Determináns: definíció, tulajdonságok és számítási módszerek

Determináns: részletes definíciók, fontos tulajdonságok és gyakorlati számítási módszerek mátrixokhoz — példák és lépésről lépésre magyarázatok a gyors megértésért.

Szerző: Leandro Alegsa

07-01-2026 00:18

Egy négyzetes mátrix determinánsa egy skalár (egy szám), amely elárul valamit arról, hogy hogyan viselkedik a mátrix. A determinánst a mátrixban lévő számokból számolhatod ki. A determináns sok alkalmazásban szerepel: eldönti, hogy a mátrix inverzible-e, megadja egy lineáris transzformáció térfogatarányát és orientációváltoztatását, valamint fontos szerepe van különböző egyenletrendszerek és sajátértékproblémák vizsgálatában.

"Az A mátrix determinánsa {\displaystyle A} $A$ " a képletben det ( A ) {\displaystyle \det(A)} $\det(A)$ vagy | A | {\displaystyle |A|} $|A|$ formában szerepel. Néha a det ( [ a b c d ] ) {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\\\c&d\end{bmatrix}}\right)} és | [ $\det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right)$ a b c d ] | {\displaystyle \left|{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right|} $\left|{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right|$ csak azt írjuk, hogy det [ a b c d ] {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\\c&d\end{bmatrix}}} és | a $\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ b c d | {\displaystyle \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right|}} .

Tulajdonságok

Inverz és singularitás: Egy négyzetes mátrix A pontosan akkor invertálható, ha det(A) ≠ 0. Ha det(A) = 0, a mátrix szinguláris (nem invertálható).
Multiplikativitás: Minden négyzetes, ugyanakkora méretű mátrixra teljesül, hogy det(AB) = det(A) · det(B).
Transzponált: det(A^T) = det(A), azaz a determináns nem változik meg a mátrix transzponálásakor.
Sor- és oszlopműveletek hatása:
- Ha egy sort (vagy oszlopot) konstansszor megszorozunk, a determináns ugyanazzal a konstanssal szorzódik: det(k·A_i) = k·det(A) (ahol A_i egy sor vagy oszlop).
- Két sor (vagy oszlop) felcserélése a determináns előjelét megfordítja: swap → det változik jel szerint.
- Ha egy sorhoz (vagy oszlophoz) egy másik sor egy skalárszorosát hozzáadjuk, a determináns változatlan marad (lineáris kombinációk engedik a sorok cseréjét anélkül, hogy megváltozna a determináns).
Triangularitás: Ha A felső- vagy alsóháromszög mátrix, akkor a determináns az átló elemeinek szorzata: det(A) = ∏ a_ii.
Orientáció és térfogat: A determináns abszolút értéke megadja, hogyan skáláz egy lineáris transzformáció térfogatszorzót (pl. egységkocka térfogata). A determináns előjele pedig az orientáció megőrzését (pozitív) vagy megfordítását (negatív) jelzi.
Leibniz-formula (permutációk): Az n×n-es determináns kifejezhető permutációk összegzéseként (ez az általános explicit képlet), de számítása ennek közvetlen felhasználásával költséges (n! tag).

Számítási módszerek

2×2-es mátrix: Egyszerű és gyakran használt képlet: ha A = [[a, b], [c, d]], akkor det(A) = ad − bc. (Ezt az eredeti bekezdésben is jelöljük a megfelelő jelölésekkel.)
3×3-as Sarrus-szabály: 3×3 esetben rövid szabállyal is számolható: det = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33. Ez a szabály csak 3×3-ra érvényes.
Laplace-felbontás (minorokkal): Tetszőleges n×n mátrix esetén egy sor vagy oszlop mentén kifejthetjük a determinánst a megfelelő kisebb rendű minorok determinánsai és előjelei segítségével. Ez elméletileg fontos, de nagy n esetén számításigényes (rekurzív növekedés).
Gauss-elimináció / LU-dekompozíció: A gyakorlatban leggyakrabban sortranszformációkkal redukáljuk a mátrixot háromszögformára; ezután a determináns = (átdolgozások során fellépő skálázások és sorcserék figyelembevételével) az átló elemeinek szorzata. LU-dekompozíció alkalmazásával hatékonyan, O(n^3) időben számítható.
Numerikus megfontolások: Nagy mátrixoknál ügyelni kell numerikus stabilitásra — gyakran szükséges pivotálás (részleges vagy teljes) a Gauss-elimináció során. Sok numerikus könyvtár visszaadja a logaritmikus determinánst vagy a jelet és log(abs(det)) formát, hogy elkerüljék a túl- vagy alulfutást.
Programozási könyvtárak: Használj megbízható lineáris algebrai könyvtárakat (pl. LAPACK, NumPy, Eigen), amelyek pivotálással végzik az LU-felbontást és pontos eredményt adnak nagyobb mátrixoknál is.

Példa

Vegyünk egy egyszerű 2×2-es mátrixot: A = [[2, 3], [1, 4]]. Ekkor det(A) = 2·4 − 3·1 = 8 − 3 = 5. Mivel det(A) ≠ 0, A invertálható.

Összefoglalás

A determináns egy skalár, amely fontos információkat ad a mátrixról: invertálhatóság, térfogatskálázás, orientáció.
Kis méretekben (2×2, 3×3) egyszerű képletek állnak rendelkezésre, nagyobb méretekben pedig LU-dekompozícióval vagy Gauss-eliminációval célszerű számolni.
Gyakorlati számításnál érdemes megbízható numerikus könyvtárakat és pivotálást használni a stabil eredményért.

Értelmezés

Többféleképpen is megérthetjük, hogy mit mond a determináns a mátrixról.

Geometriai értelmezés

Egy n × n {\displaystyle n\times n} $n\times n$ mátrix úgy tekinthető, mint egy n {\displaystyle n} dimenziójú lineáris térkép leírása. Ebben az esetben a determináns megmondja, hogy ez a mátrix milyen tényezővel méretezi (növeli vagy zsugorítja) az n {\displaystyle n} -dimenziós tér egy régióját.

Például egy 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} A $2\times 2$ mátrix {\displaystyle A} $A$ , lineáris leképezésként tekintve, a 2 dimenziós térben egy négyzetet párhuzamos alakúvá változtat. A paralelogramma területe det ( A ) {\displaystyle \det(A)} $\det(A)$ kétszer akkora lesz, mint a négyzet területe.

Ugyanígy egy 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} B {\displaystyle B} $B$ $3\times 3$ mátrix, lineáris leképezésként tekintve, a háromdimenziós térben egy kockát paralelepipedává változtat. Ennek a paralelepipednek a térfogata det ( B ) {\displaystyle \det(B)} $\det(B)$ kétszer akkora lesz, mint a kocka térfogata.

A determináns lehet negatív. A lineáris térkép nyújthat és méretezhet egy térfogatot, de tükrözheti azt egy tengelyen is. Amikor ez megtörténik, a determináns előjele pozitívról negatívra, vagy negatívról pozitívra változik. A negatív determináns azt jelenti, hogy a térfogatot páratlan számú tengelyen tükrözte.

"Egyenletrendszer" értelmezés

A mátrixot úgy tekinthetjük, mint ami egy lineáris egyenletrendszert ír le. Ennek a rendszernek pontosan akkor van egyedi, nem triviális megoldása, ha a determináns nem 0. (A nem triviális azt jelenti, hogy a megoldás nem csak nullákból áll.)

Ha a determináns nulla, akkor vagy nincs egyetlen nem triviális megoldás, vagy végtelen sok van belőle.

Egy 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} $2\times 2$ mátrix [ a c b d ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&c\\\b&d\end{bmatrix}}} ${\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}$ , a determináns a parallellogramma területe. (A terület egyenlő a d - b c {\displaystyle ad-bc} $ad-bc$ .)

Szinguláris mátrixok

Egy mátrixnak pontosan akkor van inverz mátrixa, ha a determináns nem 0. Ezért a nem nulla determinánssal rendelkező mátrixot invertálhatónak nevezzük. Ha a determináns 0, akkor a mátrixot nem invertálhatónak vagy szingulárisnak nevezzük.

Geometriai szempontból úgy gondolhatunk egy szinguláris mátrixra, mint ami a paralelepipediumot párhuzamosra, vagy a párhuzamost egyenesre "lapítja". Ekkor a térfogat vagy a terület 0, és nincs az a vonalas térkép, amely visszahozná a régi alakot.

Determináns kiszámítása

A determináns kiszámításának több módja van.

Képletek kis mátrixokra

Az 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} $1\times 1$ és a 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} $2\times 2$ mátrixok esetében a képleteket megjegyezheti:

det [ a ] = a , det [ a b c d ] = a d - b c . {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\\\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc. } $\det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.$

A 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} $3\times 3$ mátrixok esetében a képlet a következő:

det [ a b c d e f g h i ] = a e i + d h c + g b f - g e c - a h f - d b i {\displaystyle {\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}} ${\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}$

A képlet megjegyzésére használhatja a Sarrus szabályt (lásd a képet).

Kofaktor bővítés

Nagyobb mátrixok esetén a determinánst nehezebb kiszámítani. Ennek egyik módja az úgynevezett kofaktortágítás.

Tegyük fel, hogy van egy n × n {\displaystyle n\times n} A {\displaystyle A} $A$ $n\times n$ mátrixunk. Először is, válasszuk ki a mátrix bármelyik sorát vagy oszlopát. Minden egyes a i j {\displaystyle a_{ij}} $a_{ij}$ számhoz {\displaystyle a_{ij}} ebben a sorban vagy oszlopban kiszámítjuk a C i j {\displaystyle C_{ij}} nevű kofaktorát. $C_{ij}$ . Ekkor det ( A ) = ∑ a i j C i j {\displaystyle \det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}}} $\det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}$ .

Egy ilyen kofaktor kiszámításához C i j {\displaystyle C_{ij}} $C_{ij}$ , töröljük az A {\displaystyle A} $A$ mátrixból az i {\displaystyle i} $i$ sort és a j {\displaystyle j} $j$ oszlopot. Így egy kisebb ( n - 1 ) × ( n - 1 ) {\displaystyle (n-1)\times (n-1)} $(n-1)\times (n-1)$ mátrixot kapunk. Ezt nevezzük M {\displaystyle M} $M$ . A kofaktor C i j {\displaystyle C_{ij}} $C_{ij}$ ekkor egyenlő ( - 1 ) i + j det ( M ) {\displaystyle (-1)^{i+j}\det(M)} $(-1)^{i+j}\det(M)$ .

Íme egy példa egy 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} $3\times 3$ mátrix bal oldali oszlopának kofaktoros kiterjesztésére:

det [ 1 3 2 2 1 1 0 3 4 ] = 1 ⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 1 3 4 ] ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) + ( 0 ⋅ ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 6 ) + 0 = − 11. {\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\\{\color {red}2}&1&1\\\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\\\\3&4\end{bmatrix}}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\\3&4\end{bmatrix}}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\\1&1\end{bmatrix}}}\right)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\\\&=-11.\end{aligned}}}} ${\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\{\color {red}2}&1&1\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\1&1\end{bmatrix}}\right)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\&=-11.\end{aligned}}$

Amint itt láthatjuk, munkát takaríthatunk meg, ha olyan sort vagy oszlopot választunk, amely sok nullát tartalmaz. Ha a i j {\displaystyle a_{ij}} $a_{ij}$ 0, akkor nem kell kiszámítanunk C i j {\displaystyle C_{ij}} $C_{ij}$ .

A 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} $3\times 3$ determináns formula a termékek összege. Ezek a szorzatok a mátrix tetejéig "körbetekeredő" átlói mentén haladnak. Ezt a trükköt Sarrus szabályának nevezik.

Kapcsolódó oldalak

Kötet

Hatósági ellenőrzés

BNF: cb11975737s (adat)
LCCN: sh85037299
NDL: 00562696

Kérdések és válaszok

K: Mi az a determináns?

V: A determináns egy skalár (egy szám), amely megmutatja, hogyan viselkedik egy négyzetmátrix.

K: Hogyan lehet kiszámítani egy mátrix determinánsát?

V: A mátrix determinánsa kiszámítható a mátrixban lévő számokból.

K: Hogyan írják fel egy mátrix determinánsát?

V: Egy mátrix determinánsát det(A) vagy |A| képletben det(A) alakban írjuk.

K: Vannak más módjai is egy mátrix determinánsának kiírására?

V: Igen, a det([a b c d]) és |[a b c d]| helyett egyszerűen írhatjuk det [a b c d] és |[a b c d]|.

K: Mit jelent, amikor azt mondjuk, hogy "skalár"?

V: A skalár egy olyan egyedi szám vagy mennyiség, amelynek van nagysága, de nincs hozzá iránya.

K: Mik azok a négyzetes mátrixok?

V: A négyzetes mátrixok olyan mátrixok, amelyeknek egyenlő számú sora és oszlopa van, például 2x2 vagy 3x3 mátrixok.

Keres