Az elosztás egy algebrai fogalom: megmondja, hogyan kell kezelni a bináris műveleteket. A legegyszerűbb eset a számok összeadása és szorzása. Például a számtanban:

2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), de 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3).

Az első egyenlet bal oldalán a 2 megszorozza az 1 és a 3 összegét; a jobb oldalon az 1 és a 3 egyenként szorozza meg az 1-et és a 3-at, a termékeket pedig utána adjuk össze. Mivel ezek ugyanazt a végső választ (8) adják, azt mondjuk, hogy a 2-vel való szorzás elosztja az 1 és a 3 összeadását. Mivel a fenti 2, 1 és 3 helyére bármilyen valós számot be lehetett volna tenni, és akkor is igaz egyenletet kaptunk volna, azt mondjuk, hogy a valós számok szorzása eloszlik a valós számok összeadásával szemben.

Definíció (formális)

Legyenek S egy halmaz és rajta két bináris művelet: + és ⋅. Azt mondjuk, hogy a ⋅ elosztja (disztribútív) a + felett, ha minden a, b, c ∈ S esetén teljesül:

  • Baloldali disztributivitás: a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c)
  • Jobboldali disztributivitás: (b + c) ⋅ a = (b ⋅ a) + (c ⋅ a)

Ha mindkét tulajdonság teljesül, akkor egyszerűen azt mondjuk, hogy a ⋅ disztributív a + felett (vagy hogy a + és a ⋅ közt disztributivitás áll fenn).

Példák

  • Valós számok: A valós számok körében a szorzás elosztja az összeadást: minden a, b, c ∈ R esetén a(b + c) = ab + ac és (b + c)a = ba + ca.
  • Mátrixok: Az n×n mátrixok szorzása eloszt a mátrixok összeadása fölött: A(B + C) = AB + AC és (B + C)A = BA + CA (minden megfelelő méretű mátrixra).
  • Vektorok és skalárok: A skalárszorzás eloszt a vektorok összeadásával: α(u + v) = αu + αv.
  • Logika: Boole-algebrában a logikai ÉS (AND) disztribútív a VAGY-ral (OR) és fordítva bizonyos rendszerekben (például a Kétértékű Boole-algebra mindkét irányban disztributív).

Nem példák — mire nem terjed ki a disztributivitás

  • Osztás: Általában a osztás nem disztributív az összeadás felett: 2/(1+3) ≠ 2/1 + 2/3, és hasonlóan, (a + b)/c ≠ a/c + b/c, kivéve ha c = 1 vagy különleges esetekben.
  • Kivonás: A kivonás sem disztributív a szorzás felett abban az értelemben, hogy a − nem rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy a(b − c) = ab − ac mindig érvényes (ez ugyanakkor igaz a szokásos valós számokra, mert kivonást összeadás és negatív szorzatként lehet értelmezni: b − c = b + (−c), így a(b − c) = ab + a(−c) = ab − ac; de fontos megérteni, hogy a kivonás mint önálló művelet nem rendelkezik minden olyan általános algebrai tulajdonsággal, mint az összeadás).

Algebrai jelentőség

A disztributivitás alapvető axióma sok algebrai struktúrában, például gyűrűkben és testekben. Egy gyűrű definíciójához szükséges, hogy a gyűrűbeli szorzás disztributív legyen az összeadás fölött mindkét oldalon. A disztributivitás teszi lehetővé kifejezések szétosztását (expanziót) és közös tényezők kiemelését (faktorizálást), ami az algebrai számítások alapja.

Gyakorlati alkalmazások és következmények

  • Algebrai manipulációk: polinomok szorzása és egyszerűsítése a disztributivitás alkalmazására épül.
  • Numerikus módszerek: mátrix-, vektor- és skalárműveletek kezelése a numerikus számításokban.
  • Kódolás és optimalizáció: kifejezések átrendezése számítási költség csökkentésére (például közös tényezők kiemelése).

Megjegyzések

  • A disztributivitás két irányból értelmezhető; egyes struktúrákban csak az egyik irány teljesül (pl. nemkommutatív gyűrűkben előfordulhat, hogy csak bal- vagy csak jobboldali disztributivitás áll fenn, bár a gyűrű definíciója mindkettőt megköveteli).
  • Gyakorlati feladatoknál érdemes tudatosan használni a disztributivitást: szétosztás (expanzió) vagy kiemelés (faktorizálás) formájában sokszor egyszerűbbé teszi a számolást.