Monty Hall-probléma: miért érdemes váltani? 2/3 vs 1/3 magyarázata
Monty Hall-probléma magyarázata: miért érdemes váltani? Tudd meg, hogyan növeli a csere az esélyt 1/3-ról 2/3-ra — egyszerű, szemléletes és meggyőző magyarázat.
A Monty Hall‑probléma a valószínűségszámítás egyik legismertebb paradoxonának tűnő feladata. A probléma egy amerikai televíziós játék, a Let's Make a Deal szabályai alapján kapta a nevét (Monty Hall a műsorvezető). A lényeg röviden: három ajtó közül választasz; az egyik mögött egy autó (nagy nyeremény), a másik kettő mögött kecske van. Miután választottál, a házigazda, aki tudja, mi van az ajtók mögött, kinyit egy másik ajtót, amely mögött biztosan kecske van, majd megkérdezi, akarod‑e megtartani eredeti választásodat vagy átváltani a másik, még zárt ajtóra. Növeli‑e a váltás a nyerési esélyt?
Rövid válasz
Igen — a váltás növeli az esélyt. Ha váltasz, az autót 2/3 (két a háromból) valószínűséggel nyered meg; ha nem váltasz, csak 1/3 az esélyed.
Miért 1/3 és 2/3?
Az egyszerű érvelés így néz ki:
- Amikor először választasz egy ajtót, 1/3 az esélye, hogy az autót választottad, és 2/3 az esélye, hogy egy kecskét választottál.
- Ha eredetileg az autót választottad (valószínűség 1/3), a házigazda egy kecskét nyit ki, és ha váltasz, akkor elveszíted az autót — tehát váltással veszítesz ebben az esetben.
- Ha eredetileg egy kecskét választottál (valószínűség 2/3), a házigazda a másik, nem nyert kecskét fogja kinyitni, és így a maradék zárt ajtó mögött biztosan az autó lesz. Tehát ha váltasz, ezekben az esetekben megnyered az autót.
Így a váltással nyerési esély = az eredetileg rosszul választott esetek valószínűsége = 2/3. A megtartással nyerési esély = eredetileg jól választott eset = 1/3.
Példa három konkrét esetben
- Eset 1 (1/3): Te az autót választod. A házigazda kinyit egy kecskeajtót. Ha váltasz → kecske (vesztés).
- Eset 2 (1/3): Te kecskét 1 választasz. A házigazda kinyitja a másik kecskeajtót. Ha váltasz → autó (nyerés).
- Eset 3 (1/3): Te a másik kecskét választod. A házigazda kinyitja az első kecskeajtót. Ha váltasz → autó (nyerés).
Látható, hogy a három egyforma esélyű kiindulási eset közül kettőben a váltás nyerést eredményez.
Miért nem oszlanak meg 50–50‑re az esélyek a két zárt ajtó között?
Amikor a házigazda kinyit egy kecskét, nem „újraosztja” a kezdeti bizonytalanságot egyenlően a két zárt ajtó között: a kezdeti választásodhoz fűződő 1/3‑os valószínűség továbbra is az általad választott ajtón marad. A másik, két ajtóból eredő 2/3‑os valószínűség pedig a maradék (nem kinyitott) ajtóra „összpontosul” miután a házigazda eltávolította (kinyitotta) az egyik kecskeajtót.
Fontos feltételek — mikor működik ez az eredmény?
- A házigazda mindig tudja, mi van az ajtók mögött.
- A házigazda sosem nyitja ki azt az ajtót, amit a játékos választott.
- A házigazda mindig kinyit egy, a játékos által nem választott ajtót, és az mögött biztosan kecske van.
- A házigazda felajánlja a váltás lehetőségét.
Ha bármelyik feltétel változik (például a házigazda néha véletlenszerűen választ ajtót, és néha kinyithatja az autós ajtót, vagy néha nem kínál cserét), akkor a váltás előnye megváltozhat, és újraszámolást igényel.
Gyors kísérleti igazolás
Ha sokszor megismétled a játékot (például több száz vagy több ezer alkalommal), és mindig váltasz, akkor a győzelmi arány közelíteni fog a 2/3‑hoz; ha mindig maradsz az eredeti választásnál, a győzelmi arány közelíteni fog az 1/3‑hoz. Ez a gyakorlatias próba jól szemlélteti az elméleti számítást.
Általánosítás n ajtóra
Ha n ajtó van, egy autó és n−1 kecske, és te választasz egy ajtót, majd a házigazda kinyit n−2 kecskeajtót úgy, hogy maradjon egy másik zárt ajtó, akkor az eredeti választás nyerési esélye 1/n, míg a „váltás” esélye (a maradék egyetlen zárt ajtó választása) (n−1)/n. Tehát minél több ajtó az elején, annál nagyobb előnye van a váltásnak.
Összefoglalás
A Monty Hall‑feladatban a váltás előnye abból ered, hogy az első választásodhoz kötődő 1/3‑os esély megmarad, a másik két ajtó mögötti 2/3‑os valószínűség pedig a maradék zárt ajtóra kerül, miután a házigazda egy kecskét felfed. Így a cserével 2/3 az esély, hogy az autót kapod, míg maradással csak 1/3.
Kérdések és válaszok
K: Mi a Monty Hall probléma?
V: A Monty Hall-probléma egy híres valószínűségi (véletlen) probléma, amely a Let's Make a Deal című amerikai televíziós vetélkedőn alapul. Három ajtaja van, egy autó mögött és két kecske mögött.
K. Mit tud az előadó?
V: Az előadó tudja, hogy mi van az egyes ajtók mögött, és mindig azt az ajtót választja, amelyik mögött a kecske van.
K: A választási lehetőségek megváltoztatása növeli az autó megszerzésének esélyét?
V: Igen, a választási lehetőségek megváltoztatása 1/3-ról (háromból egy) 2/3-ra (háromból kettő) növeli az autó megszerzésének esélyét.
K: Hogyan működik ez a valószínűség?
V: Az eredeti ajtóválasztásnál csak 1/3 esélye van annak, hogy a játékos olyan ajtót választ, ahol van egy autó. Ezután 2/3 esély van arra, hogy ha a játékos megváltoztatja a választását, miután látta, hogy a házigazda kinyit egy másik ajtót, akkor kap egy autót.
Kérdés.
V: Nem, három különböző módon lehet nyerni vagy veszíteni, attól függően, hogy a játékos megváltoztatja-e a döntését, miután látta, hogy a házigazda kinyitja a többi ajtó egyikét. Ha kezdetben helyesen választasz, majd megváltoztatod a választásodat, veszítesz; ha kezdetben helytelenül választasz, de megváltoztatod a választásodat, nyersz; és ha kezdetben helyesen választasz, de nem változtatod meg a választásodat, szintén nyersz.
K: Igaz, hogy a váltás háromból kétszer növeli a nyerési esélyeket?
V: Igen, igaz, hogy a váltás háromból kétszer növeli a nyerési esélyeket.
Keres