Paralelepipedon – definíció és tulajdonságok a háromdimenziós geometriában

Tulajdonságok

A három párhuzamos oldalpár bármelyike tekinthető a prizma alapsíkjának. A paralelepipediumnak három négy párhuzamos élből álló halmaza van; az egyes halmazokon belüli élek egyenlő hosszúságúak.

A paralelepipidák a kocka lineáris transzformációiból adódnak (a nem degenerált esetekben: a bijektív lineáris transzformációk).

Mivel minden oldal pont-szimmetriájú, a paralelepipedon egy zonoid. Az egész paralelepipedon is pontszimmetria _Ci (lásd még triklin). Kívülről nézve minden oldal a szemközti oldal tükörképe. Az oldalak általában királisak, de a paralelepipedon nem.

Bármely paralelepipedon kongruens másolataival lehetséges térkitöltő tesszelláció.

Volume

Egy paralelepipedon térfogata az A alapterület és a h magasság szorzata. Az alap a paralelepipedon hat oldalának bármelyike. A magasság az alap és a szemközti oldal közötti merőleges távolság.

Egy alternatív módszer szerint az a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) és c = (c1, c2, c3) vektorok három olyan élt jelölnek, amelyek egy csúcsban találkoznak. A paralelepiped térfogata ekkor egyenlő az a - (b × c) skaláris hármas szorzat abszolút értékével:

V = | a ⋅ ( b × c ) | = | b ⋅ ( c × a ) | = | c ⋅ ( a × b ) | {\displaystyle V=\left|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right|=\left|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\right|=\left|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\right|}

Ez azért igaz, mert ha az alap éleit b-vel és c-vel jelöljük, akkor az alap területe a keresztszorzat definíciója szerint (lásd a keresztszorzat geometriai jelentése),

A = | b | | c | sin θ = | b × c | , {\displaystyle A=\left|\mathbf {b} \right|\left|\mathbf {c} \right|\sin \theta =\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|,}

ahol θ a b és c közötti szög, a magasság pedig

h = | a | cos α , {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\cos \alpha ,}

ahol α az a és h közötti belső szög.

Az ábrából következtethetünk arra, hogy az α nagysága 0° ≤ α < 90°-ra korlátozódik. Ezzel szemben a b × c vektor a-val 90°-nál nagyobb β belső szöget képezhet (0° ≤ β ≤ 180°). Mivel ugyanis a b × c párhuzamos h-val, a β értéke vagy β = α, vagy β = 180° - α. Tehát

cos α = ± cos β = | cos β | , {\displaystyle \cos \alpha =\pm \cos \beta =\left|\cos \beta \right|,}

és

h = | a | | cos β | . {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\left|\cos \beta \right|. }

Megállapítjuk, hogy

V = A h = | a | | b × c | | cos β | , {\displaystyle V=Ah=\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|\left|\cos \beta \right|,}

ami a skaláris (vagy pont) szorzat definíciója szerint egyenértékű a - (b × c) abszolút értékével, Q.E.D.

Ez utóbbi kifejezés szintén egyenértékű egy háromdimenziós mátrix determinánsának abszolút értékével, amely a, b és c sorokból (vagy oszlopokból) épül fel:

V = | det [ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ] | . {\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|. }

Ezt a Cramer-szabály segítségével találjuk meg az eredetiből származó három redukált kétdimenziós mátrixon.

Ha a, b és c a paralelepipedon éleinek hossza, α, β és γ pedig az élek közötti belső szögek, akkor a térfogat a következő

V = a b c 1 + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( γ ) - cos 2 ( α ) - cos 2 ( β ) - cos 2 ( γ ) . {\displaystyle V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\,}}. }

Megfelelő tetraéder

Minden olyan tetraéder térfogata, amely egy paralelepipedon három konvergáló élen osztozik, a paralelepipedon térfogatának egyhatodával egyenlő (lásd a bizonyítást).

Különleges esetek

A szimmetriasíkkal rendelkező paralelepipedák esetében két esetet különböztetünk meg:

• négy téglalap alakú oldala van
• két rombuszos oldala van, míg a többi oldal közül két szomszédos oldal egyenlő, és a másik kettő is (a két pár egymás tükörképe).

Lásd még monoklin.

A téglalap alakú kocka, más néven téglalap alakú paralelepiped vagy néha egyszerűen csak kocka, olyan paralelepiped, amelynek minden oldala téglalap alakú; a kocka olyan kocka, amelynek négyzet alakúak az oldalai.

A rombusz olyan paralelepipedon, amelynek minden oldala rombuszos; a trigonális trapézéder olyan rombusz, amelynek rombuszos oldalai egybeesnek.

Tökéletes paralelepiped

A tökéletes paralelepipedon olyan paralelepipedon, amelynek élei, a felületátlói és a térátlói egész hosszúak. 2009-ben több tucat tökéletes paralelepipedáról mutatták ki, hogy létezik, ezzel megválaszolva Richard Guy egyik nyitott kérdését. Az egyik példának 271, 106 és 103 éle, 101, 266 és 255 kis oldalátlója, 183, 312 és 323 nagy oldalátlója, valamint 374, 300, 278 és 272 térátlója van.

Ismert néhány tökéletes paralelopiped, amelynek két téglalap alakú oldala van. Nem ismert azonban, hogy létezik-e olyan, amelynek minden oldala négyszögletes; az ilyen esetet tökéletes kockaformának neveznénk.

Parallelotope

Coxeter a paralelepipedium magasabb dimenziókban való általánosítását parallelotópnak nevezte.

Konkrétan n-dimenziós térben ezt n-dimenziós párhuzamosotópnak, vagy egyszerűen n-parallelotópnak nevezik. Így a paralelogramma egy 2-paralelotóp, a paralelepiped pedig egy 3-paralelotóp.

Általánosabban egy párhuzamosotóp vagy voronoi-párhuzamosotóp párhuzamos és kongruens ellentétes oldalú. Így a 2-párhuzamosotóp egy párhuzamosogon, amely bizonyos hatszögeket is tartalmazhat, a 3-párhuzamosotóp pedig egy párhuzamosoéder, amely 5 fajta poliédert tartalmaz.

Egy n-parallelotóp átlói egy pontban metszik egymást, és ez a pont kettévágja őket. Az ebben a pontban történő megfordítás változatlanul hagyja az n-parallelotópot. Lásd még az euklideszi tér izometriai csoportjainak fix pontjai.

A k-paralelotóp egy csúcsából kiinduló élek a vektortér k-keretét ( v 1 , ... , v n ) {\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})} alkotják, és a paralelotóp ezekből a vektorokból a vektorok 0 és 1 közötti súlyú lineáris kombinációival nyerhető vissza.

Az R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}}, ahol m ≥ n {\displaystyle m\geq n} beágyazott n-parallelotóp n-térfogata a Gram-determináns segítségével számítható ki. Alternatívaként a térfogat a vektorok külső szorzatának normája:

V = ‖ v 1 ∧ ∧ ∧ v n ‖ . {\displaystyle V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\|. }

Ha m = n, akkor ez az n vektor determinánsának abszolút értékét jelenti.

Egy másik képlet egy n-parallelotóp P térfogatának kiszámítására R n-ben {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}} , amelynek n + 1 csúcsa a V 0 , V 1 , ... , V n {\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}} , az

V o l ( P ) = | d e t ( [ V 0 1 ] T , [ V 1 1 ] T , ... , [ V n 1 ] T ) | , {\displaystyle {\rm {Vol}}(P)=|{\rm {det}}\ ([V_{0}\ 1]^{\rm {T}},[V_{1}\ 1]^{\rm {T}},\ldots ,[V_{n}\ 1]^{\rm {T}})|,}

ahol [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]} a V i {\displaystyle V_{i}} és 1 összekapcsolásával képzett sorvektor. A determináns nem változik, ha [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]}-t kivonjuk [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]}-ból. (i > 0), és [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]} utolsó pozícióba helyezése csak az előjelét változtatja meg.

Hasonlóképpen, bármely olyan n-szimplex térfogata, amely egy párhuzamosotóp n konvergens élein osztozik, egyenlő a párhuzamosotóp térfogatának 1/n! térfogatával.

Lexikográfia

A szó parallelipipedon néven szerepel Sir Henry Billingsley 1570-es Euklidész Elemek című művének fordításában. Pierre Hérigone a Cursus mathematicus 1644-es kiadásában a parallelepipedum írásmódot használta. Az Oxford English Dictionary a mai paralelepipedot először Walter Charleton Chorea gigantum (1663) című művében említi.

Charles Hutton szótárában (1795) a parallelopiped és a parallelopipedon szerepel, ami a parallelo- kombinációs forma hatását mutatja, mintha a második elem nem epipedon, hanem pipedon lenne. Noah Webster (1806) a parallelopiped helyesírást tartalmazza. Az Oxford English Dictionary 1989-es kiadása a parallelopiped (és parallelipiped) alakokat kifejezetten helytelen alakokként írja le, de a 2004-es kiadásban ezek megjegyzés nélkül szerepelnek, és csak az ötödik szótagon hangsúlyozott pi (/paɪ/) kiejtés szerepel.

A hagyományos kiejtéstől való eltérés elrejtette a görög gyökerek által sugallt különböző felosztást, az epi- ("on") és a pedon ("föld") kombinációjával az epiped, a lapos "sík" szó. Így a paralelepipedon oldalai síkszerűek, az egymással szemben lévő oldalak párhuzamosak.