Kongruencia (geometria) — alak- és méretegyezés definíciója
Kongruencia (geometria): Alak- és méretegyezés, izometriák, tükrözések és elforgatások egyszerűen magyarázva, példákkal és szemléletes ábrákkal.
A geometriában két alakzat vagy tárgy akkor és csak akkor kongruens, ha alakjuk és méretük megegyezik, tehát az egyik azonosítható a másikkal izometriával (egy távolságokat megőrző bijekcióval). Formálisan két ponthalmazt kongruensnek nevezünk, ha az egyiket egy merev mozgással — például eltolással, elforgatással vagy tükrözéssel (illetve ezek összetételével) — át tudjuk vinni a másikba. Az izometriák azokat a transzformációkat jelentik, amelyek nem változtatják meg a pontok egymástól mért távolságát és a szögeket.
Merev mozgások és tükörképek
A merev mozgások közé tartoznak:
- eltolás (transzláció),
- elforgatás (rotáció),
- tükrözés (reflexió) — amely megfordítja az orientációt, és így a tükörkép előállítására szolgál, tükörképe esetén is kongruenciáról beszélünk,
- illetve a fenti műveletek összetételei (például csúsztatott tükrözés).
Fontos: átméretezés (skalázás) nem megengedett; ha a méretet meg kell változtatni, a két alakzat nem kongruens, csupán hasonló lehet.
Sokszögek és háromszögek kongruenciája
Két sokszög kongruens, ha megfelelően hozzárendelt oldalai páronként egyenlők és a hozzájuk tartozó szögek is egyenlők. Különösen a háromszögeknél jól ismert kongruenciakritériumok:
- SSS (oldal–oldal–oldal): mindhárom oldal páronként egyenlő;
- SAS (oldal–szög–oldal): két oldal és a közbezárt szög páronként egyenlő;
- ASA (szög–oldal–szög): két szög és a közbezárt oldal páronként egyenlő;
- AAS (szög–szög–oldal): két szög és a nem közbezárt oldal páronként egyenlő;
- RHS / HL (rektanguláris háromszögek esetén): derékszögű háromszögeknél a befogók és az átfogó vagy befogók aránya szerinti kritériumok.
Tulajdonságok és jellemzők
- Kongruens transzformációk megőrzik a távolságokat és a szögeket, ezért megőrzik a hosszúságokat, kerületeket és területeket is.
- Az orientáció tükrözéssel megfordulhat: egy alakzat és tükörképe (például jobb és bal kéz) kongruensek, de orientációjuk különböző lehet.
- A kongruencia egy ekvivalenciareláció: reflexív, szimmetrikus és tranzitív.
- Az izometriák halmaza a tér vagy sík Euclid-csoportját alkotja, amely algebrailag jellemzi a merev mozgásokat.
Gyakorlati érzékeltetés
A hétköznapi magyarázat szerint két síkbeli alakzat kongruens, ha ki tudjuk őket vágni papírból, és a kivágott darabokat úgy egymásra helyezve teljesen fedik egymást — a papír megfordítása (tükrözése) is megengedett. Ez az analógia jól szemlélteti, hogy a helyzet és irány megváltoztatható, de a méret és az alak nem.
Összefoglalva: a kongruencia a geometriai egyformaság pontos kifejezése — két alakzat akkor kongruens, ha merev mozgással az egyik pontosan azonosítható a másikkal, míg a hasonlóság esetén csak az alakzat arányai egyeznek meg egy skaláris méretezés után.
Egy példa a kongruenciára. A bal oldali két háromszög kongruens, a harmadik pedig hasonló hozzájuk. Az utolsó háromszög nem hasonló és nem is kongruens a többihez. Figyeljük meg, hogy a kongruencia lehetővé teszi egyes tulajdonságok, például az elhelyezkedés és a tájolás megváltoztatását, de másokat, például a távolságot és a szögeket változatlanul hagy. A változatlan tulajdonságokat invarianciáknak nevezzük.
Példák
- minden olyan négyzet, amelynek oldalainak hossza megegyezik, egybeesik.
- minden olyan egyenlő oldalú háromszög, amelynek oldalainak hossza megegyezik, egybeesik.
Kongruencia tesztek
- Két szög és a köztük lévő oldal két háromszögben megegyezik (ASA kongruencia).
- Két szög és egy nem köztük lévő oldal mindkét háromszögben megegyezik (AAS kongruencia).
- Mindkét három háromszög mindhárom oldala megegyezik (SSS kongruencia)
- két oldal és a köztük lévő szög 2 háromszöget egybevágóvá tesz (SAS kongruencia)
Hogyan kaphatunk újabb kongruens alakzatokat?
Elég sok lehetőségünk van, néhány szabály, hogy az új formák kongruensek legyenek az eredetivel.
- Ha egy geomentrikus alakzatot eltolunk a síkban, akkor egy olyan alakzatot kapunk, amely kongruens az eredetivel.
- Ha eltolás helyett elforgatjuk, akkor is az eredetivel kongruens alakzatot kapunk.
- Még ha az eredeti alakzat tükörképét vesszük is, akkor is egy kongruens alakzatot kapunk.
- Ha a három tevékenységet egymás után kombináljuk, akkor is kongruens alakzatokat kapunk.
- Nincs több egybevágó alakzat. Pontosabban ez azt jelenti, hogy ha egy alakzat kongruens az eredetivel, akkor az a fent leírt három tevékenységgel elérhető.
Annak a kapcsolatnak, hogy egy alakzat kongruens egy másik alakzattal, három híres tulajdonsága van.
- Ha az eredeti alakzatot az eredeti helyén hagyjuk, akkor az önmagával kongruens. Ezt a viselkedést, ezt a tulajdonságot nevezzük reflexivitásnak.
Például, ha a fenti eltolás nem valódi eltolás, hanem csak egy nulla hosszúságú mozgást végző eltolás. Vagy hasonlóképpen, ha a fenti elforgatás nem szabályos elforgatás, hanem csak egy nulla szögű elforgatás.
- Ha egy alakzat kongruens egy másik alakzattal, akkor ez a másik alakzat is kongruens az eredetivel. Ezt a viselkedést, ezt a tulajdonságot szimmetriának nevezzük.
Például, ha az új alakzatot visszatoljuk, vagy visszaforgatjuk, vagy visszatükrözzük az eredeti alakzathoz, akkor az eredeti alakzat kongruens az új alakzattal.
- Ha egy C alakzat kongruens egy B alakzattal, és a B alakzat kongruens az eredeti A alakzattal, akkor a C alakzat is kongruens az eredeti A alakzattal. Ezt a viselkedést, ezt a tulajdonságot tranzitivitásnak nevezzük.
Ha például először eltolást, majd elforgatást alkalmazunk, akkor az így kapott új alakzat még mindig kongruens az eredetivel.
A híres három tulajdonság, a reflexivitás, a szimmetria és a tranzitivitás együttesen alkotják az ekvivalencia fogalmát. Ezért a kongruencia tulajdonság a síkbeli alakzatok közötti egyenértékűségi viszony egyik fajtája.
Kérdések és válaszok
K: Mit jelent az, hogy két alakzat kongruens a geometriában?
V: Két alakzat akkor kongruens a geometriában, ha alakjuk és méretük megegyezik, vagy ha az egyik alakja és mérete megegyezik a másik tükörképével.
K: Hogyan neveznek két ponthalmazt kongruensnek?
V: Két ponthalmazt akkor és csak akkor nevezünk kongruensnek, ha az egyiket izometriával át lehet alakítani a másikba.
K: Mire használják a merev mozgásokat az izometriában?
V: A merev mozgásokat az izometriában geometriai alakzatok átállítására, elforgatására vagy tükrözésére használják, anélkül, hogy átméreteznék őket, hogy pontosan egybeessenek más objektumokkal.
K: Lehet-e két alakzat kongruens, ha az egyiknek meg kell változtatnia a méretét, hogy egybeessen a másikkal?
V: Nem, ha az egyik objektumnak meg kell változtatnia a méretét ahhoz, hogy egybeessen a másikkal, akkor a két objektum nem kongruens, de hasonlónak nevezzük őket.
K: Mit mondhatunk két különböző síkbeli alakzat kongruenciájáról egy darab papíron?
V: Két különböző síkbeli alakzat egy darab papíron akkor kongruens, ha ki tudjuk vágni őket, majd teljesen összeilleszthetjük őket, szükség esetén megfordítva a papírt.
K: Mik azok a kongruens sokszögek?
V: A kongruens sokszögek olyan sokszögek, amelyeket félbehajlítva egy másik szabályos sokszöget kapunk, amely szintén kongruens.
K: Mi a feltétele annak, hogy két objektumot kongruensnek nevezzenek a geometriában?
V: A geometriában két objektum kongruensnek nevezhető, ha az egyik objektumot úgy lehet áthelyezni, elforgatni vagy tükrözni, hogy az pontosan egybeessen a másik objektummal anélkül, hogy annak mérete megváltozna.
Keres