Pitagorasz-tétel

Bizonyíték

A Pitagorasz-tétel egyik bizonyítását egy görög matematikus, Eudoxus Cniduszi Eudoxus találta meg.

A bizonyítás három lemma segítségével történik:

1. Az azonos alapterületű és magasságú háromszögek területe megegyezik.
2. Egy olyan háromszög, amelynek alapja és magassága megegyezik egy négyzet oldalával, ugyanolyan területű, mint a négyzet egyik fele.
3. Azok a háromszögek, amelyeknek két egyező oldala és egy egyező szöge van, egybevágóak és azonos területűek.

A bizonyíték:

1. A kék háromszög területe megegyezik a zöld háromszög területével, mivel az alapterülete és a magassága megegyezik (1. lemma).
2. A zöld és a piros háromszögek két oldala megegyezik ugyanazon négyzetek oldalainak oldalával, és egy szögük megegyezik egy egyenes szöggel (90 fokos szög) plusz egy háromszög szögével, tehát egybeesnek és azonos területűek (3. lemma).
3. A piros és a sárga háromszögek területe egyenlő, mert magasságuk és alapjuk azonos (1. tétel).
4. A kék háromszög területe megegyezik a sárga háromszög területével, mert

A b l u e = A g r e e e n = A r e d = A y e l l o w {\displaystyle {\color {blue}A_{blue}}={\color {green}A_{green}}={\color {red}A_{red}}={\color {yellow}A_{yellow}}}

1. A barna háromszögek területe ugyanezen okok miatt azonos.
2. A kék és a barna egy-egy kisebb négyzet területének a fele. Területeik összege egyenlő a nagyobb négyzet területének felével. Emiatt a kis négyzetek területének fele megegyezik a nagyobb négyzet területének felével, tehát területük megegyezik a nagyobb négyzet területével.

Bizonyítás hasonló háromszögek segítségével

A Pitagorasz-tétel egy másik bizonyítását is megkaphatjuk a hasonló háromszögek segítségével.

d a = a c ⇒ d = a 2 c ( 1 ) {\displaystyle {\frac {d}{a}}={\frac {a}{c}}}\quad \Rightarrow \quad d={\frac {a^{2}}}{c}}}\quad (1)}

e/b = b/c => e = b^2/c (2)

A képből tudjuk, hogy c = d + e {\displaystyle c=d+e\,\! } . Az (1) és (2) egyenletek felcserélésével pedig:

c = a 2 c + b 2 c {\displaystyle c={\frac {a^{2}}}{c}}+{\frac {b^{2}}}{c}}}}

Szorozva c-vel:

c 2 = a 2 + b 2 . {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,\!. }

Pitagorasz hármasai

A Pitagorasz-hármasok vagy hármasok három olyan egész szám, amelyek megfelelnek az a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}} egyenletnek. .

A 3, 4 és 5 oldalú háromszög jól ismert példa. Ha a=3 és b=4, akkor 3 2 + 4 2 = 5 2 {\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}}, mert 9 + 16 = 25 {\displaystyle 9+16=25}} . Ez úgy is kimutatható, hogy 3 2 + 4 2 = 5. {\displaystyle {\sqrt {3^{2}+4^{2}}}=5.}

A három-négy-öt háromszög a 3, 4 és 5 minden többszörösére működik. Más szóval az olyan számok, mint a 6, 8, 10 vagy a 30, 40 és 50 szintén Pitagorasz-hármasok. Egy másik példa hármasra a 12-5-13 háromszög, mert 12 2 + 5 2 = 13 {\displaystyle {\sqrt {12^{2}+5^{2}}}=13}} .

Az olyan Pitagorasz-hármast, amely nem többszöröse más hármasoknak, primitív Pitagorasz-hármasnak nevezzük. Minden primitív Pitagorasz-hármas megtalálható a ( 2 m n , m 2 - n 2 , m 2 + n 2 ) {\displaystyle (2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2})} kifejezéssel. , de a következő feltételeknek kell teljesülniük. Ezek korlátozzák m {\displaystyle m} és n {\displaystyle n} értékeit.

1. m {\displaystyle m} és n {\displaystyle n} pozitív egész számok
2. m {\displaystyle m} és n {\displaystyle n} nem rendelkeznek közös faktorokkal, kivéve az 1-et
3. m {\displaystyle m} és n {\displaystyle n} ellentétes paritású. m {\displaystyle m} és n {\displaystyle n} ellentétes paritású, ha m {\displaystyle m} páros és n {\displaystyle n} páratlan, vagy m {\displaystyle m} páratlan és n {\displaystyle n} páros.
4. m > n {\displaystyle m>n} .

Ha mind a négy feltétel teljesül, akkor m {\displaystyle m} és n {\displaystyle n} értékei egy primitív Pitagorasz-hármast alkotnak.

m = 2 {\displaystyle m=2} és n = 1 {\displaystyle n=1} egy primitív Pitagorasz-hármast alkot. Az értékek mind a négy feltételnek megfelelnek. 2 m n = 2 × 2 × 1 = 4 {\displaystyle 2mn=2\times 2\times 1=4} , m 2 - n 2 = 2 2 - 1 2 = 4 - 1 = 3 {\displaystyle m^{2}-n^{2}=2^{2}-1^{2}=4-1=3} és m 2 + n 2 = 2 2 + 1 2 = 4 + 1 = 5 {\displaystyle m^{2}+n^{2}=2^{2}+1^{2}=4+1=5} , így létrejön a ( 3 , 4 , 5 ) {\displaystyle (3,4,5)} hármas.