Riemann-hipotézis: definíció és szerepe a prímszámok elméletében
Riemann-hipotézis, Riemann-zéta és prímszámok: érthető összefoglaló, történet, a bizonyítás jelentősége és következményei a prímszámok eloszlásában.
A Riemann-hipotézis egy matematikai kérdés (feltételezés). Sokan úgy gondolják, hogy a hipotézis bizonyításának megtalálása a tiszta matematika egyik legnehezebb és legfontosabb megoldatlan problémája. A tiszta matematika a matematikának az a fajtája, amely a matematikáról való gondolkodásról szól — nem elsősorban az alkalmazásokra, hanem az elméleti összefüggések megértésére koncentrál. A Riemann-hipotézisre a válasz egyszerűen „igen” vagy „nem”, de a következmények és a bizonyítás mikéntje rendkívül komplex.
A feltételezés egy Bernhard Riemann nevű emberről kapta a nevét. Ő az 1800-as években élt, és 1859-ben közölte híres dolgozatát azzal kapcsolatban, hogyan oszlanak el a prímszámok. A Riemann-hipotézis egy speciális dologra, a Riemann-zéta-függvényre kérdez rá.
Mi az a Riemann-zéta-függvény?
A Riemann-zéta-függvényt a komplex számokkal dolgozó analízisben szokták vizsgálni. Egyszerűen megfogalmazva, a függvény definíciója az
ζ(s) = Σ_{n=1}^∞ n^{-s} (amely az összeg azokat a komplex számokat adja, amelyekre a sor konvergens),
és ez a sor a komplex s = σ + it számpárra akkor konvergens, ha a valós rész σ > 1. Riemann azonban megmutatta, hogy a ζ(s) analitikusan folytatható a teljes komplex sík kivéve egy egyszeres pólust s = 1-nél. A függvénynek vannak úgynevezett triviális zérusai a negatív páros egész értékeknél (s = −2, −4, −6, ...), de a vizsgálat fő érdeklődése a nemtriviális zérusok körül forog.
Mit állít a Riemann-hipotézis?
A Riemann-hipotézis azt állítja, hogy minden nemtriviális zérusnak a valós része pontosan 1/2, azaz mindegyik a kritikus egyenesre esik (Re(s) = 1/2). A nemtriviális zérusok a kritikus csíkban találhatók, amelyre igaz, hogy 0 < Re(s) < 1; a hipotézis pontosítja, hogy valójában mindegyik Re(s) = 1/2.
Miért fontos ez a prímszámok elméletében?
A ζ(s) és a prímszámok közötti kapcsolat a következő alapgondolaton nyugszik: a prímszámok eloszlása tükröződik a ζ(s) pólusaiban és zérusaiban. Riemann és később mások explicit formulákat vezettek le, amelyek összekapcsolják a prímszámokat számoló függvényt (például a π(x), az x-ig tartó prímszámok számát) a ζ(s) nemtriviális zérusaival. Ennek következménye, hogy a zérusok helyzete meghatározza, mennyire pontosan ismerhetjük a prímszámok eloszlását.
Ha a kérdésre a válasz "igen", akkor ez azt jelentené, hogy a matematikusok többet tudhatnak a prímszámokról. Konkrétan a Riemann-hipotézis igazsága szigorúbb becsléseket adna az úgynevezett hibatermre a prímszámok eloszlásában: például egy gyakran idézett következmény az, hogy
- π(x) = li(x) + O(x^{1/2} log x) (ha igaz a Riemann-hipotézis),
- ez azt jelenti, hogy a prímszámok számát kísérő eltérés az előrejelzéstől sokkal kisebb, mint amit a jelenlegi bizonyított általános eredmények garantálnak.
Következmények és további kapcsolódó állítások
A Riemann-hipotézisnek számos fontos következménye lenne a számelmélet különböző kérdéseiben. Néhány példa:
- Szűkebb határok prímszámok közötti távolságokra (jobb becslések a prímtávolságokra).
- Jobb eredmények a Möbius-függvény összegzésére és a Mertens-féle becslésekre (több, RH-hez egyenértékű állítás létezik ezen területen).
- Bizonyos számelméleti algoritmusok futási idejére és megbízhatóságára vonatkozó jobb garanciák; emiatt a gyakorlatban is lenne hatása, például prímszámok keresésénél vagy kriptográfiai elemzéseknél (bár a modern kriptográfia a RH igazságától nem függ közvetlenül).
Kutatás, bizonyítási kísérletek és kapcsolódó elméletek
A Riemann-hipotézis körüli kutatás több irányból folyik:
- Analitikus számelmélet: finom elemzések és explicit formulák a zérusok hatásáról.
- Numerikus vizsgálatok: a nemtriviális zérusokat nagy számban ellenőrizték, és ma már trilliókig terjedő indexekben is mind a kritikus egyesen találhatók. Ez azonban nem helyettesíti a formális bizonyítást.
- Matematikai fizikából származó ötletek: például a Hilbert–Pólya elképzelés, amely szerint létezhet egy önadjungált operator, amelynek spektruma megegyezik a zérusok képzetes részeivel. E kapcsolódás révén a véletlen mátrixok elmélete és a párkorelációs eredmények (Montgomery, Dyson) is fontos szerepet játszanak.
Történeti és elismerési részletek
A Riemann-hipotézis olyan fontos, és olyan nehéz bizonyítani, hogy a Clay Matematikai Intézet 1 000 000 dollárt ajánlott fel annak, aki először bizonyítja be. Emellett a hipotézis történelmi jelentősége és a matematikai közösség figyelme folyamatos: sok kiváló eredmény született a kérdés közelében, még ha a teljes bizonyítás nem is áll rendelkezésre.
Összefoglalás
A Riemann-hipotézis egy egyszerűen megfogalmazható, de rendkívül mély állítás: a nemtriviális zérusok mind a kritikus egyesen helyezkednek el. Igazsága precízebb közlést adna a prímszámok eloszlásáról, valamint számos további következményt vonna maga után a számelméletben és kapcsolódó területeken. Bár a numerikus ellenőrzések sokat sejtetnek, a probléma formális megoldása továbbra is a modern matematika egyik legnagyobb kihívása.
A Riemann-zéta függvény, a komplex síkban. A valós rész Re ( s ) {\displaystyle \operatorname {Re} (s)}
szám vízszintesen rajzolódik, az Im ( s ) képzetes része {\displaystyle \operatorname {Im} (s)} 
függőlegesen. Fehér pontok jelzik a nullákat, ahol Re ( s ) = {\displaystyle12 \operatorname {Re} (s)={\tfrac {1}{2}}}}
. Kattintson a teljes nézet megjelenítéséhez.
Mi a Riemann-hipotézis?
Mi a Riemann-zéta függvény?
A Riemann-zéta függvény egyfajta függvény. A függvények olyan dolgok a matematikában, mint az egyenletek. A függvények számokat vesznek fel, és más számokat adnak vissza. Ez olyan, mint amikor egy kérdésre választ kapsz vissza. A beírt számot "bemenetnek" nevezzük. A számot, amit visszakapsz, "értéknek" nevezzük. A Riemann-zéta függvénybe beírt minden egyes bemenet egy speciális értéket ad vissza. Többnyire minden egyes bemenetre más-más értéket kapsz. De minden egyes bemenet ugyanazt az értéket adja minden alkalommal, amikor használod. Mind a Riemann-zéta függvény által adott bemenet, mind a kapott érték speciális számok, amelyeket komplex számoknak nevezünk. A komplex szám egy olyan szám, amelynek két része van.
Mi az a nem triviális gyök?
Néha, amikor a Riemann-zéta függvénybe beírunk egy bemenetet, a nullát kapjuk vissza. Amikor ez történik, akkor ezt a bemenetet a Riemann-zéta függvény gyökének nevezzük. A bemenetet akkor nevezzük "gyökérnek", ha nullát ad vissza. Rengeteg gyökeret találtak már. De egyes gyököket könnyebb megtalálni, mint másokat. A gyököket "triviális" vagy "nem triviális" gyököknek nevezzük. Egy gyökeret "triviálisnak" nevezünk, ha könnyen megtalálható. De "nem triviálisnak" nevezünk egy gyökeret, ha nehéz megtalálni. A triviális gyökök a "negatív páros egész számoknak" nevezett számok. Azért gondoljuk őket könnyűnek, mert könnyű megtalálni őket. Vannak szép szabályok, amelyek megmondják, hogy mik a triviális gyökök. A triviális gyököket Bernhard Riemann egyenlete alapján tudjuk. Ezt az egyenletet "Riemann-féle funkcionális egyenletnek" nevezték el.
Hogyan találunk nem triviális gyököket?
A nem triviális gyököket nehezebb megtalálni. Nehezebb megtalálni őket, mint a triviális gyököket. Nincsenek ugyanolyan szép szabályok, amelyek megmondják, hogy mik azok. Annak ellenére, hogy nehéz megtalálni őket, rengeteg nem triviális gyököt találtak már. Ne feledjük, hogy a Riemann-féle zéta-függvény értéke egyfajta szám, amit komplex számnak nevezünk. És ne feledd, hogy a komplex számoknak két része van. Az egyik ilyen részt "valós résznek" nevezzük. Észrevettünk egy érdekes dolgot a nem triviális gyökök valós részével kapcsolatban. Minden általunk talált nem triviális gyöknek van egy olyan valós része, amely ugyanaz a szám. Ez a szám 1/2, ami egy tört. Ezzel eljutottunk Riemann nagy kérdéséhez, ami arról szól, hogy mekkora a valós részek nagysága. Ez a kérdés a Riemann-hipotézis. A kérdés a következő: "minden nem triviális gyöknek van-e 1/2-es valós része?". Még mindig próbáljuk kideríteni, hogy a válasz "igen" vagy "nem".
Mit tudunk eddig?
A kérdésre még nem tudjuk a választ. De tudunk néhány jó tényt. Ezek a tények segíthetnek nekünk. Van egy mód arra, hogy a nem triviális gyökök valós részeiről tényeket találjunk. Ez a Riemann-féle speciális egyenlet (Riemann-féle függvényegyenlet) segítségével történik. A Riemann-féle függvényegyenlet megmondja nekünk a valós részek nagyságát. Azt mondja ki, hogy minden nem triviális nullának a valós része 1/2-hez közeli. Megmondja, hogy a valós részek milyen kicsik lehetnek, és milyen nagyok lehetnek. De azt nem mondja meg, hogy pontosan mekkorák. Konkrétan azt mondja, hogy a valós részeknek nagyobbnak kell lenniük, mint 0. De kisebbnek kell lenniük, mint 1. De még mindig nem tudjuk, hogy lehet-e olyan nem-triviális gyök, amelynek valós része nagyon közel van 1/2-hez. Talán van, csak még nem találtuk meg. Azoknak a komplex számoknak a csoportját, amelyeknek a valós része nagyobb, mint 0, de kisebb, mint 1, "kritikus sávnak" nevezzük.
A Riemann-hipotézis egy képen
Az oldal jobb felső sarkában lévő képen a Riemann-zéta függvény látható. A nem triviális gyököket a fehér pontok mutatják. Úgy néznek ki, mintha mind egy vonalban lennének a kép közepén. Nem túl messze vannak balra és nem túl messze jobbra. Az igazi rész az, hogy mennyire vannak balról jobbra. Az, hogy a kép közepén vannak, azt jelenti, hogy valódi részük 1/2. Tehát a képen lévő összes nem triviális gyöknek 1/2 a valós része. De a képünk nem mutat mindent, mert a Riemann-zéta függvény túl nagy ahhoz, hogy megmutassuk. Mi a helyzet tehát a kép feletti és alatti nem triviális gyökökkel? Azok is középen lennének? Mi van, ha megszakítják a középen levő mintát? Lehetnének kissé balra vagy jobbra. A Riemann-hipotézis azt kérdezi, hogy minden nem triviális gyök (fehér pont) a középen lévő egyenesre kerülne-e. Ha a válasz nemleges, akkor azt mondjuk, hogy a "hipotézis hamis". Ez azt jelentené, hogy vannak olyan fehér pontok, amelyek nem az adott egyenesen vannak.
Kérdések és válaszok
K: Mi az a Riemann hipotézis?
V: A Riemann-hipotézis egy matematikai kérdés (sejtés), amely egy speciális dologra, a Riemann-zéta-függvényre kérdez rá.
K: A Riemann-hipotézis a matematika mely területére vonatkozik?
V: A Riemann-hipotézis a tiszta matematikához kapcsolódik, amely a matematikának az a fajtája, amely a matematikáról való gondolkodásról szól, nem pedig arról, hogy megpróbálja azt a valós világba átültetni.
K: Ki volt Bernhard Riemann?
V: Bernhard Riemann egy 1800-as években élt ember volt, akinek a nevét kapta ez a feltevés.
K: Mi lenne az eredménye annak, ha valaki be tudná bizonyítani a Riemann-hipotézist?
V: Ha valaki be tudná bizonyítani a Riemann-hipotézist, a matematikusok többet tudnának a prímszámokról és azok megtalálásáról.
K: Mennyi pénzt ajánlottak fel a feltételezés bizonyításáért?
V: A Clay Matematikai Intézet 1 000 000 dollárt ajánlott fel a feltételezés bizonyítására.
K: Csak egy válasz létezik erre a sejtésre?
V: Igen, erre a sejtésre csak két válasz lehetséges - "igen" vagy "nem".
Keres