Véletlen: definíció, példák és matematikai alkalmazások

Ismerd meg a véletlen matematikai definícióját, szemléletes példákat és gyakorlati alkalmazásokat a valószínűségelméletben.

A véletlen egy matematikában (és kevésbé formálisan) használt kifejezés, amely azt jelenti, hogy nincs mód arra, hogy megbízhatóan megjósoljunk egy eredményt (hogy tudjuk, mi fog történni, mielőtt megtörténik), vagy hogy érzékeljünk egy mintát. Valamit, amit véletlenszerűen választanak ki, nem tudatos okból választanak ki, és ezért úgy gondolják, hogy pusztán a véletlen műve. Egy konkrét példája a véletlen eseményre a lottónyeremény, ahol egy adott számkombináció kihúzása előre nem látható.

Matematikai értelemben

A matematikában a véletlen fogalmát pontosabban a valószínűségelmélet kezeli. Itt a véletlent nem egyszerűen "nem tudjuk", hanem egy modellt használunk arra, hogy számszerűsítsük az események várható gyakoriságát. Alapfogalmak:

• Véletlen változó: egy kísérlet kimenetelét számmal kifejező mennyiség (például dobókocka-érték).
• Eloszlás: megadja, hogy a véletlen változó milyen valószínűséggel vesz fel egy-egy értéket.
• Függetlenség: két esemény független, ha egy esemény bekövetkezése nem változtatja meg a másik bekövetkezésének valószínűségét.
• Várható érték és szórás: a véletlen változó "középértékét" és szétszóródását mérő jellemzők.

Fontos törvények: a nagy számok törvénye szerint sok ismétlés átlagolt eredménye közelít a várt értékhez, a központi hatványtétel pedig megmutatja, hogy sok független, hasonló eloszlású véletlen összegének eloszlása közelít a normális (Gauss-) eloszláshoz.

Számítógépek és látszólagos véletlenség

A számítógép képes látszólag véletlenszerű számok listáit összeállítani. Ezek a számok gyakran pseudovéletlenek (PRNG — pseudorandom number generator): determinisztikus algoritmusokból származnak, amelyek megfelelően előkészített inicializáló érték (seed) hatására hosszú, látszólag kiszámíthatatlan sorozatot adnak. A valódi, nem-determinisztikus véletlenség (TRNG) viszont fizikai folyamatok — pl. kvantumjelenségek, termikus zaj — méréséből származik.

Az emberi agy nem ideális véletlenségforrás: az agya sémák szerint működik, ezért emberi generálású "véletlen" sorozatokban gyakran találhatók minták. Ha valakit arra kérnek, hogy véletlenszerűen mondja ki a "fej" vagy "írás" szót, egy okos emberi megfigyelő vagy egy megfelelően programozott számítógép végül képes lehet megmondani, hogy az illető valószínűleg melyiket fogja legközelebb mondani, mert a számítógép észreveszi a mintákat.

Gyakorlati alkalmazások

A véletlen és a véletlenszerűség számos területen alapvető:

• Kryptográfia: biztonságos kulcsok és nonce-ok előállításához erős véletlenségre van szükség.
• Monte Carlo szimulációk: bonyolult rendszerek numerikus közelítése véletlen mintavétel segítségével.
• Játékok és sorsolások: igazságos véletlenszerűséget igényel a tisztességes eredményhez (pl. lottónyeremény).
• Statisztika és mintavétel: reprezentatív minták kiválasztása véletlenszerű módszerekkel biztosítja az eredmények megbízhatóságát.
• Randomizált algoritmusok: számítástudományban a véletlen gyorsabb vagy egyszerűbb megoldásokat tesz lehetővé bizonyos feladatokra.

Webes példa és laza használat

Egy olyan weboldalon, mint például az angol Wikipédia, a felhasználó a "Random page" (Véletlenszerű oldal) gombra kattintva egy véletlenszerű cikket kaphat. Bármelyik oldal megjelenésének esélye úgy van beállítva, hogy pontosan ugyanolyan legyen, mint bármelyik másik oldalé — ez egy egyszerű példája a programozott véletlenszerűségnek a gyakorlatban.

Néha a "véletlenszerű" szót lazábban használják. Vannak random vicceket tartalmazó weboldalak, ami csak annyit jelent: sokféle vicc mindenféle dologról. Az utóbbi években a fiatalok még lazábban használják a "véletlen" szót minden olyan dologra, ami meglehetősen furcsa vagy logikátlan. Az olyan mondatokat, mint "a penészes sajt kiszökik" vagy "szeretem a pitét és a spam-et", lehet "véletlenszerűnek" nevezni, bár ez nem a szó megfelelő szótári vagy matematikai jelentése.

Hogyan mérjük és ellenőrizzük a véletlenséget?

A gyakorlatban fontos megítélni, hogy egy sorozat mennyire "jó" véletlenség. Ezt különböző statisztikai tesztekkel vizsgálják (pl. frekvencia-tesztek, futás-tesztek, autokorrelációs tesztek). Léteznek komplexebb tesztcsomagok is (például Diehard, NIST tesztek), amelyeket PRNG-k és TRNG-k értékelésére használnak. A véletlenség mérésének központi fogalma a entropia, amely a bizonytalanság mennyiségét kvantifikálja.

Összefoglalás

A "véletlen" szó egyszerre tudományos fogalom és hétköznapi kifejezés. Matematikai és számítástechnikai értelemben pontos definíciói és mérései vannak, fontos szerepe van a statisztikában, a titkosításban és a modellezésben. Hétköznapi használatban viszont gyakran lazább, metaforikus értelemben jelenik meg, amikor valami váratlant vagy furcsát írunk le. Érdemes megkülönböztetni a valódi, fizikai véletlent a látszólagos, algoritmikus véletlentől, és tudatosan választani a feladathoz megfelelő forrást.

Véletlen számok készítése

Egy folyamat vagy rendszer többféleképpen is tekinthető véletlenszerűnek:

1. A környezetből származó véletlenszerűség (például a Brown-mozgás, de a hardveres véletlenszám-generátorok is).
2. A kiindulási feltételekből adódó véletlenszerűség. Ezt a szempontot a káoszelmélet vizsgálja. Olyan rendszerekben figyelhető meg, amelyek nagymértékben függnek a kiindulási feltételek különbségeitől. Ilyen rendszer például a pachinko vagy a kocka.
3. Maga a rendszer által generált véletlenszerűség. Ezt pszeudo-véletlenszerűségnek is nevezik, és ezt a fajtát használják az álvéletlenszám-generátorok. Számos algoritmus létezik (aritmetikán vagy celluláris automatákon alapuló) pszeudo-véletlen számok előállítására. Egy ilyen rendszer viselkedése megjósolható, ha ismert a véletlen mag és az algoritmus. Ezek a módszerek gyorsabbak, mint a környezetből "valódi" véletlenszerűséget nyerni.

A véletlen számoknak számos felhasználási módja van. Az igény vezetett olyan módszerek kidolgozásához, amelyek többé-kevésbé véletlenszerű (pszeudorandom) adatokat generálnak. Ezek a módszerek különböznek abban, hogy mennyire kiszámíthatatlanok (statisztikailag véletlenszerűek), és milyen gyorsan képesek véletlen számokat generálni.

Léteznek számítási véletlenszám-generátorok, amelyek nagy mennyiségű, kellően véletlenszerű számot generálnak. Korábban pszeudo-véletlenszám-táblázatokként publikálták a táblázatokat.

A számítógépek kétféleképpen tudnak véletlenszerűnek tűnő számokat létrehozni.

• A véletlen számok előállítására különböző algoritmusok léteznek. Ez lehetővé teszi a véletlenszerűség bizonyos aspektusainak modellezését, például a generált számok eloszlását. Az így generált számok azonban mindig egy mintát követnek. Adott egy vagy néhány ilyen szám, a számítógép ki tudja számítani a következő véletlen számot. Ezért az ilyen számokat álvéletlen számoknak nevezzük.
• A valódi véletlen számok egy nem determinisztikus kísérlet megfigyelésével jönnek létre. A számot ezután a kísérlet eredménye alapján számítják ki. Egy példa lehet, hogy egy Geiger-számlálót csatlakoztatunk egy számítógéphez, hogy generáljuk a számot.

A rulettgolyó a véletlenszerűség forrásaként használható, mivel viselkedése nagyon érzékeny a kiindulási feltételekre.

Kérdések és válaszok

K: Mi a véletlen definíciója?

K: Mit jelent, ha valamit véletlenszerűen választanak ki?

K: Tud-e egy számítógép látszólag véletlenszerű számokból listákat készíteni?

K: Miért nem képesek az emberek látszólag véletlenszerű számokból álló listákat készíteni?

K: Mi a példa a véletlen eseményre?

K: Mi történik, ha valakit arra kérnek, hogy folyamatosan mondja véletlenszerűen, hogy "fej" vagy "írás"?

K: Hogyan használják jelenleg a fiatalok a "random" szót?

Keresés betűvel