Gödel első nemteljességi tétele
A Gödel-féle befejezetlenségi tételek a Kurt Gödel által 1931-ben bizonyított két tétel (igaz matematikai állítások) elnevezése. Ezek a matematikai logika tételei.
A matematikusok egykor úgy gondolták, hogy minden igaznak van matematikai bizonyítéka. Egy olyan rendszert, amely rendelkezik ezzel a tulajdonsággal, teljesnek nevezünk; azt, amelyik nem rendelkezik vele, hiányosnak. Továbbá a matematikai elképzeléseknek nem lehetnek ellentmondásai. Ez azt jelenti, hogy nem lehetnek egyszerre igazak és hamisak. Az olyan rendszert, amely nem tartalmaz ellentmondásokat, konzisztensnek nevezzük. Ezek a rendszerek axiómakészleteken alapulnak. Az axiómák olyan állítások, amelyeket igaznak fogadunk el, és nem kell bizonyítani.
Gödel azt mondta, hogy minden nem triviális (érdekes) formális rendszer vagy nem teljes vagy nem következetes:
- Mindig lesznek olyan kérdések, amelyekre nem lehet válaszolni egy bizonyos axiómakészletet használva;
- Nem tudod bizonyítani, hogy egy axiómarendszer konzisztens, hacsak nem használsz egy másik axiómakészletet.
Ezek a tételek azért fontosak a matematikusok számára, mert bizonyítják, hogy lehetetlen olyan axiómakészletet alkotni, amely mindent megmagyaráz a matematikában.
Néhány kapcsolódó téma
Kérdések és válaszok
K: Mik a Gödel-féle befejezetlenségi tételek?
V: A gödeli befejezetlenségi tételek két igaz matematikai állítás, amelyeket Kurt Gödel 1931-ben bizonyított a matematikai logika területén.
K: Mi a teljes rendszer a matematikában?
V: A teljes rendszer a matematikában olyan rendszer, amely rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy minden igaznak van matematikai bizonyítéka.
K: Mi a nem teljes rendszer a matematikában?
V: A nem teljes rendszer a matematikában olyan rendszer, amely nem rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy minden igaznak van matematikai bizonyítéka.
K: Mi a következetes rendszer a matematikában?
V: A következetes rendszer a matematikában olyan rendszer, amely nem tartalmaz ellentmondásokat, vagyis a matematikai elképzelések nem lehetnek egyszerre igazak és hamisak.
K: Mik az axiómák a matematikában?
V: Az axiómák a matematikában olyan állítások, amelyeket igaznak fogadnak el, és nem kell bizonyítani.
K: Mit állított Gödel minden nem triviális formális rendszerről?
V: Gödel azt állította, hogy minden nem triviális formális rendszer vagy hiányos, vagy ellentmondásos.
K: Miért fontosak Gödel befejezetlenségi tételei a matematikusok számára?
V: Gödel befejezetlenségi tételei azért fontosak a matematikusok számára, mert bizonyítják, hogy lehetetlen olyan axiómakészletet alkotni, amely mindent megmagyaráz a matematikában.
