Pí (π) – Definíció és tulajdonságok: érték és irracionalitás

A pí formálisan gyakran π-nek vagy rövidítésként π görög betűnek írják. A pí irracionális szám, ami azt jelenti, hogy nem írható törtként ( a b {\displaystyle a \over b} ), ahol az "a" és a "b" egész számok (egész számok). Ez alapvetően azt jelenti, hogy a pi tizedesjegyektől jobbra eső számjegyei a végtelenségig tartanak anélkül, hogy egy mintában ismétlődnének, és hogy a pi pontos értékét nem lehet számként leírni. A pí értékét csak megközelíteni lehet, vagy olyan értékre mérni, amely a gyakorlati célokra elég közel van hozzá.

A pi-hez közeli érték 3.14159292653589793238462643... A pi egy gyakori tört közelítése 22 7 {\displaystyle 22 \over 7} , ami megközelítőleg 3,14285714 értéket ad. Ez a közelítés 0,04%-kal tér el a pi valódi értékétől. Bár ez a közelítés a való életben a legtöbbször elfogadott, a 355 113 {\displaystyle 355 \over 113} törtérték pontosabb (körülbelül 3,14159292-t ad), és akkor használható, ha a pi-hez közelebbi értékre van szükség. A számítógépek segítségével jobban meg lehet közelíteni a pi értékét.

2019 márciusában Emma Haruka Iwao 31,4 billió számjegyre számította ki a pi értékét.

A pi értékét már az ókori indiai matematikusok, például Bhaskaracharya és Aryabhatta is ismerték.

A matematikusok évezredek óta ismerik a pí-t, mert ugyanennyi ideje dolgoznak körökkel. Az olyan régi civilizációk, mint a babilóniaiak, sok számjegyre tudták megközelíteni a pí értékét, például a 25/8 és a 256/81 törtét. A legtöbb történész úgy véli, hogy az ókori egyiptomiaknak nem volt fogalmuk a π-ről, és hogy a megfelelés véletlen egybeesés.

A pi-re vonatkozó első írásos említés i. e. 1900-ból származik. Kr. e. 1650 körül az egyiptomi Ahmes a Rhind-papiruszban adta meg az értéket. A babilóniaiak úgy tudták megállapítani, hogy a pi értéke valamivel nagyobb, mint 3, hogy egyszerűen készítettek egy nagy kört, majd egy darab kötelet ragasztottak a kerületére és az átmérőjére, feljegyezték a távolságukat, majd elosztották a kerületet az átmérővel.

A pi szám ismerete visszakerült Európába és a héberek kezébe, akik a számot a Biblia Ószövetségnek nevezett részében tették fontossá. Ezt követően a pi kiszámításának legelterjedtebb módja az volt, hogy egy sok oldalú alakzatot rajzoltak egy tetszőleges kör belsejébe, és az alakzat területét használták a pi kiszámításához. A görög filozófus Arkhimédész például egy 96 oldalú sokszög alakzatot használt a pi értékének megtalálására, de a kínaiak i. sz. 500-ban egy 16 384 oldalú sokszöget tudtak használni a pi értékének megtalálására. A görögök, mint például a klazomenai Anaxagorasz, a kör egyéb tulajdonságainak kiderítésével is foglalkoztak, például azzal, hogyan lehet a körökből négyzeteket készíteni, és hogyan lehet a pi számot négyzetre állítani. Azóta is sokan próbálnak egyre pontosabb értékeket találni a pi-nek.

A 16. században egyre jobb és jobb módszerek váltak elérhetővé a pí meghatározására, például a francia jogász, François Viète által kifejlesztett bonyolult képlet. A görög "π" szimbólumot először William Jones 1706-ban írt esszéjében használták.

Egy Lambert nevű matematikus 1761-ben azt is kimutatta, hogy a pí szám irracionális, azaz a szokásos szabványok szerint nem írható fel törtként. Egy másik, Lindeman nevű matematikus 1882-ben azt is meg tudta mutatni, hogy a pí a transzcendenseknek nevezett számok csoportjába tartozik, amelyek olyan számok, amelyek nem lehetnek egy polinomegyenlet megoldása.

A pí a körökön kívül sok más dolog kiszámítására is használható. A pí tulajdonságai lehetővé tették, hogy a geometrián kívül, amely az alakzatokat tanulmányozza, a matematika számos más területén is felhasználható legyen. Néhány ilyen terület a komplex analízis, a trigonometria és a sorozatok.

Ma már különböző módszerek léteznek a π sok számjegyének kiszámítására. Ez azonban csak korlátozottan használható.

A pí néha bármely kör területének vagy kerületének kiszámítására használható. Egy kör kerületének kiszámításához a C (kerület) = π szorozva az átmérővel. Egy kör területének kiszámításához a π (sugár²) képletet használjuk. Ezt a képletet néha A = π r 2 {\displaystyle A=\pi r^{2}} , ahol r a kör sugarának változója, A pedig a kör területének változója.

Egy kör kerületének kiszámítása 1 mm-es hibával:

• 30 méteres körzethez 4 számjegyre van szükség.
• 10 számjegy a Föld sugarával megegyező sugaraknál
• 15 számjegy a Föld és a Nap közötti távolsággal megegyező sugarakhoz.

Az emberek általában azért ünneplik március 14-ét pí-napként, mert március 14-ét 3/14-nek is írják, ami a pí közelítésében az első három számot, a 3,14-et jelenti. A pí napja 2001 folyamán kezdődött.

• Kör