Determináns (matematika)
Egy négyzetes mátrix determinánsa egy skalár (egy szám), amely elárul valamit arról, hogy hogyan viselkedik a mátrix. A determinánst a mátrixban lévő számokból számolhatod ki.
"Az A mátrix determinánsa {\displaystyle A} 
" a képletben det ( A ) {\displaystyle \det(A)} 
vagy | A | {\displaystyle |A|}
formában szerepel. Néha a det ( [ a b c d ] ) {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\\\c&d\end{bmatrix}}\right)} és | [ 
a b c d ] | {\displaystyle \left|{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right|} 
csak azt írjuk, hogy det [ a b c d ] {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\\c&d\end{bmatrix}}} és | a 
b c d | {\displaystyle \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right|}} .
Értelmezés
Többféleképpen is megérthetjük, hogy mit mond a determináns a mátrixról.
Geometriai értelmezés
Egy n × n {\displaystyle n\times n} 
mátrix úgy tekinthető, mint egy n {\displaystyle n} 
dimenziójú lineáris térkép leírása. Ebben az esetben a determináns megmondja, hogy ez a mátrix milyen tényezővel méretezi (növeli vagy zsugorítja) az n {\displaystyle n} -dimenziós tér egy régióját.
Például egy 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} A 
mátrix {\displaystyle A} , lineáris leképezésként tekintve, a 2 dimenziós térben egy négyzetet párhuzamos alakúvá változtat. A paralelogramma területe det ( A ) {\displaystyle \det(A)} kétszer akkora lesz, mint a négyzet területe.
Ugyanígy egy 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} B {\displaystyle B}
mátrix, lineáris leképezésként tekintve, a háromdimenziós térben egy kockát paralelepipedává változtat. Ennek a paralelepipednek a térfogata det ( B ) {\displaystyle \det(B)} 
kétszer akkora lesz, mint a kocka térfogata.
A determináns lehet negatív. A lineáris térkép nyújthat és méretezhet egy térfogatot, de tükrözheti azt egy tengelyen is. Amikor ez megtörténik, a determináns előjele pozitívról negatívra, vagy negatívról pozitívra változik. A negatív determináns azt jelenti, hogy a térfogatot páratlan számú tengelyen tükrözte.
"Egyenletrendszer" értelmezés
A mátrixot úgy tekinthetjük, mint ami egy lineáris egyenletrendszert ír le. Ennek a rendszernek pontosan akkor van egyedi, nem triviális megoldása, ha a determináns nem 0. (A nem triviális azt jelenti, hogy a megoldás nem csak nullákból áll.)
Ha a determináns nulla, akkor vagy nincs egyetlen nem triviális megoldás, vagy végtelen sok van belőle.
Egy 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} mátrix [ a c b d ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&c\\\b&d\end{bmatrix}}} 
, a determináns a parallellogramma területe. (A terület egyenlő a d - b c {\displaystyle ad-bc}
.)
Szinguláris mátrixok
Egy mátrixnak pontosan akkor van inverz mátrixa, ha a determináns nem 0. Ezért a nem nulla determinánssal rendelkező mátrixot invertálhatónak nevezzük. Ha a determináns 0, akkor a mátrixot nem invertálhatónak vagy szingulárisnak nevezzük.
Geometriai szempontból úgy gondolhatunk egy szinguláris mátrixra, mint ami a paralelepipediumot párhuzamosra, vagy a párhuzamost egyenesre "lapítja". Ekkor a térfogat vagy a terület 0, és nincs az a vonalas térkép, amely visszahozná a régi alakot.
Determináns kiszámítása
A determináns kiszámításának több módja van.
Képletek kis mátrixokra
- Az 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1}
és a 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} mátrixok esetében a képleteket megjegyezheti:
det [ a ] = a , det [ a b c d ] = a d - b c . {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\\\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc. } 
- A 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} mátrixok esetében a képlet a következő:
det [ a b c d e f g h i ] = a e i + d h c + g b f - g e c - a h f - d b i {\displaystyle {\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}} 
A képlet megjegyzésére használhatja a Sarrus szabályt (lásd a képet).
Kofaktor bővítés
Nagyobb mátrixok esetén a determinánst nehezebb kiszámítani. Ennek egyik módja az úgynevezett kofaktortágítás.
Tegyük fel, hogy van egy n × n {\displaystyle n\times n} A {\displaystyle A} mátrixunk. Először is, válasszuk ki a mátrix bármelyik sorát vagy oszlopát. Minden egyes a i j {\displaystyle a_{ij}}
számhoz {\displaystyle a_{ij}} ebben a sorban vagy oszlopban kiszámítjuk a C i j {\displaystyle C_{ij}} nevű kofaktorát. 
. Ekkor det ( A ) = ∑ a i j C i j {\displaystyle \det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}}} 
.
Egy ilyen kofaktor kiszámításához C i j {\displaystyle C_{ij}} , töröljük az A {\displaystyle A} mátrixból az i {\displaystyle i}
sort és a j {\displaystyle j}
oszlopot. Így egy kisebb ( n - 1 ) × ( n - 1 ) {\displaystyle (n-1)\times (n-1)} 
mátrixot kapunk. Ezt nevezzük M {\displaystyle M}
. A kofaktor C i j {\displaystyle C_{ij}} ekkor egyenlő ( - 1 ) i + j det ( M ) {\displaystyle (-1)^{i+j}\det(M)}
.
Íme egy példa egy 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} mátrix bal oldali oszlopának kofaktoros kiterjesztésére:
det [ 1 3 2 2 1 1 0 3 4 ] = 1 ⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 1 3 4 ] ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) + ( 0 ⋅ ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 6 ) + 0 = − 11. {\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\\{\color {red}2}&1&1\\\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\\\\3&4\end{bmatrix}}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\\3&4\end{bmatrix}}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\\1&1\end{bmatrix}}}\right)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\\\&=-11.\end{aligned}}}} 
Amint itt láthatjuk, munkát takaríthatunk meg, ha olyan sort vagy oszlopot választunk, amely sok nullát tartalmaz. Ha a i j {\displaystyle a_{ij}} 0, akkor nem kell kiszámítanunk C i j {\displaystyle C_{ij}} .
A 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} determináns formula a termékek összege. Ezek a szorzatok a mátrix tetejéig "körbetekeredő" átlói mentén haladnak. Ezt a trükköt Sarrus szabályának nevezik.
Kérdések és válaszok
K: Mi az a determináns?
V: A determináns egy skalár (egy szám), amely megmutatja, hogyan viselkedik egy négyzetmátrix.
K: Hogyan lehet kiszámítani egy mátrix determinánsát?
V: A mátrix determinánsa kiszámítható a mátrixban lévő számokból.
K: Hogyan írják fel egy mátrix determinánsát?
V: Egy mátrix determinánsát det(A) vagy |A| képletben det(A) alakban írjuk.
K: Vannak más módjai is egy mátrix determinánsának kiírására?
V: Igen, a det([a b c d]) és |[a b c d]| helyett egyszerűen írhatjuk det [a b c d] és |[a b c d]|.
K: Mit jelent, amikor azt mondjuk, hogy "skalár"?
V: A skalár egy olyan egyedi szám vagy mennyiség, amelynek van nagysága, de nincs hozzá iránya.
K: Mik azok a négyzetes mátrixok?
V: A négyzetes mátrixok olyan mátrixok, amelyeknek egyenlő számú sora és oszlopa van, például 2x2 vagy 3x3 mátrixok.
