Szürjekció

A matematikában a szürjektív vagy onto függvény olyan f : A → B függvény, amely a következő tulajdonsággal rendelkezik. A B kódtartomány minden b elemére van legalább egy olyan a elem az A tartományban, hogy f(a)=b. Ez azt jelenti, hogy f tartománya és kodomainje ugyanaz a halmaz.

A szurjekció kifejezést és a kapcsolódó injekció és bijekció kifejezéseket a matematikusok Nicholas Bourbaki nevű csoportja vezette be. Az 1930-as években ez a matematikuscsoport egy sor könyvet adott ki a modern haladó matematikáról. A francia sur előtag jelentése "fölött" vagy "rá", és azért választották, mert egy szürjektív függvény a tartományát a társtartományára képezi le.

Alapvető tulajdonságok

Hivatalosan:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} $f:A\rightarrow B$ egy szurjektív függvény, ha ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A {\displaystyle \forall b\in B\,\,\,\exists a\in A} úgy, $\forall b\in B\,\,\exists a\in A$ hogy f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. } $f(a)=b\,.$

A b {\displaystyle b} $b$ elemet az a {\displaystyle a} elem képének nevezzük.

A formális meghatározás azt jelenti: A B kódtartomány minden eleme az A tartomány legalább egy elemének a képe.

Az a {\displaystyle a} elemet a b {\displaystyle b} $b$ elem előképének nevezzük.

A formális meghatározás azt jelenti: A kódtartomány minden elemének van legalább egy előképe az A tartományban.

Az előképnek nem kell egyedinek lennie. A felső képen mind az {X}, mind az {Y} az {1} elem előképe. Csak az a fontos, hogy legalább egy előkép legyen. (Lásd még: Injektív függvény, Bijektív függvény)

Példák

Elemi függvények

Legyen f(x):ℝ→ℝ az x valós értékű argumentumának y=f(x) valós értékű függvénye. (Ez azt jelenti, hogy a bemenet és a kimenet is számok.)

Grafikai jelentés: Az f függvény akkor szurjekció, ha minden vízszintes egyenes legalább egy pontban metszi az f függvény grafikonját.
Analitikus jelentés: Az f függvény akkor surjekció, ha minden y_o valós számhoz találunk legalább egy olyan x_o valós számot, hogy y=f_o(x_o).

Az x_o előkép megtalálása egy adott y-ra_o bármelyik kérdéssel egyenértékű:

Van-e megoldása az f(x)-y=0_o egyenletnek? vagy
Van-e az f(x)-y_o függvénynek gyöke?

A matematikában csak az első, második (és harmadik) fokú polinomok pontos (analitikus) gyökeit tudjuk megtalálni. Az összes többi függvény gyökerét megközelítőleg (numerikusan) találjuk meg. Ez azt jelenti, hogy a szurjektivitás formális bizonyítása ritkán közvetlen. Ezért az alábbi megbeszélések informálisak.

Példa: Egy ferde egyenes lineáris függvénye on. Vagyis y=ax+b, ahol a≠0 egy szurjekció. (Ez egyúttal injekció is, tehát bijekció).

Bizonyíték: Mivel a≠0_o, megkapjuk, hogy x= (y-b_o)/_a. Ez azt jelenti, hogy x=_o(y-b_o)/_a az y_o előképe. Ez bizonyítja, hogy az y=ax+b függvény, ahol a≠0 egy szurjekció. (Mivel pontosan egy előkép van, ez a függvény is egy injekció).

Gyakorlati példa: y= -2x+4. Mi az y=2 előképe? Megoldás: Az ábra képmása? Itt a= -2, azaz a≠0 és a kérdés a következő: Melyik x-hez képest y=2? Helyettesítsük be y=2-t a függvénybe. Azt kapjuk, hogy x=1, azaz y(1)=2. A válasz tehát: x=1 az y=2 előképe.

Példa: A (harmadfokú) f(x)=x-3x³ köbös polinom egy szurjekció.

Megbeszélés: Az x-3x-y=0³_o kockaegyenletnek valós együtthatói vannak (a=1₃, a=0₂, a=-3₁, a=-y_0o). Minden ilyen kockaegyenletnek van legalább egy valós gyöke. Mivel a polinom tartománya ℝ, ez azt jelenti, hogy van legalább egy x_o előkép a tartományban. Vagyis (x₀)³-3x-y=0_0o. Tehát a függvény egy szurjekció. (Ez a függvény azonban nem injekció. Például y=2-nek_o 2 előképe van: x=-1 és x=2. Valójában minden y, -2≤y≤2-nek legalább 2 előképe van).

Példa: Az f(x) = x² kvadratikus függvény nem szurjekció. Nincs olyan x, hogy x ²= -1. Az x² tartománya [0,+∞) , azaz a nem negatív számok halmaza. (Továbbá ez a függvény nem injektálás.)

Megjegyzés: Egy nem szurjektív függvényt szurjekcióvá tehetünk, ha a tartományát a tartományának elemeire korlátozzuk. Például az új függvény, f_N(x):ℝ → [0,+∞), ahol f_N(x) = x², szürjektív függvény. (Ez nem azonos egy olyan függvény restrikciójával, amely korlátozza a tartományt!)

Példa: Az f(x) = 10 ^xexponenciális függvény nem szurjekció. A tartománya 10^x(0,+∞), azaz a pozitív számok halmaza. (Ez a függvény egy injekció.)

Szubjekció. f(x):ℝ→ℝ (és injektálás)

Szubjekció. f(x):ℝ→ℝ (nem injekció)

Nem szúrjekció. f(x):ℝ→ℝ (és nem is injekció).

Nem szurjekció. f(x):ℝ→ℝ (de injekció)

Szurjekció. f(x):(0,+∞)→ℝ (és injektálás)

Felvetés. z:ℝ²→ℝ, z=y. (Az ábrán látható, hogy a z=2 előképe az y=2 egyenes).

Egyéb példák valós értékű függvényekkel

Példa: f(x)=log(x) vagy y=log₁₀(x) által definiált f(x)=log(x) vagy y=log(x) logaritmikus függvény f(x):(0,+∞)→ℝ egy szurjekció (és egy injekció). (Ez a 10 ^xinverz függvénye).

Egy A × B kartéziánus szorzat vetülete az egyik tényezőjére egy szurjekció.

Példa: A z=y által definiált f((x,y)):ℝ²→ℝ függvény egy szurjekció. Gráfja egy sík a 3 dimenziós térben. A z_o előképe az y=z_o egyenes az xy0 síkban.

A 3D-s játékokban a 3 dimenziós teret egy 2 dimenziós képernyőre vetítik egy szurjekcióval.

Kapcsolódó oldalak

Kérdések és válaszok

K: Mi az a szurjektív függvény a matematikában?

V: A matematikában a szurjektív függvény olyan f: A → B függvény, amelynek tulajdonsága, hogy a B kódtartomány minden b elemére legalább egy olyan a elem van az A tartományban, hogy f(a)=b.

K: Mi a jelentősége a szürjektív függvénynek a matematikában?

V: A szurjektív függvény biztosítja, hogy a kodomain egyetlen eleme sem marad leképezetlen, és hogy f tartománya és kodomainje ugyanaz a halmaz.

K: Honnan származik a szurjekció kifejezés?

V: A szurjekció kifejezést a matematikusok Nicholas Bourbaki nevű csoportja vezette be.

K: Mit jelent a sur a surjektív francia előtag jelentése?

V: A francia sur előtag jelentése: fölött vagy rá.

K: Miért választották a szurjektív kifejezést erre a fajta függvényre?

V: A szürjektív kifejezést azért választották erre a fajta függvényre, mert a szürjektív függvény a tartományát a társtartományára képezi le.

K: Ki adott ki egy könyvsorozatot a modern haladó matematikáról az 1930-as években?

V: A Nicholas Bourbaki nevű matematikuscsoport az 1930-as években könyvsorozatot adott ki a modern haladó matematikáról.

K: Mi az injekció és a bijekció a matematikában?

V: Az injekció és a bijekció a matematikában a surjekcióval rokon kifejezések. Az injekciós függvény biztosítja, hogy a tartomány két eleme ne illeszkedjen a kódtartomány ugyanazon eleméhez. A bijekciós függvény egyszerre szürjektív és injektív.