Szürjektív (onto) függvény: definíció, példák és tulajdonságok

Szürjektív (onto) függvény: világos definíció, szemléletes példák és kulcsfontosságú tulajdonságok lépésről lépésre — intuitív magyarázatok és gyakorló feladatok egy helyen.

Szerző: Leandro Alegsa

A matematikában a szürjektív vagy onto függvény olyan f : A → B függvény, amely a következő tulajdonsággal rendelkezik: minden b elemre a kódtartományban van legalább egy olyan a elem az A tartományban, hogy f(a) = b. Formálisan: ∀b ∈ B ∃a ∈ A : f(a) = b. Más megfogalmazásban ez azt jelenti, hogy f képe (image) megegyezik a kódtartománnyal (azaz nincs a kódtartományban olyan elem, amelyre ne létezne előképe az A-ban).

Példák

  • f : R → R, f(x) = x³ — ez szürjektív, mert minden valós y esetén van valós x (nevezetesen x = y^(1/3)), amire f(x) = y.
  • f : R → R, f(x) = x² — nem szürjektív, mert nincs olyan x, amire f(x) = −1; azonban f : R → [0,∞), f(x) = x² már szürjektív a célhalmaz [0,∞) felé.
  • f(x) = eˣ, f : R → (0,∞) — ez szürjektív a célhalmaz (0,∞) felé, de nem szürjektív R-be.
  • A maradékosztályok leképezése f : Z → Z_n (mod n) szokásos definiálás szerint szürjektív: minden maradékosztálynak van előképe.
  • Konstansfüggvény: f : A → B, f(x) = b₀ — csak akkor szürjektív, ha a kódtartomány B egyetlen elemből áll (B = {b₀}).

Tulajdonságok és jellemzések

  • Képkészlet és kódtartomány: szürjektivitáskor az f képe (image, jelölve im(f) vagy f(A)) megegyezik a kódtartománnyal (B).
  • Jobb-inverz (right inverse): f szürjektív pontosan akkor, ha létezik olyan g : B → A, hogy f ∘ g = id_B. (Végtelen halmazokra a jobbinverz létezéséhez általában az axióma választása szükséges.)
  • Kompozíció: ha f : A → B és g : B → C mindkettő szürjektív, akkor a g ∘ f : A → C is szürjektív.
  • Összefüggés az injektivitással és bijektivitással: egy függvény egyszerre injektív és szürjektív pontosan akkor bijektív. A injekció (egy-egy) és a bijekció fogalmakkal szoros a kapcsolat.
  • Kardinalitás (véges halmazok): ha létezik szürjektív leképezés f : A → B véges halmazok esetén, akkor |B| ≤ |A|. Ha továbbá létezik injektív leképezés A → B, akkor |A| ≤ |B|. Kétirányú létezés (injektív és szürjektív) esetén |A| = |B|.
  • Előképek: egy b ∈ B előképei az f-nek az f⁻¹({b}) halmaz; szürjektivitás azt jelenti, hogy ezek mindegyike nemüres halmaz.
  • Grafikus szemlélet (valós függvényeknél): egy f : R → R függvényről azt mondjuk, hogy szürjektív, ha minden vízszintes egyenes y = c legalább egyszer metszi a görbét (azaz minden c-hez van x, amire f(x)=c). Ezzel ellentétben az "egy-más-ból" (injektivitás) azt igényli, hogy minden vízszintes egyenes legfeljebb egyszer metssze a grafikont.

Hogyan igazoljuk, hogy egy függvény szürjektív?

  • Adott f : A → B bizonyításához vegyünk egy tetszőleges b ∈ B és mutassuk meg konstruktívan, hogy létezik a ∈ A olyan, hogy f(a) = b. Gyakran ez egy egyenlet megoldására vezet (f(a) = b), vagy pedig elég megadni egy explicit jobbinverzt g : B → A és ellenőrizni, hogy f(g(b)) = b minden b-re.
  • Ellentmondásos módszer: feltételezzük, hogy létezik olyan b ∈ B, amelynek nincs előképe, és ebből következtetéseket vonunk le a feltételek megsértésére.

Megjegyzések

  • A "szürjektív" elnevezést és a hozzá kapcsolódó terminológiát részben a Bourbaki-csoport terjesztette; a francia sur előtag jelentése "fölött" vagy "rá", és a megnevezés arra utal, hogy a függvény "ráképez" a célhalmaz minden elemére.
  • Fontos megkülönböztetni a függvény értékkészletét (image, im(f)) és a kódtartományt (codomain): szürjektivitás esetén ezek megegyeznek, de általában a kódtartományt a függvény definiálásakor választjuk meg, míg az értékkészlet a valós leképezésből adódik.

Alapvető tulajdonságok

Hivatalosan:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} {\displaystyle f:A\rightarrow B}egy szurjektív függvény, ha ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A {\displaystyle \forall b\in B\,\,\,\exists a\in A} úgy, {\displaystyle \forall b\in B\,\,\exists a\in A}hogy f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. } {\displaystyle f(a)=b\,.}

A b {\displaystyle b}{\displaystyle b} elemet az a {\displaystyle a}a elem képének nevezzük.

  • A formális meghatározás azt jelenti: A B kódtartomány minden eleme az A tartomány legalább egy elemének a képe.

Az a {\displaystyle a}a elemet a b {\displaystyle b}{\displaystyle b} elem előképének nevezzük.

  • A formális meghatározás azt jelenti: A kódtartomány minden elemének van legalább egy előképe az A tartományban.

Az előképnek nem kell egyedinek lennie. A felső képen mind az {X}, mind az {Y} az {1} elem előképe. Csak az a fontos, hogy legalább egy előkép legyen. (Lásd még: Injektív függvény, Bijektív függvény)

Példák

Elemi függvények

Legyen f(x):ℝ→ℝ az x valós értékű argumentumának y=f(x) valós értékű függvénye. (Ez azt jelenti, hogy a bemenet és a kimenet is számok.)

  • Grafikai jelentés: Az f függvény akkor szurjekció, ha minden vízszintes egyenes legalább egy pontban metszi az f függvény grafikonját.
  • Analitikus jelentés: Az f függvény akkor surjekció, ha minden yo valós számhoz találunk legalább egy olyan xo valós számot, hogy y=fo(xo).

Az xo előkép megtalálása egy adott y-rao bármelyik kérdéssel egyenértékű:

  • Van-e megoldása az f(x)-y=0o egyenletnek? vagy
  • Van-e az f(x)-yo függvénynek gyöke?

A matematikában csak az első, második (és harmadik) fokú polinomok pontos (analitikus) gyökeit tudjuk megtalálni. Az összes többi függvény gyökerét megközelítőleg (numerikusan) találjuk meg. Ez azt jelenti, hogy a szurjektivitás formális bizonyítása ritkán közvetlen. Ezért az alábbi megbeszélések informálisak.

Példa: Egy ferde egyenes lineáris függvénye on. Vagyis y=ax+b, ahol a≠0 egy szurjekció. (Ez egyúttal injekció is, tehát bijekció).

Bizonyíték: Mivel a≠0o, megkapjuk, hogy x= (y-bo)/a. Ez azt jelenti, hogy x=o(y-bo)/a az yo előképe. Ez bizonyítja, hogy az y=ax+b függvény, ahol a≠0 egy szurjekció. (Mivel pontosan egy előkép van, ez a függvény is egy injekció).

Gyakorlati példa: y= -2x+4. Mi az y=2 előképe? Megoldás: Az ábra képmása? Itt a= -2, azaz a≠0 és a kérdés a következő: Melyik x-hez képest y=2? Helyettesítsük be y=2-t a függvénybe. Azt kapjuk, hogy x=1, azaz y(1)=2. A válasz tehát: x=1 az y=2 előképe.

Példa: A (harmadfokú) f(x)=x-3x3 köbös polinom egy szurjekció.

Megbeszélés: Az x-3x-y=03o kockaegyenletnek valós együtthatói vannak (a=13, a=02, a=-31, a=-y0o). Minden ilyen kockaegyenletnek van legalább egy valós gyöke. Mivel a polinom tartománya ℝ, ez azt jelenti, hogy van legalább egy xo előkép a tartományban. Vagyis (x0)3-3x-y=00o. Tehát a függvény egy szurjekció. (Ez a függvény azonban nem injekció. Például y=2-neko 2 előképe van: x=-1 és x=2. Valójában minden y, -2≤y≤2-nek legalább 2 előképe van).

Példa: Az f(x) = x2 kvadratikus függvény nem szurjekció. Nincs olyan x, hogy x 2= -1. Az x² tartománya [0,+∞) , azaz a nem negatív számok halmaza. (Továbbá ez a függvény nem injektálás.)

Megjegyzés: Egy nem szurjektív függvényt szurjekcióvá tehetünk, ha a tartományát a tartományának elemeire korlátozzuk. Például az új függvény, fN(x):ℝ → [0,+∞), ahol fN(x) = x2, szürjektív függvény. (Ez nem azonos egy olyan függvény restrikciójával, amely korlátozza a tartományt!)

Példa: Az f(x) = 10 xexponenciális függvény nem szurjekció. A tartománya 10x(0,+∞), azaz a pozitív számok halmaza. (Ez a függvény egy injekció.)

Szubjekció. f(x):ℝ→ℝ (és injektálás)

Szubjekció. f(x):ℝ→ℝ (nem injekció)

Nem szúrjekció. f(x):ℝ→ℝ (és nem is injekció).

Nem szurjekció. f(x):ℝ→ℝ (de injekció)

Szurjekció. f(x):(0,+∞)→ℝ (és injektálás)

Felvetés. z:ℝ²→ℝ, z=y. (Az ábrán látható, hogy a z=2 előképe az y=2 egyenes).

Egyéb példák valós értékű függvényekkel

Példa: f(x)=log(x) vagy y=log10(x) által definiált f(x)=log(x) vagy y=log(x) logaritmikus függvény f(x):(0,+∞)→ℝ egy szurjekció (és egy injekció). (Ez a 10 xinverz függvénye).

  • Egy A × B kartéziánus szorzat vetülete az egyik tényezőjére egy szurjekció.

Példa: A z=y által definiált f((x,y)):ℝ²→ℝ függvény egy szurjekció. Gráfja egy sík a 3 dimenziós térben. A zo előképe az y=zo egyenes az xy0 síkban.

  • A 3D-s játékokban a 3 dimenziós teret egy 2 dimenziós képernyőre vetítik egy szurjekcióval.

Kapcsolódó oldalak

Kérdések és válaszok

K: Mi az a szurjektív függvény a matematikában?


V: A matematikában a szurjektív függvény olyan f: A → B függvény, amelynek tulajdonsága, hogy a B kódtartomány minden b elemére legalább egy olyan a elem van az A tartományban, hogy f(a)=b.

K: Mi a jelentősége a szürjektív függvénynek a matematikában?


V: A szurjektív függvény biztosítja, hogy a kodomain egyetlen eleme sem marad leképezetlen, és hogy f tartománya és kodomainje ugyanaz a halmaz.

K: Honnan származik a szurjekció kifejezés?


V: A szurjekció kifejezést a matematikusok Nicholas Bourbaki nevű csoportja vezette be.

K: Mit jelent a sur a surjektív francia előtag jelentése?


V: A francia sur előtag jelentése: fölött vagy rá.

K: Miért választották a szurjektív kifejezést erre a fajta függvényre?


V: A szürjektív kifejezést azért választották erre a fajta függvényre, mert a szürjektív függvény a tartományát a társtartományára képezi le.

K: Ki adott ki egy könyvsorozatot a modern haladó matematikáról az 1930-as években?


V: A Nicholas Bourbaki nevű matematikuscsoport az 1930-as években könyvsorozatot adott ki a modern haladó matematikáról.

K: Mi az injekció és a bijekció a matematikában?


V: Az injekció és a bijekció a matematikában a surjekcióval rokon kifejezések. Az injekciós függvény biztosítja, hogy a tartomány két eleme ne illeszkedjen a kódtartomány ugyanazon eleméhez. A bijekciós függvény egyszerre szürjektív és injektív.


Keres
AlegsaOnline.com - 2020 / 2025 - License CC3