $(2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2})$ , de a következő feltételeknek kell teljesülniük. Ezek korlátozzák m {\displaystyle m} és n {\displaystyle n} értékeit.

m {\displaystyle m} és n {\displaystyle n} pozitív egész számok
m {\displaystyle m} és n {\displaystyle n} nem rendelkeznek közös faktorokkal, kivéve az 1-et
m {\displaystyle m} és n {\displaystyle n} ellentétes paritású. m {\displaystyle m} és n {\displaystyle n} ellentétes paritású, ha m {\displaystyle m} páros és n {\displaystyle n} páratlan, vagy m {\displaystyle m} páratlan és n {\displaystyle n} páros.
m > n {\displaystyle m>n} .

Ha mind a négy feltétel teljesül, akkor m {\displaystyle m} és n {\displaystyle n} értékei egy primitív Pitagorasz-hármast alkotnak.

m = 2 {\displaystyle m=2} $m=2$ és n = 1 {\displaystyle n=1} $n=1$ egy primitív Pitagorasz-hármast alkot. Az értékek mind a négy feltételnek megfelelnek. 2 m n = 2 × 2 × 1 = 4 {\displaystyle 2mn=2\times 2\times 1=4} $2mn=2\times 2\times 1=4$ , m 2 - n 2 = 2 2 - 1 2 = 4 - 1 = 3 {\displaystyle m^{2}-n^{2}=2^{2}-1^{2}=4-1=3} $m^{2}-n^{2}=2^{2}-1^{2}=4-1=3$ és m 2 + n 2 = 2 2 + 1 2 = 4 + 1 = 5 {\displaystyle m^{2}+n^{2}=2^{2}+1^{2}=4+1=5} $m^{2}+n^{2}=2^{2}+1^{2}=4+1=5$ , így létrejön a ( 3 , 4 , 5 ) {\displaystyle (3,4,5)} $(3,4,5)$ hármas.

Kérdések és válaszok

K: Mi az a Pitagorasz-tétel?

V: A Pitagorasz-tétel egy állítás a derékszögű háromszög oldalaira vonatkozóan.

K: Melyik szög egyenlő mindig 90 fokkal egy derékszögű háromszögben?

V: Egy derékszögű háromszög egyik szöge mindig 90 fokkal egyenlő, ezt nevezzük derékszögnek.

K: Hogy hívják a derékszög melletti két oldalt?

V: A derékszög melletti két oldalt lábaknak nevezzük.

K: Hogy hívják a derékszöggel szemben lévő oldalt?

V: A derékszöggel szemben lévő oldalt hipotenúzának nevezzük, és ez mindig a leghosszabb oldal.

K: Van egyenlet ennek a tételnek a kiszámítására?

V: Igen, van egy egyenlet ennek a tételnek a kiszámítására, amely kimondja, hogy "a hipotenúz hosszának négyzete egyenlő a másik két oldal hossza négyzeteinek összegével".

K: Minden 90 fokos szögű háromszög "derékszögű" háromszögnek tekinthető?

V: Nem, nem minden 90 fokos szöget bezáró háromszög tekinthető "derékszögű" háromszögnek; csak azok, amelyeknek az egyik oldala (hipotenúzája) hosszabb, mint a másik két oldal, és a végén 90 fokos szöget zár be, tekinthetők "derékszögű" háromszögnek.