Injektív függvény (injekció) – definíció, tulajdonságok és példák
Injektív függvény (injekció) részletes magyarázata: definíció, fontos tulajdonságok és szemléletes példák, érthető és gyakorlati megközelítésben.
A matematikában az injektív függvény olyan f : A → B függvény, amely a következő tulajdonsággal rendelkezik. A B kódtartomány minden b elemére legfeljebb egy olyan a elem van az A tartományban, amelyre f(a)=b.
Formalizált definíció
Egy f : A → B függvény injektív akkor és csak akkor, ha tetszőleges a₁, a₂ ∈ A esetén
ha f(a₁) = f(a₂), akkor a₁ = a₂.
Ez ugyanazt jelenti, hogy különböző bemenetekhez soha nem tartozhat ugyanaz a kimenet. Más megfogalmazásban: minden b‑nek a B‑ben legfeljebb egy előképe van az A‑ban; az f(A) (a kép) pontjainak viszont pontosan egy előképe van.
Egyenértékű feltételek és fontos megállapítások
- Preimage‑feltétel: f injektív ⇔ minden b∈B esetén |{a∈A : f(a)=b}| ≤ 1.
- Fordított feltétel (balinverz): f injektív ⇔ létezik g: B → A függvény úgy, hogy g∘f = id_A (vagyis f‑nek van balinverze).
- Kompozíció: Ha f és g injektív, akkor g∘f is injektív. Ha g∘f injektív, akkor f is injektív (de g nem feltétlenül).
- Végesség esetén: Ha A és B véges halmazok és létezik injektív f: A→B, akkor |A| ≤ |B|. Ha mindkét irányban van injekció, a Cantor–Schröder–Bernstein tétel szerint létezik bijekció.
- Kép és inverzió: Egy injektív függvénynek van valódi (és egyértelmű) inverze az f(A) képre korlátozva: f^{-1}: f(A) → A.
Példák
- Injektív: f: ℝ → ℝ, f(x)=2x — minden különböző x más eredményt ad, tehát injektív.
- Nem injektív: f: ℝ → ℝ, f(x)=x² — nem injektív a teljes ℝ-en, mert például f(1)=f(−1)=1 (két különböző előkép ugyanahhoz az értékhez). Ugyanakkor f korlátozva [0,∞)-re injektív lesz.
- Diszkrét halmazokra: Legyen A={1,2,3}, B={a,b,c,d}. A→B beillesztés (például 1↦a, 2↦b, 3↦c) injektív; itt |A| ≤ |B|.
- Periodikus függvény: f(x)=sin x nem injektív ℝ-en, mert sok különböző x ad ugyanazt az értéket.
Hogyan ellenőrizzük egy függvény injektivitását?
- Algebrai módszer: Vegyük a feltételt f(a₁)=f(a₂) és próbáljuk belőle következtetni, hogy a₁=a₂. Ha ez minden esetben teljesíthető, a függvény injektív.
- Monotonitás (valós függvényeknél): Ha f folytonos és szigorúan monoton (növekvő vagy csökkenő) egy intervallumon, akkor injektív azon az intervallumon.
- Grafikus teszt: Valós függvények esetén a „horizontal line test” — ha bármely vízszintes egyenes a grafikon észlelésében legfeljebb egy metszéspontot ad, akkor a függvény injektív.
Kapcsolat a szürjekcióval és bijekcióval
Az injekció fogalmát és a kapcsolódó szurjekció és bijekció kifejezéseket Nicholas Bourbaki vezette be. Az 1930-as években ő és más matematikusok egy csoportja könyvsorozatot adott ki a modern haladó matematikáról.
Megjegyzés a szóhasználatról: Az injektív függvényt gyakran nevezik 1‑1 (one‑to‑one) függvénynek. Ugyanakkor a „1‑1 megfeleltetés” kifejezést sokszor a bijekcióra használják (ami egyszerre injektív és szürjektív), ezért ez zavaró lehet — legyünk óvatosak a terminológiával.
Gyakorlati megjegyzések és alkalmazások
- Informatika: Adatok kódolásánál és hash‑függvényeknél fontos, hogy leképezések lehetőleg injektívek legyenek az ütközések elkerülésére (bár teljes injektivitás sokszor nem lehetséges korlátozott kódtérben).
- Matematika, algebra: Homomorfizmusoknál az injektivitás azt jelenti, hogy a struktúra nem vesz el információt; csoport‑ vagy vektor‑beágyazások fontos példák.
Röviden: az injektív függvény biztosítja, hogy különböző bemenetek különböző kimenetekhez vezetnek, és ez sok területen alapvető tulajdonság a leképezések vizsgálatában és alkalmazásában.
Alapvető tulajdonságok
Hivatalosan:
f : A → B {\displaystyle f:B}
egy injektív függvény, ha ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , a 1 ≠ a 2 ⇒ f ( a 1 ) ≠ f ( a 2 ) {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\,\Rightarrow \,\,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})}
vagy egyenértékűen.
f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} egy injektív függvény, ha ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⇒ a 1 = a 2 {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\,\Rightarrow \,\,\,a_{1}=a_{2}}} 
Az a {\displaystyle a}
elemet a b {\displaystyle b}
elem előképének nevezzük, ha f ( a ) = b {\displaystyle f(a)=b}
. Az injekcióknak B minden b elemére van egy vagy nincs előképe.
Cardinality
A kardinalitás a halmaz elemeinek száma. Az A={X,Y,Z,W} kardinalitása 4. Írjuk #A=4.
- Ha a kódtartomány kardinalitása kisebb, mint a tartomány kardinalitása, akkor a függvény nem lehet injekció. (Például nem lehet 6 elemet 5 elemre leképezni duplikáció nélkül.)
Példák
Elemi függvények
Legyen f(x):ℝ→ℝ az x valós értékű argumentumának y=f(x) valós értékű függvénye. (Ez azt jelenti, hogy a bemenet és a kimenet is valós számok.)
- Grafikai jelentés: Az f függvény injekció, ha minden vízszintes egyenes legfeljebb egy pontban metszi az f függvény grafikonját.
- Algebrai jelentés: Az f függvény injekció, ha f(xo )=f(x1 ) azt jelenti, hogy xo =x .1
Példa: Egy ferde egyenes lineáris függvénye 1-1. Vagyis y=ax+b, ahol a≠0 egy injektor. (Ez egyben szurjekció és így bijekció is.)
Bizonyíték: Legyen xo és x1 valós számok. Tegyük fel, hogy az egyenes ezt a két x-értéket ugyanarra az y-értékre képezi le. Ez azt jelenti, hogy a-xo +b=a-x1 +b. Vonjuk ki b-t mindkét oldalból. Azt kapjuk, hogy a-xo =a-x1 . Most osszuk el mindkét oldalt a-val (emlékezzünk a≠0-ra). Megkapjuk xo =x1 . Tehát bebizonyítottuk a formális definíciót és az y=ax+b függvényt, ahol a≠0 egy injekció.
Példa: A harmadfokú polinomfüggvény: f(x)=x3 egy injekció. A harmadfokú polinomfüggvény: f(x)=x3 -3x azonban nem injekció.
1. vita: Bármely vízszintes vonal metszi a következő grafikonját
f(x)=x3 pontosan egyszer. (Továbbá ez egy szurjekció.)
Megbeszélés 2. Az y=-2 és y=2 közötti bármelyik vízszintes egyenes három pontban metszi a grafikont, így ez a függvény nem injektor. (Viszont szurjekció.)
Példa: A kvadratikus függvény f(x) = x2 nem injekció.
Megbeszélés: Bármely vízszintes y=c egyenes, ahol c>0, két pontban metszi a grafikont. Tehát ez a függvény nem injektálás. (Továbbá nem is szurjekció.)
Megjegyzés: Egy nem injektív függvényt injektív függvénnyé alakíthatunk a tartomány egy részének kiiktatásával. Ezt nevezzük a tartomány korlátozásának. Például korlátozzuk az f(x)=x² függvény tartományát nemnegatív számokra (pozitív számok és nulla). Definiáljuk a címet.
f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R} }
ahol f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) = x 2 {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}} 
Ez a funkció most egy injekció. (Lásd még egy függvény korlátozása.)
Példa: Az f(x) = 10 xexponenciális függvény egy injekció. (Ez azonban nem szurjekció.)
Megbeszélés: Bármely vízszintes vonal legfeljebb egy pontban metszi a grafikont. Az y=c vízszintes egyenesek, ahol c>0, pontosan egy pontban metszik. Az y=c vízszintes egyenesek, ahol c≤0, egyetlen pontban sem vágják a grafikont.
Megjegyzés: Az a tény, hogy az exponenciális függvény injektív, felhasználható a számítások során.
a x 0 = a x 1 ⇒ x 0 = x 1 , a > 0 {\displaystyle a^{x_{0}}=a^{x_{1}}\,\,\,\Rightarrow \,\,x_{0}=x_{1},\,a>0} 
Példa: 100 = 10 x - 3 ⇒ 2 = x - 3 ⇒ x = 5 {\displaystyle 100=10^{x-3}\,\,\,\Rightarrow \,\,2=x-3\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,x=5} 
| Injektálás: egyetlen vízszintes vonal sem metszi a grafikon egynél több pontját. | ||
|
Injekció. f(x):ℝ→ℝ (és szurjekció) |
Injekció. f(x):ℝ→ℝ (és szurjekció) |
Nem injekció. f(x):ℝ→ℝ (szurjekció) |
|
Nem injekció. f(x):ℝ→ℝ (nem surjekció) |
Injekció. f(x):ℝ→ℝ (nem surjekció) |
Injekció. f(x):(0,+∞)→ℝ (és szurjekció) |
Egyéb példák
Példa: f(x)=log(x) vagy y=log10 (x) által definiált f(x)=log(x) vagy y=log (x) logaritmikus függvény f(x):(0,+∞)→ℝ egy injekció (és egy surjekció). (Ez a 10 xinverz függvénye.)
Példa: Az f:ℕ→ℕ függvény, amely minden n természetes számot 2n-re képez le, egy injekció. Minden páros számnak pontosan egy előképe van. Minden páratlan számnak nincs előképe.
Kapcsolódó oldalak
Kérdések és válaszok
K: Mi az injektív függvény a matematikában?
V: Az injektív függvény olyan f: A → B függvény, amelynek tulajdonsága, hogy a tartomány különböző elemei a kódtartomány különböző elemeire illeszkednek.
K: Milyen kapcsolat van egy injektív függvény tartományának és kodomainjának elemei között?
V: A B kódtartomány minden b elemére az A tartományban legfeljebb egy olyan a elem van, hogy f(a)=b.
K: Ki vezette be az injekció, a surjekció és a bijekció fogalmát?
V: Nicholas Bourbaki és más matematikusok egy csoportja vezette be az injekció, a szúrjekció és a bijekció fogalmát.
K: Mit jelent az injektív függvény?
V: Az injektív függvény azt jelenti, hogy az A tartomány minden egyes eleme a B kódtartomány egy egyedi elemére illeszkedik.
K: Miben különbözik az injektív függvény az 1-1 megfeleltetéstől?
V: Az injektív függvényt gyakran nevezik 1-1 (egy az egyhez) függvénynek, de megkülönböztetjük az 1-1 megfeleltetéstől, amely bijektív függvény (egyszerre injektív és szürjektív).
K: Mi az injektív függvény tulajdonsága?
V: Az injektív függvény tulajdonsága az, hogy a tartomány különböző elemei a kodomain különböző elemeire illeszkednek.
K: Mi a jelentősége az injektív függvényeknek a matematikában?
V: Az injektív függvények fontos szerepet játszanak számos matematikai területen, többek között a topológiában, az analízisben és az algebrában, mivel a tartomány különböző elemei a kodomain különböző elemeire illeszkednek.
Keres