Determináns: definíció, tulajdonságok és számítási módszerek

Többféleképpen is megérthetjük, hogy mit mond a determináns a mátrixról.

Geometriai értelmezés

Egy n × n {\displaystyle n\times n} mátrix úgy tekinthető, mint egy n {\displaystyle n} dimenziójú lineáris térkép leírása. Ebben az esetben a determináns megmondja, hogy ez a mátrix milyen tényezővel méretezi (növeli vagy zsugorítja) az n {\displaystyle n} -dimenziós tér egy régióját.

Például egy 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} A mátrix {\displaystyle A} , lineáris leképezésként tekintve, a 2 dimenziós térben egy négyzetet párhuzamos alakúvá változtat. A paralelogramma területe det ( A ) {\displaystyle \det(A)} kétszer akkora lesz, mint a négyzet területe.

Ugyanígy egy 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} B {\displaystyle B} mátrix, lineáris leképezésként tekintve, a háromdimenziós térben egy kockát paralelepipedává változtat. Ennek a paralelepipednek a térfogata det ( B ) {\displaystyle \det(B)} kétszer akkora lesz, mint a kocka térfogata.

A determináns lehet negatív. A lineáris térkép nyújthat és méretezhet egy térfogatot, de tükrözheti azt egy tengelyen is. Amikor ez megtörténik, a determináns előjele pozitívról negatívra, vagy negatívról pozitívra változik. A negatív determináns azt jelenti, hogy a térfogatot páratlan számú tengelyen tükrözte.

"Egyenletrendszer" értelmezés

A mátrixot úgy tekinthetjük, mint ami egy lineáris egyenletrendszert ír le. Ennek a rendszernek pontosan akkor van egyedi, nem triviális megoldása, ha a determináns nem 0. (A nem triviális azt jelenti, hogy a megoldás nem csak nullákból áll.)

Ha a determináns nulla, akkor vagy nincs egyetlen nem triviális megoldás, vagy végtelen sok van belőle.

Egy mátrixnak pontosan akkor van inverz mátrixa, ha a determináns nem 0. Ezért a nem nulla determinánssal rendelkező mátrixot invertálhatónak nevezzük. Ha a determináns 0, akkor a mátrixot nem invertálhatónak vagy szingulárisnak nevezzük.

Geometriai szempontból úgy gondolhatunk egy szinguláris mátrixra, mint ami a paralelepipediumot párhuzamosra, vagy a párhuzamost egyenesre "lapítja". Ekkor a térfogat vagy a terület 0, és nincs az a vonalas térkép, amely visszahozná a régi alakot.

A determináns kiszámításának több módja van.

Képletek kis mátrixokra

• Az 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} és a 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} mátrixok esetében a képleteket megjegyezheti:

det [ a ] = a , det [ a b c d ] = a d - b c . {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\\\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc. }

• A 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} mátrixok esetében a képlet a következő:

det [ a b c d e f g h i ] = a e i + d h c + g b f - g e c - a h f - d b i {\displaystyle {\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}}

A képlet megjegyzésére használhatja a Sarrus szabályt (lásd a képet).

Kofaktor bővítés

Nagyobb mátrixok esetén a determinánst nehezebb kiszámítani. Ennek egyik módja az úgynevezett kofaktortágítás.

Tegyük fel, hogy van egy n × n {\displaystyle n\times n} A {\displaystyle A} mátrixunk. Először is, válasszuk ki a mátrix bármelyik sorát vagy oszlopát. Minden egyes a i j {\displaystyle a_{ij}} számhoz {\displaystyle a_{ij}} ebben a sorban vagy oszlopban kiszámítjuk a C i j {\displaystyle C_{ij}} nevű kofaktorát. . Ekkor det ( A ) = ∑ a i j C i j {\displaystyle \det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}}} .

Egy ilyen kofaktor kiszámításához C i j {\displaystyle C_{ij}} , töröljük az A {\displaystyle A} mátrixból az i {\displaystyle i} sort és a j {\displaystyle j} oszlopot. Így egy kisebb ( n - 1 ) × ( n - 1 ) {\displaystyle (n-1)\times (n-1)} mátrixot kapunk. Ezt nevezzük M {\displaystyle M} . A kofaktor C i j {\displaystyle C_{ij}} ekkor egyenlő ( - 1 ) i + j det ( M ) {\displaystyle (-1)^{i+j}\det(M)} .

Íme egy példa egy 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} mátrix bal oldali oszlopának kofaktoros kiterjesztésére:

det [ 1 3 2 2 1 1 0 3 4 ] = 1 ⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 1 3 4 ] ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) + ( 0 ⋅ ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 6 ) + 0 = − 11. {\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\\{\color {red}2}&1&1\\\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\\\\3&4\end{bmatrix}}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\\3&4\end{bmatrix}}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\\1&1\end{bmatrix}}}\right)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\\\&=-11.\end{aligned}}}}

Amint itt láthatjuk, munkát takaríthatunk meg, ha olyan sort vagy oszlopot választunk, amely sok nullát tartalmaz. Ha a i j {\displaystyle a_{ij}} 0, akkor nem kell kiszámítanunk C i j {\displaystyle C_{ij}} .

• Kötet