Eukleidész: Az Elemek – az ókori geometria és számelmélet alapműve

Fedezze fel Eukleidész "Elemek" című alapművét: az ókori geometria és számelmélet története, axiómák, euklideszi geometria és örök hatása.

Az Eukleidész elemei (néha: Elemek, görögül: Στοιχεῖα Stoicheia) egy nagyszabású, a geometriáról szóló matematikai könyvsorozat, amelyet az ókori görög matematikus, Eukleidész (Kr. e. 325 körül - Kr. e. 265) írt Alexandriában (Egyiptom) Kr. e. 300 körül. A sorozat 13 kötetből, vagyis szakaszból áll, és gyakran 13 fizikai könyvként (I-XIII. számozással) nyomtatták ki, nem pedig egyetlen nagy könyvként. Latinra "Euclidis Elementorum" címmel fordították le. Ez a leghíresebb matematikai szöveg az ókorból.

Eukleidész összegyűjtötte mindazt, amit a geometriáról a korában tudtak. Elemek című műve az ókori geometria fő forrása. Az Euklidészen alapuló tankönyveket a mai napig használják. A könyvben egy kis axiómakészletből indul ki (vagyis olyan dolgok csoportjából, amelyeket mindenki igaznak tart). Ezután Euklidész ezen axiómák alapján mutatja be a geometriai tárgyak és az egész számok tulajdonságait.

Az Elemek a perspektíváról, a kúpos metszetekről, a gömbi geometriáról és esetleg a kvadrikus felületekről szóló munkákat is tartalmaz. A geometria mellett a mű számelméletet is tartalmaz. Eukleidész találta ki a legnagyobb közös osztók gondolatát. Ezek szerepeltek az Elemekben. Két szám legnagyobb közös osztója az a legnagyobb szám, amely a két számot egyenletesen oszthatja.

Az Elemekben leírt geometriai rendszert sokáig egyszerűen "geometriaként" ismerték, és úgy tartották, hogy ez az egyetlen lehetséges geometria. Ma ezt a rendszert euklideszi geometriának nevezik, hogy megkülönböztessék más, úgynevezett nem euklideszi geometriáktól, amelyeket a matematikusok a 19. században fedeztek fel.

Felépítés és fő tartalmak

Az Elemek 13 könyve különböző témákat fed le, a síkgeometriától a térgeometriáig és a számelméletig. Röviden:

• I. könyv: alapfogalmak, aksiomák, alapműveletek, háromszögek, paralelogrammák, szerkesztések (például egyenlő oldalú háromszög szerkesztése, szögek felezése).
• II. könyv: geometriai algebra — algebrai azonosságok geometriai formában.
• III. könyv: kör és körrel kapcsolatos tételsorok.
• IV. könyv: szabályos sokszögek szerkesztése.
• V. könyv: a mértékek és arányok elmélete (Eudoxosz elmélete formájában).
• VI. könyv: hasonlóság és hasonló síkidomok alkalmazásai.
• VII–IX. könyvek: számelmélet alapjai: oszthatóság, prímszámok, legnagyobb közös osztó, Eukleidész algoritmusa, a prímszámok végtelenségének bizonyítása (IX. könyv).
• X. könyv: a racionális és irracionális mennyiségek osztályozása (incommensurábilis mennyiségek, a maradéktalanul irracionálisak kezelése).
• XI–XIII. könyvek: térgeometria és a Platónikus testek vizsgálata (a szabályos testek tulajdonságai).

Axiomatika és módszer

Eukleidész központi újítása nem csak a bizonyítások tartalma volt, hanem a módszer: az axiómákból és posztulátumokból deduktív úton vezetett le tételeket. Az axiómakészlet tartalmazta az úgynevezett közhelyeket (common notions) és öt posztulátumot, köztük a híres ötödik posztulátumot, az ún. párhuzamos posztulátumot. Ennek nehézsége és látszólagi kevésbé egyértelműsége évszázadokon át viták tárgya volt, és végül a 19. századi matematikai gondolkodás vezette el a nem euklideszi geometriák felfedezéséhez.

Számelmélet és algoritmusok

Az Elemek jelentős részt szentel az egész számok tulajdonságainak. Eukleidész adta meg az ismert Euklideszi algoritmust a legnagyobb közös osztó meghatározására — ez az eljárás ma is alapvető a számelméletben és a számítástudományban. A műben található továbbá az egyszerű, de elegáns bizonyítás arra, hogy a prímszámokból végtelen sok van; ez a bizonyítás klasszikus példája a matematika tiszta logikai gondolkodásának.

Fontos eredmények és példák

• Az axiomatizálás rendszere: az Elemek modellje az axiomatizált tudományos megközelítés egyik első példája.
• Euklideszi algoritmus: hatékony módszer a legnagyobb közös osztó megtalálására.
• Prímszámok végtelensége: egyszerű, elegáns bizonyítás a prímszámok megszámlálhatatlanságára.
• Geometriai szerkesztések: egyenlő oldalú háromszög, szögfelezés, középpontok és körök szerkesztése egyenesek és körző segítségével.
• Különböző típusú mennyiségek rendszerezése (racionális, irracionális), ami előkészítette a későbbi valós számok és analízis fogalmát.

Kéziratok, fordítások és történeti hatás

Az Elemek több nyelvre fordították és évszázadokon át tanították: az ókori görög kiadások után fontos arab fordítások születtek, majd a középkori Európában latinra ültették át. A reneszánsz és a kora újkor során nyomtatott kiadások terjesztették el széles körben az iskolai oktatásban. Az Elemek módszere és szerkezete nagy hatással volt a tudományos gondolkodásra: a deduktív axiomatikus stílus később, többek között a 19–20. századi matematikai alapozásoknál (például Hilbert axiómarendszere) is meghatározó maradt.

Mi maradt meg és mi változott?

Bár ma már ismerünk nem euklideszi geometriákat, és az axiómák pontosítására modern rendszerelméletek épültek, az Elemek továbbra is alapvető történeti és pedagógiai mű. Sok eredeti tételét ma is tanítják, és az Eukleidészi gondolkodásmódot — a definíciók, axiómák és logikai levezetések szigorát — mint példamutató módszert értékelik.

Hol érdemes tovább olvasni?

Azok számára, akik többet szeretnének megtudni, hasznos lehet modern kommentárokat és történeti áttekintéseket olvasni az Elemek hatásáról, a kéziratok transzlációiról és arról, hogyan alakult át a geometria a 19. századi felfedezések nyomán. Az Elemek eredeti és fordított kiadásai, valamint számos modern tankönyv részletes bemutatót adnak a benne foglalt bizonyításokról és szerkesztésekről.

Kérdések és válaszok

K: Ki írta Euklidész Elemeit?

K: Mikor íródott?

K: Mi a címe az Euklidész elemei latin fordításának?

K: Milyen témákat tárgyal a könyv?

K: Mit csinál Euklidész egy kis axiómakészlettel?

K: Mi a legnagyobb közös osztó?

K: Hogyan nevezik a mai geometriai rendszert ahhoz képest, amit az ókorban "geometriának" neveztek?

Keresés betűvel