Vektor – definíció, tulajdonságok és példák matematikában

• John 20 métert sétál észak felé. Az "északi" irány és a "20 méter" távolság együtt egy vektor.
• Egy alma 10 méter per másodperc sebességgel esik lefelé. A "lefelé" irány és a "10 méter/másodperc" sebesség kombinálva egy vektor. Az ilyen vektort sebességnek is nevezik.

• A két hely közötti távolság 10 kilométer. Ez a távolság nem vektor, mert nem tartalmaz irányt.
• A dobozban lévő gyümölcsök száma nem vektor.
• Egy személy, aki rámutat, nem vektor, mert csak egy irány van. Nincs nagyságrend (például a személy ujjának távolsága egy épülettől).
• Egy objektum hossza.
• Egy autó 100 kilométer per órával halad. Ez nem egy vektort ír le, mivel csak nagysága van, de iránya nincs.

• Az elmozdulás egy vektor. Az elmozdulás az a távolság, amelyet valami egy bizonyos irányban megtesz. A távolság mértékegysége önmagában egy skalár.
• Az irányt is tartalmazó erő egy vektor.
• A sebesség egy vektor, mert egy bizonyos irányban mért sebesség.
• A gyorsulás a sebesség változásának mértéke. Egy tárgy akkor gyorsul, ha sebességet vagy irányt változtat.

Vektorok hozzáadása papíron a fej-farok módszerrel

A vektorok összeadásának fej-fej módszerét arra használhatjuk, hogy papíron megbecsüljük két vektor összeadásának eredményét. Így kell csinálni:

• Minden vektor egy nyílként van megrajzolva, mögötte egy bizonyos hosszúsággal, ahol minden egyes hosszúsági egység a papíron a vektor egy bizonyos nagyságát jelenti.
• Rajzolja meg a következő vektort úgy, hogy a második vektor farka (vége) az első vektor fejénél (elejénél) legyen.
• Ismételje meg az összes további vektor esetében: Rajzoljuk a következő vektor farkát az előző vektor fejéhez.
• Húzzunk egy vonalat az első vektor farkától az utolsó vektor fejéig - ez az összes vektor eredője (összege).

Ezt a módszert "fejből farokba" módszernek hívják, mivel az előző vektor minden egyes feje a következő vektor farokába vezet.

Komponensforma használata

^{[meg kell magyarázni d]}

A komponensforma használata két vektor összeadásához szó szerint azt jelenti, hogy a vektorok komponenseinek összeadásával egy új vektort hozunk létre. Legyen például a és b két kétdimenziós vektor. Ezek a vektorok felírhatók a komponenseik szempontjából.

a = ( a x , a y ) {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y})}

b = ( b x , b y ) {\displaystyle \mathbf {b} =(b_{x},b_{y})}

Tegyük fel, hogy c e két vektor összege, tehát c = a + b. Ez azt jelenti, hogy c = ( a x + b x , a y + b y ) {\displaystyle \mathbf {c} =(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})} .

Íme egy példa két vektor összeadására, a komponensformák felhasználásával.

a = ( 3 , - 1 ) {\displaystyle \mathbf {a} =(3,-1)}

b = ( 2 , 2 ) {\displaystyle \mathbf {b} =(2,2)}

c = a + b {\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} +\mathbf {b} }

= ( a x + b x , a y + b y ) {\displaystyle =(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})}

= ( 3 + 2 , - 1 + 2 ) {\displaystyle =(3+2,-1+2)}

= ( 5 , 1 ) {\displaystyle =(5,1)}

Ez a módszer minden vektorra működik, nem csak kétdimenziós vektorokra.

A pontszorzat használata

A pontszorzat a vektorok szorzásának egyik módszere. Ez egy skalárt eredményez. Komponensformát használ:

a = ( 2 , 3 ) b = ( 1 , 4 ) a ⋅ b = ( 2 , 3 ) ⋅ ( 1 , 4 ) = ( 2 ⋅ 1 ) + ( 3 ⋅ 4 ) = 2 + 12 = 14 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} =(2,3)\\\\\mathbf {b} =(1,4)\\\\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =(2,3)\cdot (1,4)\\\=(2\cdot 1)+(3\cdot 4)\\\=2+12=14\end{aligned}}}}}

A kereszttétel használata

A kereszttétel egy másik módszer a vektorok szorzására. Ez egy másik vektort eredményez. Komponensforma használata:

a × b = | a | | | b | sin ( θ ) n {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =|\mathbf {a} |||\mathbf {b} |\sin(\theta )\mathbf {n} }

Itt | a | {\displaystyle |\mathbf {a} |}a {\displaystyle \mathbf {a} hosszát jelenti. } és n {\displaystyle \mathbf {n} } az a {\displaystyle \mathbf {a} } és b {\displaystyle \mathbf {b} } .

Szorzás skalárral

Ha egy vektort skalárral (normál számmal) akarsz megszorozni, akkor a számot megszorozod a vektor minden egyes komponensével:

c x = ( c x 1 , c x 2 , . . . , c x n ) {\displaystyle c\,\mathbf {x} =(c\,x_{1},c\,x_{2},...,c\,x_{n})}

Erre példa a következő

c = 5 x = ( 3 , 4 ) c x = ( 5 ⋅ 3 , 5 ⋅ 4 ) = ( 15 , 20 ) {\displaystyle {\begin{aligned}c=5\\\\\mathbf {x} =(3,4)\\\c\,\mathbf {x} =(5\cdot 3,5\cdot 4)\\\=(15,20)\end{aligned}}}}

• Vektorgrafika
• Vektormező