Hilbert problémái – David Hilbert 23 alapvető matematikai kérdése
Hilbert problémái — David Hilbert 23 alapvető matematikai kérdése, történetük, részmegoldások és hatásuk a modern matematikára. Tudj meg többet!
1900-ban David Hilbert matematikus a Párizsi Nemzetközi Matematikai Kongresszuson ismertette híres 23 kérdésből álló listáját, amelyet később publikált. A lista célja nem pusztán különböző tételek megoldása volt, hanem iránytűt adott a 20. századi matematikai kutatásnak: a problémák új témaköröket jelöltek ki, ösztönözték az elméleti fejlődést és sokszor hoztak létre teljes új területeket.
Tartalom és jelentőség
A 23 felvetés változatos területekből származott: számelmélet, analízis, algebra, geometriák, fizika matematikai megalapozása és a számítás elmélete is szerepelt közöttük. Egyes problémák nagyon konkrét kérdéseket fogalmaztak meg, mások inkább programként, kutatási irányként szolgáltak. A kérdések közül többre a következő évtizedekben gyorsan vagy fokozatosan válaszok születtek, mások ellenben hosszú ideig megoldatlanok maradtak, némelyiket pedig újrafogalmazták a modern matematikai nyelvre.
Néhány kiemelt probléma és eredmény
- Hilbert 3. problémája a poliéderek közötti dekompozícióról szólt; Max Dehn 1900-ban megmutatta, hogy nem minden poliéder bontható fel egymásba illeszthető darabokra — ehhez kapcsolódik a Dehn-invariáns fogalma, amely megkülönbözteti az ilyen eseteket.
- Hilbert 7. problémája a hatványok és transzcendencia kérdését érintette; erre a Gelfond–Schneider-tétel (1934) adott alapvető választ, amely fontos lépés volt a transzcendenciaelméletben.
- Hilbert 10. problémája azt kérdezte, létezik‑e általános algoritmus, amely megmondja, hogy egy adott diofantikus egyenletnek van‑e egész számú megoldása. Ezt a problémát negatívan oldották meg: a Matiyasevich–Davis–Putnam–Robinson tétel 1970-ben kimutatta, hogy nincs ilyen általános algoritmus.
- Hilbert 5. problémája a topologikus csoportok és Lie‑csoportok közti kapcsolatot vizsgálta; ez a kérdés a 20. század közepére megoldódott (általános eredmények: Montgomery–Zippin és mások).
- Hilbert 2. problémája a természetes számok elméletének (aritmetikának) konszisztenciájáról szólt. Kurt Gödel 1931-es inkoherencia‑tételével kiderült, hogy a Hilbert-féle finitista program korlátokba ütközik: egy elég kifejező axiomatikus rendszer nem tudja saját konszisztenciáját belső eszközökkel kimutatni. Ez nem volt teljes „megoldás” a Hilbert eredeti céljára, de radikálisan átalakította a kérdés megítélését.
- Hilbert 8. problémája a prímszámok eloszlásával kapcsolatos, ide tartozik a Riemann‑hipotézis és a Goldbach‑sejtés is; ezek napjainkig is kiemelt, nyitott problémák.
- Hilbert 17. problémája a pozitívizált polinomok ábrázolásáról szólt; Emil Artin 1927‑ben megadta az alapvető választ: egy valós polinom, amely minden valós bemenetnél nemnegatív, felírható racionális függvények négyzeteinek összegére (azaz sum of squares of rational functions).
Státusz és értelmezési kérdések
A Hilbert‑problémák státusza nem fekete‑fehér: egy részük teljesen megoldódott, mások részben megoldottak (például egyes speciális eseteket vagy gyengébb állításokat bizonyítottak), és akadnak olyanok is, amelyek ma is nyitottak. További bonyodalmat jelent, hogy több probléma megfogalmazása Hilbert korabeli nyelvén homályos vagy túl általános volt, ezért a későbbi matematikusoknak először pontos, modern formában kellett újrafogalmazniuk a kérdéseket, mielőtt meg lehetett volna kísérelni a bizonyítást.
Hilbert 24. problémája
Hilbert halála után kutatói jegyzeteiben találtak egy további felvetést, amelyet ma sokszor Hilbert 24. problémájaként említenek. Ez a probléma a bizonyítások egyszerűségével és mérhetőségével foglalkozott: olyan kritériumok keresését javasolta, amelyekkel összehasonlítható, hogy egy bizonyítás mennyire „egyszerű” vagy „optimális”. Bár nem vált hivatalos 24. problémává, az ötlet hatott a bizonyításelméleti és algoritmikus gondolkodásra, és előrevetítette a későbbi kutatásokat a bizonyítások komplexitása és minimalizálása terén.
Hatás és örökség
A Hilbert‑listának óriási, hosszú távú hatása volt: irányt adott egy egész nemzedék matematikusának, ösztönözte új módszerek és elméletek kidolgozását, valamint befolyásolta a matematikai problémamegoldás megközelítését. A lista inspirálta a későbbi hasonló kezdeményezéseket is; ennek egyik legismertebb folytatása volt, amikor a Clay Matematikai Intézet 2000‑ben hét „Millennium Prize Problem”-et jelölt ki megoldásra és egyenként egymillió dolláros díjat tűzött ki (a Clay‑lista egyes elemei tematikailag rokoníthatók Hilbert kérdéseivel). Az egyik Millennium‑feladat, a Poincaré‑sejtés, megoldódott (Grigori Perelman munkája), mások — például a Riemann‑hipotézis — még ma is aktív kutatási területet jelentenek.
Kitekintés
A Hilbert‑problémák tanulsága kettős: egyrészt megmutatták, hogy egy jól megfogalmazott, ambiciózus kérdés hosszú távon képes mozgatni a tudományt, másrészt rávilágítottak arra is, hogy a matematikai problémák természetét és megoldhatóságát gyakran a formális megfogalmazás határozza meg. Ma a Hilbert‑lista történeti és filozófiai jelentősége mellett gyakorlati útmutatóként is szolgál a kutatóknak: a felvetett kérdések közül több ma is inspirál továbbfejlesztett elméleti eszközök és új kutatási irányok kifejlesztésére.
Összefoglaló
Bizonyos problémák megfogalmazása jobb, mint másoké. A tisztán megfogalmazott Hilbert-problémák közül a 3., 7., 10., 11., 13., 14., 17., 19., 20. és 21. probléma megoldása konszenzussal elfogadott. Ezzel szemben az 1., 2., 5., 9., 15., 18.+ és 22. probléma megoldása részben elfogadott, de vitatott, hogy az megoldja-e a problémát.
A 18. feladat megoldása, a Kepler-féle sejtés, számítógépes bizonyítással történik. Ez azért ellentmondásos, mert egy emberi olvasó nem képes a bizonyítást ésszerű idő alatt ellenőrizni.
Így 16, 8 (a Riemann-hipotézis) és 12 megoldatlan marad. Ezen az osztályozáson a 4, 16 és 23 túl homályos ahhoz, hogy valaha is megoldottnak lehessen nevezni. A visszavont 24 szintén ebbe az osztályba tartozna. A 6 inkább a fizika, mint a matematika problémájának tekinthető.
A problémák táblázata
Hilbert huszonhárom problémája a következő:
| Probléma | Rövid magyarázat | Állapot | Megoldott év |
| 1. | A kontinuitási hipotézis (azaz nincs olyan halmaz, amelynek kardinalitása szigorúan az egész számok és a valós számok kardinalitása között van). | Bizonyítottan lehetetlen bizonyítani vagy cáfolni a Zermelo-Fraenkel halmazelméleten belül a választás axiómájával vagy anélkül (feltéve, hogy a Zermelo-Fraenkel halmazelmélet a választás axiómájával vagy anélkül konzisztens, azaz nem tartalmaz két olyan tételt, amelyek közül az egyik a másik tagadása). Nincs egyetértés abban, hogy ez a probléma megoldása. | 1963 |
| 2. | Bizonyítsd be, hogy az aritmetika axiómái következetesek. | Nincs egyetértés abban, hogy Gödel és Gentzen eredményei megoldást adnak-e a Hilbert által megfogalmazott problémára. Gödel 1931-ben bizonyított második befejezetlenségi tétele azt mutatja, hogy a következetesség bizonyítása nem végezhető el magában az aritmetikában. Gentzen konzisztenciabizonyítása (1936) azt mutatja, hogy az aritmetika konzisztenciája az ε0 ordinális jól megalapozottságából következik. | 1936? |
| 3. | Adott két azonos térfogatú poliéder, mindig lehetséges-e az elsőt véges sok poliéderes darabra vágni, amelyekből újra össze lehet rakni a másodikat? | Megoldva. Eredmény: nem, Dehn-invarianciák segítségével bizonyított. | 1900 |
| 4. | Konstruáljuk meg az összes olyan metrikát, ahol a vonalak geodéziák. | Túl homályos ahhoz, hogy kijelenthető legyen, hogy megoldott vagy sem. | - |
| 5. | A folyamatos csoportok automatikusan differenciális csoportok? | Megoldotta Andrew Gleason vagy Hidehiko Yamabe, attól függően, hogyan értelmezzük az eredeti nyilatkozatot. Ha azonban a Hilbert-Smith-féle sejtés egyenértékűjeként értelmezzük, akkor még mindig megoldatlan. | 1953? |
| 6. | Axiomatizálja az egész fizikát | Részben megoldott. | - |
| 7. | A btranszcendens-e, ha az algebrai a ≠ 0,1 és az irracionális algebrai b ? | Megoldva. Eredmény: igen, amit a Gelfond-tétel vagy a Gelfond-Schneider-tétel szemléltet. | 1934 |
| 8. | A Riemann-hipotézis ("a Riemann-zétafüggvény bármely nem triviális nullájának valós része ½") és más prímszám-problémák, többek között a Goldbach-feltevés és az ikerprímfeltevés. | Megoldatlan. | - |
| 9. | A reciprocitási tétel legáltalánosabb törvényének megtalálása bármely algebrai számmezőben | Részben megoldott. | - |
| 10. | Keressünk algoritmust annak meghatározására, hogy egy adott egész számú együtthatóval rendelkező polinomiális diofantikus egyenletnek van-e egész számú megoldása. | Megoldva. Eredmény: lehetetlen, Matiyasevich tétele szerint nincs ilyen algoritmus. | 1970 |
| 11. | Kvadratikus formák megoldása algebrai numerikus együtthatókkal. | Részben megoldott. [] | - |
| 12. | A Kronecker-Weber-tétel kiterjesztése a racionális számok abéliumos kiterjesztéseire bármely alapszámtérre. | Részben megoldható az osztályos mezőelmélet segítségével, bár a megoldás nem olyan egyértelmű, mint a Kronecker-Weber-tétel. | - |
| 13. | 7. fokú egyenletek megoldása két paraméter folytonos függvényeivel. | Megoldatlan. A problémát részben Vladimir Arnold oldotta meg Andrej Kolmogorov munkája alapján. | 1957 |
| 14. | Egy polinomgyűrűre ható algebrai csoport invariánsainak gyűrűje mindig végesen generált? | Megoldva. Eredmény: nem, az ellenpéldát Masayoshi Nagata konstruálta. | 1959 |
| 15. | A Schubert-féle felsorolásos számítás szigorú megalapozása. | Részben megoldott. [] | - |
| 16. | A valós algebrai görbéből kiinduló oválisok és a síkban lévő polinomvektormező határciklusainak relatív helyzetének leírása. | Megoldatlan. | - |
| 17. | Határozott racionális függvény kifejezése négyzetösszegek hányadosaként | Eltökélték: Emil Artin és Charles Delzell. Eredmény: A szükséges négyzetes kifejezések számának felső határát állapították meg. Az alsó határérték megtalálása még mindig nyitott probléma. | 1927 |
| 18. | (a) Van-e olyan poliéder, amely három dimenzióban csak anizoéderes csempézést enged meg? | (a) Határozott. Eredmény: igen (Karl Reinhardt). | (a) 1928 |
| 19. | A Lagrangianok megoldásai mindig analitikusak? | Megoldva. Eredmény: igen, bizonyította Ennio de Giorgi és - egymástól függetlenül és eltérő módszerekkel - John Forbes Nash. | 1957 |
| 20. | Minden variációs problémának van-e megoldása bizonyos peremfeltételekkel? | Megoldva. Az egész 20. században jelentős kutatási téma, amely a nemlineáris esetre vonatkozó megoldásokban csúcsosodott ki . [] | - |
| 21. | Előírt monodromikus csoporttal rendelkező lineáris differenciálegyenletek létezésének bizonyítása | Megoldva. Eredmény: A probléma pontosabb megfogalmazásától függően igen vagy nem. [] | - |
| 22. | Analitikus összefüggések egységesítése automorf függvények segítségével | Megoldva. [] | - |
| 23. | A variációszámítás továbbfejlesztése | Megoldatlan. | - |
Kérdések és válaszok
K: Ki publikált 1900-ban egy 23 megoldatlan matematikai problémát tartalmazó listát?
V: David Hilbert 1900-ban 23 megoldatlan matematikai probléma listáját tette közzé.
K: Hilbert 24. problémája az eredeti lista része volt?
V: Nem, Hilbert 24. problémája Hilbert halála után került elő Hilbert írásaiban.
K: Miről szól Hilbert 24. problémája?
V: Hilbert 24. problémája arról szól, hogy olyan kritériumokat kell találni, amelyekkel kimutatható, hogy egy probléma megoldása a lehető legegyszerűbb.
K: 2012-ig mind a 23 Hilbert listáján szereplő probléma megoldódott?
V: Nem, a Hilbert listáján szereplő 23 probléma közül három 2012-ben még megoldatlan volt.
K: Volt-e olyan probléma Hilbert listáján, amely túl homályos volt ahhoz, hogy megoldható legyen?
V: Igen, a Hilbert listáján szereplő problémák közül három túl homályos volt ahhoz, hogy megoldható legyen.
K: A Hilbert listáján szereplő problémák közül hányat lehetett részben megoldani?
V: Hilbert listáján szereplő problémák közül hatot lehetett részben megoldani.
K: A Clay Matematikai Intézet készített-e Hilbert problémáihoz hasonló listát?
V: Igen, a Clay Matematikai Intézet 2000-ben készített egy hasonló listát, amelyet Millenniumi Díj Problémáknak neveztek el.
Keres