Mátrix (matematika) – definíció, műveletek és szerepe a lineáris algebrában

A mátrix vízszintes vonalait soroknak, a függőleges vonalakat pedig oszlopoknak nevezzük. Egy m soros és n oszlopos mátrixot m-szer-n mátrixnak (vagy m×n mátrixnak) nevezünk, m és n pedig a mátrix dimenziója.

A mátrix azon helyeit, ahol a számok vannak, bejegyzéseknek nevezzük. Az A mátrixnak azt a bejegyzését, amely az i sorszámú sorban és a j oszlopszámú oszlopban van, A i,j bejegyzésének nevezzük. Ezt A[i,j] vagy _ai,j alakban írjuk.

A := ( a i j ) m × n {\displaystyle A:=(a_{ij})_{m\times n}}} m × n mátrixot definiálunk, amelynek minden egyes bejegyzését _ai,j-nek nevezzük minden 1 ≤ i ≤ m és 1 ≤ j ≤ n esetén.

Példa

A mátrix

[ 1 2 3 1 2 7 4 9 2 6 1 5 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\\1&2&7\\\4&9&2\\\6&1&5\end{bmatrix}}}

egy 4×3-as mátrix. Ennek a mátrixnak m=4 sora és n=3 oszlopa van.

Az A[2,3] vagy a2_,3 elem 7.

Hozzáadás

Két mátrix összege az a mátrix, amelynek (i,j)-edik bejegyzése egyenlő két mátrix (i,j)-edik bejegyzésének összegével:

[ 1 3 2 1 0 0 0 1 2 2 ] + [ 0 0 5 7 5 0 2 1 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 + 1 2 + 1 2 + 1 ] = [ 1 3 7 8 5 0 3 3 3 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}

A két mátrix mérete megegyezik. Itt A + B = B + A {\displaystyle A+B=B+A} igaz.

Két mátrix szorzata

Két mátrix szorzása kicsit bonyolultabb:

[ a 1 a 2 a 3 a 4 ] ⋅ [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] = [ ( a 1 ⋅ b 1 + a 2 ⋅ b 3 ) ( a 1 ⋅ b 2 + a 2 ⋅ b 4 ) ( a 3 ⋅ b 1 + a 4 ⋅ b 3 ) ( a 3 ⋅ b 2 + a 4 ⋅ b 4 ) ] ] ] ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4\\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(a1\cdot b1+a2\cdot b3)&(a1\cdot b2+a2\cdot b4)\\\(a3\cdot b1+a4\cdot b3)&(a3\cdot b2+a4\cdot b4)\\\\end{bmatrix}}}

Így van ez a Numbers esetében is:

[ 3 5 1 4 ] ⋅ [ 2 3 5 0 ] = [ ( 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5 ) ( 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 0 ) ( 1 ⋅ 2 + 4 ⋅ 5 ) ( 1 ⋅ 3 + 4 ⋅ 0 ) ] = [ 31 9 22 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}3&5\\\\1&4\\\\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}2&3\\\5&0\\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(3\cdot 2+5\cdot 5)&(3\cdot 3+5\cdot 0)\\\(1\cdot 2+4\cdot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}}

• két mátrix akkor is szorozható egymással, ha különböző dimenziójúak, amennyiben az első mátrix oszlopainak száma megegyezik a második mátrix sorainak számával.
• a szorzás eredménye, az úgynevezett szorzat, egy másik mátrix, amelynek ugyanannyi sora van, mint az első mátrixnak, és ugyanannyi oszlopa, mint a második mátrixnak.
• a mátrixok szorzása nem kommutatív, ami általában azt jelenti, hogy A ⋅ B ≠ B ⋅ A {\displaystyle A\cdot B\neq B\cdot A}
• a mátrixok szorzása asszociatív, ami azt jelenti, hogy ( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) {\displaystyle (A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)}

Vannak olyan mátrixok, amelyek különlegesek.

Négyzetmátrix

Egy négyzetmátrixnak ugyanannyi sora van, mint ahány oszlopa, tehát m=n.

Egy példa egy négyzetmátrixra a következő

[ 5 - 2 4 0 9 1 - 7 6 8 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}5&-2&4\\\0&9&1\\\-7&6&8\\\\\\end{bmatrix}}}

Ez a mátrix 3 sorból és 3 oszlopból áll: m=n=3.

Identitás

Egy mátrix minden négyzetes dimenziójú halmazának van egy speciális megfelelője, az úgynevezett "azonossági mátrix". Az azonossági mátrixban csak nullák vannak, kivéve a főátlót, ahol csak egyesek vannak. Például:

[ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\\0&1&0\\0&0\0&1\\\\\\end{bmatrix}}}

egy azonossági mátrix. Minden négyzetes dimenzióhalmazhoz pontosan egy azonossági mátrix tartozik. Az azonossági mátrix azért különleges, mert bármely mátrixnak az azonossági mátrixszal való szorzásakor az eredmény mindig az eredeti mátrix, változatlanul.

Inverz mátrix

Az inverz mátrix olyan mátrix, amely egy másik mátrixszal megszorozva megegyezik az azonossági mátrixszal. Például:

[ 7 8 6 7 ] ⋅ [ 7 - 8 - 6 7 ] = [ 1 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\\6&7\\\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\\\\-6&7\\\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\\\0&1\\\\\\end{bmatrix}}}

[ 7 - 8 - 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&-8\\\-6&7\\\\\\end{bmatrix}}} a [ 7 8 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\\6&7\\\\\end{bmatrix}}} inverze. .

A 2x2-es mátrix [ x y z v ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\\z&v\end{bmatrix}} inverzének képlete a következő:

( 1 d e t ) [ v - y - z x ] {\displaystyle \left({\frac {1}{det}}}\right){\begin{bmatrix}v&-y\\\-z&x\end{bmatrix}}}}

Ahol d e t {\displaystyle det} a mátrix determinánsa. Egy 2x2-es mátrixban a determináns egyenlő:

x v - y z {\displaystyle {xv-yz}}

Egy oszlopos mátrix

Az olyan mátrixot, amelynek sok sora van, de csak egy oszlopa, oszlopvektornak nevezzük.

A determináns egy négyzetmátrixból egy egyszerű számot, egy skalárt számol ki. Hogy megértsük, mit jelent ez a szám, vegyük a mátrix minden egyes oszlopát, és rajzoljuk le vektorként. A vektorok által rajzolt párhuzamosnak van egy területe, ami a determináns. Minden 2x2-es mátrix esetében a képlet nagyon egyszerű: det ( [ a b c d ] ) = a d - b c {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\c&d\\\end{bmatrix}}\right)=ad-bc}}

A 3x3-as mátrixok esetében a képlet bonyolultabb: a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] ) = a 1 ( b 2 c 3 - c 2 b 3 ) - a 2 ( b 1 c 3 - c 1 b 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 - c 1 b 2 ) {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})}

A nagyobb mátrixok determinánsaira nincsenek egyszerű formulák, és sok programozó tanulmányozza, hogyan lehet a számítógépeket rávenni arra, hogy gyorsan megtalálják a nagy determinánsokat.

A determinánsok tulajdonságai

Három szabály van, amelyet minden meghatározó tényező követ. Ezek a következők:

• Az azonossági mátrix determinánsa 1
• Ha a mátrix két sora vagy két oszlopa kicserélődik, akkor a determináns -1-gyel szorozódik. A matematikusok ezt váltakozásnak nevezik.
• Ha egy sorban vagy oszlopban lévő összes számot megszorozzuk egy másik n számmal, akkor a determinánst megszorozzuk n-nel. Továbbá, ha egy M mátrixnak van egy v oszlopa, amely két v 1 {\displaystyle v_{1}} és v 2 {\displaystyle v_{2}} oszlopmátrix összege. , akkor M determinánsa az M determinánsainak összege úgy, hogy v helyett v 1 {\displaystyle v_{1}} és v helyett v 2 {\displaystyle v_{2}} van. Ezt a két feltételt nevezzük multi-linearitásnak.

• Lineáris algebra
• Numerikus lineáris algebra