A matematikában a szürjektív vagy onto függvény olyan f : A → B függvény, amely a következő tulajdonsággal rendelkezik: minden b elemre a kódtartományban van legalább egy olyan a elem az A tartományban, hogy f(a) = b. Formálisan: ∀b ∈ B ∃a ∈ A : f(a) = b. Más megfogalmazásban ez azt jelenti, hogy f képe (image) megegyezik a kódtartománnyal (azaz nincs a kódtartományban olyan elem, amelyre ne létezne előképe az A-ban).

Példák

  • f : R → R, f(x) = x³ — ez szürjektív, mert minden valós y esetén van valós x (nevezetesen x = y^(1/3)), amire f(x) = y.
  • f : R → R, f(x) = x² — nem szürjektív, mert nincs olyan x, amire f(x) = −1; azonban f : R → [0,∞), f(x) = x² már szürjektív a célhalmaz [0,∞) felé.
  • f(x) = eˣ, f : R → (0,∞) — ez szürjektív a célhalmaz (0,∞) felé, de nem szürjektív R-be.
  • A maradékosztályok leképezése f : Z → Z_n (mod n) szokásos definiálás szerint szürjektív: minden maradékosztálynak van előképe.
  • Konstansfüggvény: f : A → B, f(x) = b₀ — csak akkor szürjektív, ha a kódtartomány B egyetlen elemből áll (B = {b₀}).

Tulajdonságok és jellemzések

  • Képkészlet és kódtartomány: szürjektivitáskor az f képe (image, jelölve im(f) vagy f(A)) megegyezik a kódtartománnyal (B).
  • Jobb-inverz (right inverse): f szürjektív pontosan akkor, ha létezik olyan g : B → A, hogy f ∘ g = id_B. (Végtelen halmazokra a jobbinverz létezéséhez általában az axióma választása szükséges.)
  • Kompozíció: ha f : A → B és g : B → C mindkettő szürjektív, akkor a g ∘ f : A → C is szürjektív.
  • Összefüggés az injektivitással és bijektivitással: egy függvény egyszerre injektív és szürjektív pontosan akkor bijektív. A injekció (egy-egy) és a bijekció fogalmakkal szoros a kapcsolat.
  • Kardinalitás (véges halmazok): ha létezik szürjektív leképezés f : A → B véges halmazok esetén, akkor |B| ≤ |A|. Ha továbbá létezik injektív leképezés A → B, akkor |A| ≤ |B|. Kétirányú létezés (injektív és szürjektív) esetén |A| = |B|.
  • Előképek: egy b ∈ B előképei az f-nek az f⁻¹({b}) halmaz; szürjektivitás azt jelenti, hogy ezek mindegyike nemüres halmaz.
  • Grafikus szemlélet (valós függvényeknél): egy f : R → R függvényről azt mondjuk, hogy szürjektív, ha minden vízszintes egyenes y = c legalább egyszer metszi a görbét (azaz minden c-hez van x, amire f(x)=c). Ezzel ellentétben az "egy-más-ból" (injektivitás) azt igényli, hogy minden vízszintes egyenes legfeljebb egyszer metssze a grafikont.

Hogyan igazoljuk, hogy egy függvény szürjektív?

  • Adott f : A → B bizonyításához vegyünk egy tetszőleges b ∈ B és mutassuk meg konstruktívan, hogy létezik a ∈ A olyan, hogy f(a) = b. Gyakran ez egy egyenlet megoldására vezet (f(a) = b), vagy pedig elég megadni egy explicit jobbinverzt g : B → A és ellenőrizni, hogy f(g(b)) = b minden b-re.
  • Ellentmondásos módszer: feltételezzük, hogy létezik olyan b ∈ B, amelynek nincs előképe, és ebből következtetéseket vonunk le a feltételek megsértésére.

Megjegyzések

  • A "szürjektív" elnevezést és a hozzá kapcsolódó terminológiát részben a Bourbaki-csoport terjesztette; a francia sur előtag jelentése "fölött" vagy "rá", és a megnevezés arra utal, hogy a függvény "ráképez" a célhalmaz minden elemére.
  • Fontos megkülönböztetni a függvény értékkészletét (image, im(f)) és a kódtartományt (codomain): szürjektivitás esetén ezek megegyeznek, de általában a kódtartományt a függvény definiálásakor választjuk meg, míg az értékkészlet a valós leképezésből adódik.