Bijekció – definíció, 1‑1 megfeleltetés, injekció és szurjekció

Bijekció – tiszta magyarázat: definíció, 1‑1 megfeleltetés példákkal, injekció és szurjekció összehasonlítása, történeti háttér és felismerési tippek.

Szerző: Leandro Alegsa

A matematikában a bijektív függvény vagy bijekció olyan f : A → B függvény, amely egyszerre injekció és szurjekció. Ez azt jelenti: a B kódtartomány minden b elemére pontosan egy olyan a elem van az A tartományban, amelyre f(a)=b. A bijekció másik neve 1-1 megfeleltetés.

A bijekció és a kapcsolódó szurjekció és injekció fogalmát Nicholas Bourbaki vezette be. Az 1930-as években ő és más matematikusok egy csoportja könyvsorozatot adott ki a modern haladó matematikáról.

Alapfogalmak röviden

  • Injekció (egy‑egyértelmű): ha f(a1)=f(a2) akkor a1=a2 minden a1,a2∈A esetén. Másképp: két különböző a elem nem küldhető ugyanarra az értékre.
  • Szürjekció (onto): minden b∈B-hez létezik legalább egy a∈A úgy, hogy f(a)=b.
  • Bijekció: egyszerre injektív és szurjektív, tehát minden b-nek pontosan egy előképe van.

Példák

  • Véges halmazok: f:{1,2,3}→{a,b,c} legyen f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c. Ez bijekció — minden elemhez pontosan egy előkép tartozik.
  • Lineáris függvények: f(x)=ax+b, ahol a≠0, mint függvény R→R, bijektív (injektív és szúrjektív egyaránt).
  • Exponenciális: exp: R→(0,∞) bijektív (injektív és mindkét irányban lefedi a célhalmazt). Ezzel szemben sin: R→[-1,1] nem injektív, mert periodikus.
  • Permutációk: egy n elemű halmazon vett bijekciók pontosan az n! különböző permutációt adják.

Tulajdonságok és fontos állítások

  • Ha f:A→B bijektív, akkor létezik egy egyértelmű inverze g:B→A, amire g(f(a))=a minden a∈A‑ra és f(g(b))=b minden b∈B‑re. Az inverz is bijektív.
  • Két bijektív függvény összecomposition-ja is bijektív: ha f:A→B és g:B→C bijektív, akkor g∘f:A→C bijektív, és (g∘f)^{-1}=f^{-1}∘g^{-1}.
  • Bijektív kapcsolat fennállása két halmaz közt azt jelenti, hogy a halmazoknak ugyanaz a síkhalmazbeli „méretük” (kardinálisságuk). Véges halmazoknál ez egyszerűen azt jelenti, hogy ugyanannyi elemük van.
  • Jobb- és baloldali inverz: f‑nek létezhet baloldali inverze ⇔ f injektív; jobboldali inverze ⇔ f szurjektív. Mindkét oldalú inverz létezése ⇔ f bijektív.

Hogyan ellenőrizzük, hogy egy függvény bijektív-e?

  • Matematikai bizonyítással: külön mutatjuk az injektivitást és a szurjektivitást.
  • Injektivitás tesztelése: feltételezzük, hogy f(a1)=f(a2) és megmutatjuk, hogy ebből a1=a2 következik.
  • Szurjektivitás tesztelése: vegyünk tetszőleges b∈B‑t, és konstruáljunk vagy találjunk egy a∈A‑t, amelyre f(a)=b.
  • Ha A és B véges és |A|≠|B|, akkor nem létezhet bijekció A és B között; ha |A|=|B| és f injektív (vagy szurjektív), akkor automatikusan bijektív is.

Gyakorlati megjegyzések és alkalmazások

  • Bijekciók fontosak a kódolásban és titkosításban, mivel egyértelműen visszafordítható leképezéseket adnak.
  • Kombinatorikában és számlálásnál a bijekciók segítenek két halmaz elemeinek megfeleltetésében, így kardinálisság bizonyításában.
  • Analízisben és algebrai struktúrákban a strukturális izomorfizmusok (például csoportizomorfizmusok) gyakran bijekciók, mert megőrzik a műveleti szerkezetet és visszafordíthatóak.

Összefoglalás

A bijekció tehát olyan leképezés, amely mindkét irányban egyértelmű megfeleltetést ad: nincs „elveszett” elem a célhalmazban (szurjektív) és nincs „ütközés” az előképek között (injektív). A bijektív függvények kulcsfontosságúak a matematikai struktúrák összehasonlításában, valamint gyakorlati területeken, ahol visszafordítható kapcsolat szükséges.

Alapvető tulajdonságok

Hivatalosan:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B}{\displaystyle f:A\rightarrow B} bijektív függvény, ha ∀ b ∈ B {\displaystyle \forall b\in B}{\displaystyle \forall b\in B} van egy olyan egyedi a ∈ A {\displaystyle a\in A}{\displaystyle a\in A} , hogy f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. } {\displaystyle f(a)=b\,.}

A b {\displaystyle b}{\displaystyle b} elemet az a {\displaystyle a}a elem képének nevezzük.

  • A formális meghatározás azt jelenti: A B kódtartomány minden eleme az A tartomány pontosan egy elemének a képe.

Az a {\displaystyle a}a elemet a b {\displaystyle b}{\displaystyle b} elem előképének nevezzük.

  • A formális meghatározás azt jelenti: A B kódtartomány minden elemének pontosan egy előképe van az A tartományban.

Megjegyzés: A surjekció legalább egy előképet jelent. Az injektálás maximum egy előképet jelent. A bijekció tehát pontosan egy előképet jelent.

Cardinality

A kardinalitás a halmaz elemeinek száma. Az A={X,Y,Z,W} kardinalitása 4. Írjuk #A=4.

  • Meghatározás: Két A és B halmaznak ugyanaz a kardinalitása, ha a halmazok között bijekció van. Tehát #A=#B azt jelenti, hogy van bijekció A és B között.

Bijektionok és inverz függvények

  • A bijekciók a nyilak megfordításával megfordíthatók. Az új függvényt inverz függvénynek nevezzük.

Hivatalosan: Legyen f : A → B egy bijekció. A g : B → A inverz függvényt a következőképpen definiáljuk: ha f(a)=b, akkor g(b)=a. (Lásd még Inverz függvény.)

  • Az inverz függvény inverz függvénye az eredeti függvény.
  • Egy függvénynek akkor és csak akkor van inverz függvénye, ha bijekció.

Megjegyzés: Az f inverz függvényének jelölése zavaró. Nevezetesen,

  f - 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)}{\displaystyle f^{-1}(x)} az f függvény inverz függvényét jelöli, de x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}{\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}} az x szám reciprok értékét jelöli.

Példák

Elemi függvények

Legyen f(x):ℝ→ℝ az x valós értékű argumentumának y=f(x) valós értékű függvénye. (Ez azt jelenti, hogy mind a bemenet, mind a kimenet számok.)

  • Grafikai jelentés: Az f függvény bijekció, ha minden vízszintes egyenes pontosan egy pontban metszi az f függvény grafikonját.
  • Algebrai jelentés: Az f függvény bijekció, ha minden yo valós számhoz találunk legalább egy olyan xo valós számot, hogy yo =f(xo ) és ha f(xo )=f(x1 ) azt jelenti, hogy xo =x .1

Egy függvény bijekció voltának bizonyítása azt jelenti, hogy bebizonyítjuk, hogy egyszerre szurjekció és injekció. A formális bizonyítás tehát ritkán egyszerű. Az alábbiakban tárgyaljuk és nem bizonyítjuk. (Lásd szurjekció és injekció.)

Példa: Egy ferde egyenes lineáris függvénye bijekció. Vagyis y=ax+b, ahol a≠0 egy bijekció.

Megbeszélés: Minden vízszintes egyenes pontosan egy pontban metszi a ferde egyenest (a bizonyításért lásd a surjekciót és az injekciót). 1. kép.

Példa: A harmadfokú polinomfüggvény: f(x)=x3 egy bijekció. A 2. kép és az 5. kép vékony sárga görbéje. Inverze a kockagyök függvény f(x)= ∛x és ez is egy bijekció f(x):ℝ→ℝ. Az 5. kép: vastag zöld görbe.

Példa: A kvadratikus függvény f(x) = x2 nem bijekció (ℝ→ℝ-ból). 3. kép. Nem szurjekció. Nem injekció. Azonban mind a tartományát, mind a kodomainját a nemnegatív számok (0,+∞) halmazára korlátozhatjuk, így (invertálható) bijekciót kapunk (lásd a példákat alább).

Megjegyzés: Ez az utolsó példa ezt mutatja. Ahhoz, hogy megállapítsuk, hogy egy függvény bijekció-e, három dolgot kell tudnunk:

  • a tartomány
  • a funkcionális gép
  • a kódtartomány

Példa: Tegyük fel, hogy a függvénygépünk f(x)=x².

  • Ez a gép és a domain=ℝ és codomain=ℝ nem surjekció és nem injekció. Azonban,
  • ugyanez a gép, valamint domain=[0,+∞) és codomain=[0,+∞) egyszerre surjekció és injekció, tehát bijekció.

Bijektívák és inverzeik

Legyen f(x):A→B, ahol A és B ℝ részhalmazai.

  • Tegyük fel, hogy f nem bijekció. Bármely x esetén, ahol az f deriváltja létezik és nem nulla, van x-nek egy olyan környezete, ahol az f tartományát és társtartományát korlátozni tudjuk, hogy az egy felező legyen.
  • Az inverz függvények grafikonjai az y=x egyenesre szimmetrikusak. (Lásd még Inverz függvény.)

Példa: A [0,+∞] korlátozott tartományon és társtartományon definiált kvadratikus függvény.

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )}{\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )} definiált f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} {\displaystyle f(x)=x^{2}}

egy bijekció. 6. kép: vékony sárga görbe.

Példa: A [0,+∞] korlátozott tartományon és társtartományon definiált négyzetgyökfüggvény.

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )}{\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )} definiált f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}} {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}

a kvadratikus függvény inverz függvényeként definiált bijekció: x2 . 6. kép: vastag zöld görbe.

Példa: A ℝ tartományban és a (0,+∞) korlátozott kódtartományban definiált exponenciális függvény.

f ( x ) : R → ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):\mathbf {R} \,\,\,\rightarrow \,\,(0,+\infty )}{\displaystyle f(x):\mathbf {R} \,\,\rightarrow \,\,(0,+\infty )} definíciója: f ( x ) = a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=a^{x}\,,\,\,\,\,a>1} {\displaystyle f(x)=a^{x}\,,\,\,a>1}

egy bijekció. 4. kép: vékony sárga görbe (a=10).

Példa: A (0,+∞) korlátozott tartományban és a ℝ kódtartományban definiált a logaritmikus függvény bázisa.

f ( x ) : ( 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f(x):(0,+\infty )\,\,\,\rightarrow \,\,\,\,\mathbf {R} }{\displaystyle f(x):(0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,\mathbf {R} } definíciója: f ( x ) = log a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=\log _{a}x\,,\,\,\,a>1} {\displaystyle f(x)=\log _{a}x\,,\,\,a>1}

az exponenciális függvény inverz függvényeként meghatározott bijekció: ax . 4. kép: vastag zöld görbe (a=10).

Bijekció: minden függőleges egyenes (a tartományban) és minden vízszintes egyenes (a társtartományban) pontosan a gráf egy pontját metszi.

1. Bijekció. Minden ferde egyenes f(x):ℝ→ℝ bijekció.

2. Bijekció. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³.

3. Nem bijekció. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x² nem szurjekció. Nem injekció.

4. Bijelentések. f(x):ℝ→ (0,+∞). f(x)=10x (vékony sárga) és inverze f(x):(0,+∞)→ℝ. f(x)=log10 x (vastag zöld).

5. Bijektívek. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³ (vékony sárga) és inverze f(x)=∛x (vastag zöld).

6. Bijektívek. f(x):[0,+∞)→[0,+∞). f(x)=x² (vékony sárga) és inverze f(x)=√x (vastag zöld).

Kapcsolódó oldalak

Kérdések és válaszok

K: Mi az a bijektív függvény?


V: A bijektív függvény, más néven bijekció, olyan matematikai függvény, amely egyszerre injekció és szurjekció.

K: Mit jelent az, hogy egy függvény injekció?


V: Az injekció azt jelenti, hogy az A tartomány bármely két a és a' eleme esetén, ha f(a)=f(a'), akkor a=a'.

K: Mit jelent az, hogy egy függvény szurjekció?


V: A surjekció azt jelenti, hogy a B kódtartomány minden b elemére az A tartományban legalább egy olyan a elem van, hogy f(a)=b.

K: Mi az egyenértékű állítás egy bijekcióra?


V: A bijekció ekvivalens állítása az, hogy a B kódtartomány minden b elemére az A tartományban pontosan egy olyan a elem van, hogy f(a)=b.

K: Mi a bijekció másik neve?


V: A bijekciót "1-1 megfeleltetésnek" vagy "egy az egyhez megfeleltetésnek" is nevezik.

K: Ki vezette be a bijekció, a surjekció és az injekció fogalmát?


V: A bijekció, szurjekció és injekció kifejezéseket Nicolas Bourbaki és más matematikusok egy csoportja vezette be az 1930-as években.

K: Mit publikált Bourbaki és más matematikusok az 1930-as években?


V: Bourbaki és más matematikusok könyvsorozatot adtak ki a modern haladó matematikáról.


Keres
AlegsaOnline.com - 2020 / 2025 - License CC3