Kontinuumhipotézis
A kontinuumhipotézis egy olyan hipotézis, amely szerint nincs olyan halmaz, amely egyszerre nagyobb, mint a természetes számok halmaza és kisebb, mint a valós számok halmaza. Georg Cantor 1877-ben fogalmazta meg ezt a hipotézist.
Végtelen sok természetes szám van, a természetes számok halmazának kardinalitása végtelen. Ez igaz a valós számok halmazára is, de itt több valós szám van, mint természetes szám. Azt mondjuk, hogy a természetes számok kardinalitása végtelen, a valós számok kardinalitása pedig végtelen, de a valós számok kardinalitása nagyobb, mint a természetes számok kardinalitása.
Ez a hipotézis az első probléma azon a 23 problémából álló listán, amelyet David Hilbert 1900-ban tett közzé. Kurt Gödel 1939-ben megmutatta, hogy a hipotézis nem hamisítható a Zermelo-Fraenkel-halmazelmélet segítségével. A Zermelo-Fraenkel-halmazelmélet a matematikában általánosan használt halmazelmélet. Paul Cohen az 1960-as években megmutatta, hogy a Zermelo-Fraenkel-halmazelmélet sem használható a kontinuumhipotézis bizonyítására. Cohen ezért megkapta a Fields-érmet.
Kérdések és válaszok
K: Mi az a kontinuum hipotézis?
V: A kontinuumhipotézis az a hipotézis, hogy nincs olyan halmaz, amely egyszerre nagyobb a természetes számok halmazánál és kisebb a valós számok halmazánál.
K: Ki és mikor állította fel a kontinuumhipotézist?
V: Georg Cantor 1877-ben állította fel a kontinuumhipotézist.
K: Végtelen sok természetes szám létezik?
V: Igen, végtelen sok természetes szám van.
K: Mekkora a természetes számok halmazának kardinalitása?
V: A természetes számok halmazának kardinálisa végtelen.
K: Több valós szám van, mint természetes szám?
V: Igen, több valós szám van, mint természetes számok.
K: Meghamisítható-e a kontinuumhipotézis a Zermelo-Fraenkel-halmazelmélet segítségével?
V: Kurt Gödel 1939-ben megmutatta, hogy a hipotézis nem hamisítható a Zermelo-Fraenkel-halmazelmélet segítségével.
K: Ki mutatta meg, hogy a Zermelo-Fraenkel-halmazelmélet nem használható a kontinuumhipotézis bizonyítására?
V: Paul Cohen mutatta meg az 1960-as években, hogy a Zermelo-Fraenkel-halmazelmélet nem használható a kontinuumhipotézis bizonyítására.
