Hilbert problémái
1900-ban David Hilbert matematikus 23 megoldatlan matematikai problémát tartalmazó listát tett közzé. A problémák listája nagy hatásúnak bizonyult. Hilbert halála után egy másik problémát is találtak az írásaiban; ezt ma néha Hilbert 24. problémájaként ismerik. Ez a probléma arra vonatkozik, hogy olyan kritériumokat találjunk, amelyekkel kimutatható, hogy egy probléma megoldása a lehető legegyszerűbb.
A 23 probléma közül három 2012-ben megoldatlan volt, három túl homályos volt ahhoz, hogy megoldható legyen, hat pedig részben megoldható. Tekintettel a problémák hatására a Clay Matematikai Intézet 2000-ben hasonló listát fogalmazott meg Millennium Prize Problems (Millenniumi díj problémái) néven.
Összefoglaló
Bizonyos problémák megfogalmazása jobb, mint másoké. A tisztán megfogalmazott Hilbert-problémák közül a 3., 7., 10., 11., 13., 14., 17., 19., 20. és 21. probléma megoldása konszenzussal elfogadott. Ezzel szemben az 1., 2., 5., 9., 15., 18.+ és 22. probléma megoldása részben elfogadott, de vitatott, hogy az megoldja-e a problémát.
A 18. feladat megoldása, a Kepler-féle sejtés, számítógépes bizonyítással történik. Ez azért ellentmondásos, mert egy emberi olvasó nem képes a bizonyítást ésszerű idő alatt ellenőrizni.
Így 16, 8 (a Riemann-hipotézis) és 12 megoldatlan marad. Ezen az osztályozáson a 4, 16 és 23 túl homályos ahhoz, hogy valaha is megoldottnak lehessen nevezni. A visszavont 24 szintén ebbe az osztályba tartozna. A 6 inkább a fizika, mint a matematika problémájának tekinthető.
A problémák táblázata
Hilbert huszonhárom problémája a következő:
| Probléma | Rövid magyarázat | Állapot | Megoldott év |
| 1. | A kontinuitási hipotézis (azaz nincs olyan halmaz, amelynek kardinalitása szigorúan az egész számok és a valós számok kardinalitása között van). | Bizonyítottan lehetetlen bizonyítani vagy cáfolni a Zermelo-Fraenkel halmazelméleten belül a választás axiómájával vagy anélkül (feltéve, hogy a Zermelo-Fraenkel halmazelmélet a választás axiómájával vagy anélkül konzisztens, azaz nem tartalmaz két olyan tételt, amelyek közül az egyik a másik tagadása). Nincs egyetértés abban, hogy ez a probléma megoldása. | 1963 |
| 2. | Bizonyítsd be, hogy az aritmetika axiómái következetesek. | Nincs egyetértés abban, hogy Gödel és Gentzen eredményei megoldást adnak-e a Hilbert által megfogalmazott problémára. Gödel 1931-ben bizonyított második befejezetlenségi tétele azt mutatja, hogy a következetesség bizonyítása nem végezhető el magában az aritmetikában. Gentzen konzisztenciabizonyítása (1936) azt mutatja, hogy az aritmetika konzisztenciája az ε0 ordinális jól megalapozottságából következik. | 1936? |
| 3. | Adott két azonos térfogatú poliéder, mindig lehetséges-e az elsőt véges sok poliéderes darabra vágni, amelyekből újra össze lehet rakni a másodikat? | Megoldva. Eredmény: nem, Dehn-invarianciák segítségével bizonyított. | 1900 |
| 4. | Konstruáljuk meg az összes olyan metrikát, ahol a vonalak geodéziák. | Túl homályos ahhoz, hogy kijelenthető legyen, hogy megoldott vagy sem. | - |
| 5. | A folyamatos csoportok automatikusan differenciális csoportok? | Megoldotta Andrew Gleason vagy Hidehiko Yamabe, attól függően, hogyan értelmezzük az eredeti nyilatkozatot. Ha azonban a Hilbert-Smith-féle sejtés egyenértékűjeként értelmezzük, akkor még mindig megoldatlan. | 1953? |
| 6. | Axiomatizálja az egész fizikát | Részben megoldott. | - |
| 7. | A btranszcendens-e, ha az algebrai a ≠ 0,1 és az irracionális algebrai b ? | Megoldva. Eredmény: igen, amit a Gelfond-tétel vagy a Gelfond-Schneider-tétel szemléltet. | 1934 |
| 8. | A Riemann-hipotézis ("a Riemann-zétafüggvény bármely nem triviális nullájának valós része ½") és más prímszám-problémák, többek között a Goldbach-feltevés és az ikerprímfeltevés. | Megoldatlan. | - |
| 9. | A reciprocitási tétel legáltalánosabb törvényének megtalálása bármely algebrai számmezőben | Részben megoldott. | - |
| 10. | Keressünk algoritmust annak meghatározására, hogy egy adott egész számú együtthatóval rendelkező polinomiális diofantikus egyenletnek van-e egész számú megoldása. | Megoldva. Eredmény: lehetetlen, Matiyasevich tétele szerint nincs ilyen algoritmus. | 1970 |
| 11. | Kvadratikus formák megoldása algebrai numerikus együtthatókkal. | Részben megoldott. [] | - |
| 12. | A Kronecker-Weber-tétel kiterjesztése a racionális számok abéliumos kiterjesztéseire bármely alapszámtérre. | Részben megoldható az osztályos mezőelmélet segítségével, bár a megoldás nem olyan egyértelmű, mint a Kronecker-Weber-tétel. | - |
| 13. | 7. fokú egyenletek megoldása két paraméter folytonos függvényeivel. | Megoldatlan. A problémát részben Vladimir Arnold oldotta meg Andrej Kolmogorov munkája alapján. | 1957 |
| 14. | Egy polinomgyűrűre ható algebrai csoport invariánsainak gyűrűje mindig végesen generált? | Megoldva. Eredmény: nem, az ellenpéldát Masayoshi Nagata konstruálta. | 1959 |
| 15. | A Schubert-féle felsorolásos számítás szigorú megalapozása. | Részben megoldott. [] | - |
| 16. | A valós algebrai görbéből kiinduló oválisok és a síkban lévő polinomvektormező határciklusainak relatív helyzetének leírása. | Megoldatlan. | - |
| 17. | Határozott racionális függvény kifejezése négyzetösszegek hányadosaként | Eltökélték: Emil Artin és Charles Delzell. Eredmény: A szükséges négyzetes kifejezések számának felső határát állapították meg. Az alsó határérték megtalálása még mindig nyitott probléma. | 1927 |
| 18. | (a) Van-e olyan poliéder, amely három dimenzióban csak anizoéderes csempézést enged meg? | (a) Határozott. Eredmény: igen (Karl Reinhardt). | (a) 1928 |
| 19. | A Lagrangianok megoldásai mindig analitikusak? | Megoldva. Eredmény: igen, bizonyította Ennio de Giorgi és - egymástól függetlenül és eltérő módszerekkel - John Forbes Nash. | 1957 |
| 20. | Minden variációs problémának van-e megoldása bizonyos peremfeltételekkel? | Megoldva. Az egész 20. században jelentős kutatási téma, amely a nemlineáris esetre vonatkozó megoldásokban csúcsosodott ki . [] | - |
| 21. | Előírt monodromikus csoporttal rendelkező lineáris differenciálegyenletek létezésének bizonyítása | Megoldva. Eredmény: A probléma pontosabb megfogalmazásától függően igen vagy nem. [] | - |
| 22. | Analitikus összefüggések egységesítése automorf függvények segítségével | Megoldva. [] | - |
| 23. | A variációszámítás továbbfejlesztése | Megoldatlan. | - |
Kérdések és válaszok
K: Ki publikált 1900-ban egy 23 megoldatlan matematikai problémát tartalmazó listát?
V: David Hilbert 1900-ban 23 megoldatlan matematikai probléma listáját tette közzé.
K: Hilbert 24. problémája az eredeti lista része volt?
V: Nem, Hilbert 24. problémája Hilbert halála után került elő Hilbert írásaiban.
K: Miről szól Hilbert 24. problémája?
V: Hilbert 24. problémája arról szól, hogy olyan kritériumokat kell találni, amelyekkel kimutatható, hogy egy probléma megoldása a lehető legegyszerűbb.
K: 2012-ig mind a 23 Hilbert listáján szereplő probléma megoldódott?
V: Nem, a Hilbert listáján szereplő 23 probléma közül három 2012-ben még megoldatlan volt.
K: Volt-e olyan probléma Hilbert listáján, amely túl homályos volt ahhoz, hogy megoldható legyen?
V: Igen, a Hilbert listáján szereplő problémák közül három túl homályos volt ahhoz, hogy megoldható legyen.
K: A Hilbert listáján szereplő problémák közül hányat lehetett részben megoldani?
V: Hilbert listáján szereplő problémák közül hatot lehetett részben megoldani.
K: A Clay Matematikai Intézet készített-e Hilbert problémáihoz hasonló listát?
V: Igen, a Clay Matematikai Intézet 2000-ben készített egy hasonló listát, amelyet Millenniumi Díj Problémáknak neveztek el.
