Euklideszi geometria — definíció, axiómák és nem-euklideszi geometriák
Euklideszi geometria: világos definíciók, alapaxiómák és bizonyítások, valamint a nem-euklideszi geometriák története (Bolyai, Lobacsevszkij) és jelentősége.
Az euklideszi geometria a matematika egyik rendszere. Az emberek úgy gondolják, hogy Euklidész volt az első, aki leírta, ezért az ő nevét viseli. Először az Elemek című tankönyvében írta le. Ez a könyv volt az első szisztematikus tárgyalása az akkoriban ismert geometriának. A könyvben Euklidész először feltételez néhány axiómát. Ezek képezik a későbbi munkák alapját. Ezek intuitív módon egyértelműek. Ezekből az axiómákból kiindulva más tételek is bizonyíthatóak.
A 19. században a geometria más formáit is megtalálták. Ezek a nem-euklideszi geometria. Carl Friedrich Gauss, Bolyai János és Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij voltak azok, akik ilyen geometriákat fejlesztettek ki. Ezek nagyon gyakran nem a párhuzamos posztulátumot, hanem a másik négy axiómát használják.
Az euklideszi axiómarendszer rövid ismertetése
Euklidész axiómarendszere két részből állt: a közös fogalmakból (közönséges axiómák) és az öt posztulátumból. A legismertebbek a következők (egyszerű, szemléletes megfogalmazásban):
- 1. Minden két pontot összeköt egy egyenes szakasz.
- 2. Egy egyenes szakasz meghosszabbítható tetszőleges irányba végtelen egyenessé.
- 3. Bármely pont köré, bármely távolsággal kör rajzolható.
- 4. Minden derékszög egyenlő minden másik derékszöggel (a derékszögek szögei azonosak).
- 5. (Párhuzamos posztulátum) Ha egy egyenes két egyenest metszi úgy, hogy a belső azonos oldalra eső szögek összege kisebb, mint két derékszög, akkor a két egyenes a megadott irányban találkozik.
Az első négy posztulátum viszonylag közvetlen és „természetesnek” tűnik, a ötödik viszont kevésbé intuitív és hosszú története volt annak, hogy vajon következik-e a többi posztulátumból vagy sem.
Miért fontos a párhuzamos posztulátum?
A párhuzamos posztulátum határozza meg, hogyan viselkednek a párhuzamosok és ezáltal milyen a sík geometriájának szerkezete. Az euklideszi geometriában pontosan egy olyan egyenes van egy adott ponton át, amely párhuzamos egy adott egyenessel. Ennek következménye többek között, hogy minden háromszög belső szögeinek összege 180°.
Nem-euklideszi geometriák
A 19. században felfedezett nem-euklideszi geometria két alapvető típusa a következő:
- Hyperbolikus geometria (Lobacsevszkij–Bolyai): egy adott pontból végtelen sok egyenes húzható, amelyek nem metszik az adott egyenest (azaz több „párhuzamos” létezik). Itt egy háromszög belső szögeinek összege kevesebb, mint 180°, és a tér negatív görbületű.
- Sferikus vagy elliptikus geometria: nincs olyan egyenes (nagykör), amely a síkhoz hasonlóan párhuzamos másikkal; a háromszög szögeinek összege nagyobb, mint 180°, és a tér pozitív görbületű. Gyakorlati példája a Föld felszíne mint gömbfelület.
A nem-euklideszi geometriák megjelenése kulcsfontosságú volt a geometria megértésében: megmutatta, hogy az 5. posztulátum független az első négytől. A függetlenséget és konzisztenciát úgy érzékeltették, hogy konzisztens modelleket adtak, amelyekben a többi axióma érvényes, de az 5. posztulátum nem.
Modellek és modern megközelítések
- Beltrami, Klein és Poincaré különböző modelleket adott a hyperbolikus geometriára (például a Poincaré-korong modell), amelyek segítségével láthatóvá vált a nem-euklideszi geometriák konzisztenciája.
- David Hilbert a 19–20. század fordulóján modern, axiomatikus rendszert dolgozott ki (Hilbert-axiomák), amelyek pontosabb formában fogalmazták meg az alapfeltevéseket és kiküszöbölték Euklidész néhány homályos megfogalmazását.
- A Riemann-féle megközelítés általánosította a geometriát görbe terekre (Riemann-geometria), amely a görbület fogalmát rendszerszintre emelte — ez a keretrendszer alapja az általános relativitáselméletnek, ahol a téridő lokálisan „nem-euklideszi”.
Gyakorlati alkalmazások és jelentőség
Az euklideszi geometria továbbra is alapvető minden olyan területen, ahol a tér közelítése síknak tekinthető: mérnöki tervezés, építészet, mérés és a mindennapi geometriai problémák. A nem-euklideszi geometriák viszont fontosak asztrofizikában, relativitáselméletben, térképészetben és bizonyos matematikai modellezésekben.
Összefoglalás
Az euklideszi geometria története és axiómarendszere alapvető a matematika fejlődésében. A 19. századi áttörések rávilágítottak arra, hogy az axiómák megválasztása döntő hatású: más és más axiómarendszerek eltérő geometriai világot teremtenek. A modern matematika az axiomatikus gondolkodás és a különböző geometriai modellek segítségével rendszerezi e sokszínűséget.
Az axiómák
Euklidész a következő feltételezéseket teszi. Ezek axiómák, és nem kell bizonyítani őket.
- Bármely két pont összeköthető egy egyenes vonallal.
- Bármely egyenes szakasz meghosszabbítható (meghosszabbítható) a végtelenbe, így egyenes lesz belőle.
- Egy egyenes vonalszakasszal egy kört lehet rajzolni úgy, hogy a szakasz egyik végpontja a kör középpontja, a másik végpontja pedig a körön fekszik. Az egyenes szakasz lesz a kör sugara.
- Minden derékszög egybeesik
- Párhuzamos posztulátum. Ha két egyenes úgy metszik egy harmadikat, hogy az egyik oldalon a belső szögek összege kisebb, mint két derékszög, akkor a két egyenesnek szükségszerűen metszenie kell egymást ezen az oldalon, ha elég messzire meghosszabbítjuk.
Status
Az euklideszi geometria egy elsőrendű elmélet. Ennek segítségével olyan állításokat lehet tenni és bizonyítani, mint a Minden háromszögre... vonatkozóan. Az olyan kijelentések, mint a Minden háromszöghalmazra... kívül esnek az elmélet hatókörén.
Kérdések és válaszok
K: Mi az euklideszi geometria?
V: Az euklideszi geometria a matematika egyik rendszere, amelyet először Euklidész írt le Elemek című tankönyvében. Néhány axiómából áll, amelyek a későbbi munkák alapját képezik, és ezekből az axiómákból más tételek is bizonyíthatóak.
K: Ki írta az Elemeket?
V: Euklidész írta az Elemeket, amely az akkor ismert geometria első szisztematikus tárgyalása volt.
K: Milyen példák vannak a nem euklideszi geometriákra?
V: A nem-euklideszi geometriákat Carl Friedrich Gauss, Jבnos Bolyai és Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij dolgozta ki a 19. században. Ezek gyakran nem használják a párhuzamos posztulátumot, hanem inkább a másik négy axiómára támaszkodnak.
K: Mit tárgyalnak az Elemek?
V: Az Elemek az akkoriban ismert geometriát tárgyalja, és szisztematikusan tárgyalja azt.
K: Hány axiómája van az euklideszi geometriának?
V: Az euklideszi geometriának van néhány axiómája, amelyek a későbbi munkák alapját képezik.
K: Ki fejlesztette ki a nem euklideszi geometriát?
V: A nem-euklideszi geometriát Carl Friedrich Gauss, Jבnos Bolyai és Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij fejlesztette ki a 19. században.
K: A nem-euklideszi geometria mind az öt axiómát használja, vagy csak négyet?
V: A nem-euklideszi geometria gyakran nem használja a párhuzamos posztulátumot, hanem az öt axiómából csak négyre támaszkodik.
Keres