Integrál

A számtanban az integrál egy egyenlet grafikonja alatti tér (néha "görbe alatti terület"). Az integrál a derivált fordítottja, és a differenciálszámítás ellentéte. A derivált egy görbe meredeksége (vagy "meredeksége"), mint a változás mértéke. Az "integrál" szót melléknévként is használhatjuk, melynek jelentése "egész számokkal kapcsolatos".

Az integrálás szimbóluma a számtanban: ∫ {\displaystyle \int _{\,}^{\,}}} $\int _{\,}^{\,}$ magas "S" betűvel. Ezt a szimbólumot először Gottfried Wilhelm Leibniz használta, aki stilizált "ſ"-ként használta. (summa, latinul összeg), hogy egy egyenlet által lefedett terület összegzését jelölje, például y = f(x).

Az integrálok és a deriváltak a matematika egy számtan nevű ágának részét képezik. A kettő közötti kapcsolat nagyon fontos, és a számtan alaptételének nevezik. A tétel szerint egy integrál megfordítható egy derivált által, hasonlóan ahhoz, ahogyan egy összeadás megfordítható egy kivonással.

Az integrálás segít, amikor egységeket próbálsz beszorozni egy problémába. Például, ha egy probléma az arányszámmal, ( távolság idő ) {\displaystyle \left({\frac {\text{távolság}}{\text{idő}}}\right)} $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)$ , csak a távolságot kell megválaszolni, az egyik megoldás az időre való integrálás. Ez azt jelenti, hogy az idővel való szorzást az idő ( távolság idő ) × idő {\displaystyle \left({\frac {\text{távolság}}{\text{idő}}}}\right)\times {\text{idő}}}} $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)\times {\text{time}}$ . Ez úgy történik, hogy a sebességgráf kis szeleteit összeadjuk. A szeletek szélessége közel van a nullához, de örökké összeadva őket egy egésszé állnak össze. Ezt nevezzük Riemann-összegnek.

Ezeket a szeleteket összeadva megkapjuk azt az egyenletet, amelynek az első egyenlet a deriváltja. Az integrálok olyanok, mintha sok apró dolgot adnánk össze kézzel. Olyan, mint az összegzés, ami 1 + 2 + 3 + 4.... összeadása. + n {\displaystyle 1+2+3+4....+n} $1+2+3+4....+n$ tizedes- és törtjegyet is össze kell adnunk.

Az integrálás egy másik hasznos eset, amikor egy szilárd test térfogatát határozzuk meg. A szilárd test kétdimenziós (szélesség nélküli) szeleteit örökké össze tudja adni, amíg nem lesz szélessége. Ez azt jelenti, hogy a tárgynak most már három dimenziója van: az eredeti kettő és egy szélesség. Ez adja a leírt háromdimenziós tárgy térfogatát.

Mi az integrál (animáció)

Az integrálás az s felület megtalálását jelenti, adott a, b és y = f(x). Az a-tól b-ig tartó integrál képlete a fenti grafikonon a következő:
Formula: ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

Az integrálás módszerei

Antiderivátum

A számtan alaptétele szerint az integrál az antiderivátum.

Ha vesszük a 2 x {\displaystyle 2x} függvényt $2x$ például, és antidifferenciáljuk, akkor azt mondhatjuk, hogy a 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ integrálja az x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ . Azért mondjuk, hogy integrál, nem pedig integrál, mert egy függvény antideriváltja nem egyedi. Például x 2 + 17 {\displaystyle x^{2}+17} $x^{2}+17$ is differenciálódik 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ -re. Emiatt az antiderivált felvétele során hozzá kell adni egy C állandót. Ezt határozatlan integrálnak nevezzük. Ez azért van, mert egy függvény deriváltjának megtalálásakor a konstansok 0-val egyenlőek, mint például a függvényben

f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,} $f(x)=5x^{2}+9x+15\,$ .

f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,} $f'(x)=10x+9+0\,$ . Figyeljük meg a 0-t: nem tudjuk megtalálni, ha csak a deriváltunk van meg, így az integrál a következő

∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C} $\int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C$

Egyszerű egyenletek

Egy egyszerű egyenletet, mint például y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} $y=x^{2}$ , a következő technikával integrálhatunk x függvényében. Az integráláshoz adjunk 1-et ahhoz a hatványhoz, amelyre az x-et emeljük, majd osszuk el az x-et ennek az új hatványnak az értékével. Egy normálegyenlet integrálása tehát a következő szabály szerint történik: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{\\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C}} $\int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$

A d x {\displaystyle dx} $dx$ a végén azt mutatja, hogy az x függvényében integrálunk, vagyis ahogyan x változik. Ez tekinthető a differenciálás inverzének. Az integráláskor azonban egy C nevű konstans is hozzáadódik. Ezt nevezzük az integrálás konstansának. Erre azért van szükség, mert egy egész szám differenciálása nullát eredményez, ezért a nulla integrálása (amely bármely integráns végére feltehető) egy egész számot, C-t eredményez, amelynek értékét adott feltételek segítségével találnánk meg.

Az egynél több tagot tartalmazó egyenletek egyszerűen integrálhatók az egyes tagok integrálásával:

∫ x 2 + 3 x - 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 2 - 2 x + C {\displaystyle \int _{\\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C} $\int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C$

Integrálás e és ln segítségével

Vannak bizonyos szabályok az e és a természetes logaritmus integrálására. A legfontosabb, hogy e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ önmaga integrálja (egy integrációs konstans hozzáadásával): ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C}} $\int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C$

A természetes logaritmus, ln, akkor hasznos, ha 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ egyenleteket integrálunk. Ezek nem integrálhatók a fenti képlettel (eggyel hatványozni, eggyel hatványozni, eggyel hatványozni), mert az eggyel hatványozás 0-t eredményez, és a 0-val való osztás nem lehetséges. Ehelyett az 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ integrálja ln x {\displaystyle \ln x} $\ln x$ : ∫ 1 x d x = ln x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}}dx=\ln x+C}} $\int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C$

Általánosabb formában: ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C {\displaystyle \int _{\\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C}} $\int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C$

A két függőleges sáv abszolút értéket jelzett; az f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) előjelét (pozitív vagy negatív) figyelmen kívül hagyjuk. Ennek oka, hogy negatív számok természetes logaritmusának nincs értéke.

Tulajdonságok

Funkciók összege

A függvények összegének integrálja az egyes függvények integráljainak összege, azaz,

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$ .

Ennek bizonyítása egyszerű: Az integrál definíciója összegek határértéke. Tehát

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ( f ( x i ∗ ) + g ( x i ∗ ) ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + lim n → ∞ ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle =\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx}} $=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$

Vegyük észre, hogy mindkét integrálnak ugyanazok a határértékei.

Állandók az integrációban

Ha egy konstans egy függvény integráljában szerepel, a konstans kivehető. Továbbá, ha egy c konstans nem függvény kíséretében van, akkor az értéke c * x. Azaz,

∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ és

Ezt csak konstanssal lehet megtenni.

∫ a b c d x = c ( b - a ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)} $\int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)$

A bizonyítás ismét az integrál definíciójával történik.

Egyéb

Ha a, b és c sorrendben vannak (azaz egymás után az x-tengelyen), akkor az f(x) integrálja az a ponttól a b pontig plusz az f(x) integrálja a b ponttól a c pontig egyenlő az a ponttól a c pontig tartó integráljával,

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx$ ha sorrendben vannak. (Ez akkor is érvényes, ha a, b, c nem sorrendben vannak, ha ∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ .).

∫ a a a f ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0} $\int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0$ . Ez a számtan alaptételéből (FTC) következik: F(a)-F(a)=0

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx}} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ Ismét az FTC-t követve: F ( b ) - F ( a ) = - [ F ( a ) - F ( b ) ] {\displaystyle F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]} $F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]$

Kérdések és válaszok

K: Mi az az integrál?

V: Az integrál egy egyenlet grafikonja alatti tér, más néven "görbe alatti terület". Ez a derivált fordítottja, és a matematika számtan nevű ágának része.

K: Hogyan néz ki az integrálás szimbóluma?

V: Az integrálás szimbóluma a számtanban úgy néz ki, mint egy magas "S" betű: ∫ {\displaystyle \textstyle \int _{\,}^{\,}}}.

K: Hogyan kapcsolódnak az integrálok a deriváltakhoz?

V: Az integrálokat és a deriváltakat a számtan alaptétele köti össze, amely kimondja, hogy egy integrál megfordítható egy deriváltal, hasonlóan ahhoz, ahogyan egy összeadás megfordítható kivonással.

K: Mikor használhatjuk az integrálást?

V: Az integrálást akkor lehet használni, amikor egységeket próbálunk beszorozni egy problémába, vagy amikor egy szilárd test térfogatát próbáljuk meghatározni. Segítségével kétdimenziós szeleteket addig adhatunk össze, amíg szélesség nem lesz, így a tárgy három dimenziót és térfogatot kap.

K: Miben hasonlít az integrálás az összegzéshez?

V: Az integrálás annyiban hasonlít az összegzéshez, hogy sok apró dolgot ad össze, de az integrálással az összes tizedesjegyet és törtet is össze kell adnunk.

K: Mit jelent a Riemann-összeg?

V: A Riemann-összeg a sebességgörbe apró szeleteinek összeadására utal, amíg azok összeadódnak, hogy egy egész egyenletet alkossanak.