Brown-mozgás: definíció, okai és Einstein magyarázata
Brown-mozgás: definíció, okai és Einstein magyarázata — történeti áttekintés, kísérleti bizonyítékok és matematikai modellek érthetően.
Brown-mozgás a részecskék látszólag véletlenszerű, állandóan változó mozgása folyadékban vagy gázban. A jelenséget a részecskéket érő, gyorsan mozgó atomok és molekulák ütközései idézik elő: a mikroszkopikus ütközések mindegyike kis impulzust ad a részecskének, és mivel ezek az ütközések rendezetlenek és folyamatosan változnak, a megfigyelt pálya látszólag véletlenszerű. A Brown-mozgást 1827-ben fedezte fel Robert Brown, a botanikus, amikor mikroszkópon keresztül vízben lebegő pollenszemek belsejében rekedt apró részecskék állandó mozgását figyelte meg; ő még nem tudta megmagyarázni a jelenség okát.
Mi okozza és hogyan függ a hőmérséklettől?
A Brown-mozgás erőssége a környezet hőmérsékletétől, a folyadék viszkozitásától és a mozgó részecske méretétől függ. Magasabb hőmérsékleten a molekulák intenzívebben mozognak, ezért gyakoribb és erősebb ütközéseket okoznak, így a részecskék mozgása is nagyobb lesz. A folyadék nagyobb viszkozitása (sűrűbb, "dúsabb" közeg) csillapítja a mozgást, a nagyobb részecske pedig kisebb átlagos sebességgel mozog azonos körülmények között.
Einstein és a diffúziós leírás
Albert Einstein 1905-ben részletes elméleti leírást adott a Brown-mozgásról: megmutatta, hogy a sok mikroszkopikus ütközés hatása statisztikailag megjósolható, és a részecskék eloszlása időben diffúziót követ. Einstein munkája kapcsolatot adott a makroszkopikus diffúziós együttható (D) és a mikroszkopikus mennyiségek között: D arányos a hőmérséklettel és fordítottan arányos a közeg viszkozitásával és a részecske méretével. Az egyszerűbb esetekben egyes alapvető kapcsolatok:
- Átlagos négyzetes elmozdulás (mean squared displacement): 1 dimenzióban <x²> = 2 D t, 3 dimenzióban <r²> = 6 D t, tehát az átlagos négyzetes elmozdulás arányos az időval.
- Einstein–Stokes-reláció (egyszerűsített alak): D = kB T / (6 π η r), ahol kB a Boltzmann-állandó, T a hőmérséklet, η a viszkozitás, r pedig a részecske sugara.
Einstein érvelése abból indult ki, hogy a sok véletlenszerű impulzus átlagos hatása statisztikailag meghatározható, így lehet következtetni az atomok és molekulák létezésére és tulajdonságaira is.
Kísérleti megerősítés és további elméletek
Einstein elméletét kísérletileg is igazolták: Jean Perrin kísérletei kimutatták a Brown-mozgás statisztikai törvényszerűségeit, és pontos méréseivel hozzájárult az Avogadro-szám meghatározásához—Perrin ezért később, 1926-ban fizikai Nobel-díjat kapott. Emellett Marian Smoluchowski is függetlenül dolgozott a jelenség statisztikai leírásán; mindkét megközelítés a statisztikai mechanika kereteiben helyezkedik el.
Matematikai modellek és sztochasztikus folyamatok
Mivel a Brown-mozgást rendkívül sok, véletlenszerű mikroszkopikus hatás hozza létre, a jelenség pontos determinisztikus modellezése lehetetlen. Ezért használhatók sztochasztikus folyamatmodellek, amelyek valószínűségi leírást adnak a részecskék viselkedésére. Egy fontos határ eset az, amikor a sok kis, független ütközés hatását egy folytonos idős folyamatként fogjuk fel: ez adja a Wiener-folyamat (matematikai Brown-mozgás) modelljét, amely a véletlen séta megfelelő skálázási határértéke (Donsker tétel) alatt jelenik meg.
A Wiener-folyamat fontos tulajdonságai: folytonos pályák (nincs ugrás), független, normális eloszlású (Gauss) inkrementumok és olyan skálafüggés, hogy a variancia időarányosan növekszik. Ezt a matematikai formalizmust jelentősen fejlesztette Norbert Wiener, aki a valószínűségtan és a funkcionál-analízis eszközeivel pontosította a modellt.
Alkalmazások és jelentőség
- Brown-mozgás megfigyelésével mérhető részecskék mérete és a közeg viszkozitása (mikrorheológia).
- Biológiai rendszerekben a molekuláris diffúzió és sejten belüli transzport modellezése.
- Matematikai pénzügyi modellekben (pl. Black–Scholes-arány) a részvényárfolyamok modellezésére használt stochasztikus folyamatok elméleti alapja.
- Általános példája annak, hogyan vezet sok kis véletlenszerű hatás determinisztikusan megjósolható statisztikai törvényekhez.
Több mint egy évszázada a Albert Einstein és a Norbert Wiener munkája tette lehetővé, hogy a Brown-mozgást mind fizikai, mind matematikai szinten pontosan leírjuk, és ezzel meggyőző bizonyítékot szolgáltattak az anyag diszkrét, atomi szerkezetére.
Történelem
A római Lucretius "A dolgok természetéről" című tudományos költeménye (Kr. e. 60 körül) a II. könyv 113-140. verseiben leírja a porszemcsék Brown-mozgását. Ezt arra használja, hogy az emberek biztosan tudjanak az atomok létezéséről:
"Figyeljük meg, mi történik, ha egy épületbe napfényt engedünk be, és kis épületfényt bocsátunk árnyékos helyein. Látni fogsz egy csomó apró részecskét, amelyek egy csomóféleképpen mozognak..."
Bár Jan Ingenhousz 1785-ben leírta a szénporszemcsék furcsa mozgását az alkohol tetején, ennek felfedezését gyakran Robert Brown botanikusnak tulajdonítják 1827-ben. Brown a Clarkia pulchella nevű növény vízben felfüggesztett pollenszemcséit vizsgálta mikroszkóp alatt, amikor megfigyelte, hogy a pollenszemcsékből kilökődő apró részecskék rázkódó mozgást végeznek. A kísérletet szervetlen anyagú részecskékkel megismételve ki tudta zárni, hogy a mozgás az élettel kapcsolatos, bár az eredete még nem volt ismert.
A Brown-mozgás mögött álló matematikát elsőként Thorvald N. Thiele írta le a legkisebb négyzetek módszeréről szóló, 1880-ban megjelent tanulmányában. Ezt követte Louis Bachelier 1900-ban "A spekuláció elmélete" című doktori értekezésében, amelyben a részvény- és opciós piacok elemzését mutatta be. A részvénypiac Brown-mozgás modelljét gyakran használják, de Benoit Mandelbrot tagadta annak alkalmazhatóságát a részvényárfolyamok mozgására.
Albert Einstein (1905-ös egyik dolgozatában) és Marian Smoluchowski (1906) hívta fel a fizikusok figyelmét a probléma megoldására, és úgy mutatta be azt, mint az atomok és molekulák létezésének közvetett igazolását. A Brown-mozgást leíró egyenleteiket Jean Baptiste Perrin 1908-ban végzett kísérleti munkájával ellenőrizték.
Jean Baptiste Perrin Les Atomes című könyvéből három, mikroszkóp alatt látható, 0,53 µm-es vonalú részecskék mozgását ábrázoló rajzolat látható. A 30 másodpercenként egymást követő pozíciókat egyenes vonalak kötik össze (a szemméret 3,2 µm).
Kérdések és válaszok
K: Mi az a barna mozgás?
V: A Brown-mozgás a részecskék véletlenszerű mozgása egy folyadékban vagy gázban, amelyet a részecskékbe csapódó, gyorsan mozgó atomok vagy molekulák okoznak.
K: Ki fedezte fel a Brown-mozgást?
V: A Brown-mozgást 1827-ben Robert Brown botanikus fedezte fel.
K: Hogyan járult hozzá Albert Einstein a Brown-mozgás megértéséhez?
V: 1905-ben Albert Einstein publikált egy tanulmányt, amelyben elmagyarázta, hogy a Robert Brown által megfigyelt mozgást a részecskéknek ütköző egyes vízmolekulák okozzák. Ez sok tudóst segített meggyőzni arról, hogy atomok és molekulák léteznek.
K: Ki igazolta kísérletileg Einstein elméletét?
V: Jean Perrin 1908-ban kísérleti úton igazolta Einstein elméletét, és az anyag szerkezetével kapcsolatos munkájáért fizikai Nobel-díjat kapott.
K: Hogyan jön létre ez a véletlenszerű mintázat?
V: Az atombombázásból származó erő iránya folyamatosan változik, ami azt eredményezi, hogy a részecske különböző oldalai különböző időpontokban érik, és látszólag véletlenszerű mozgásmintázatokat eredményez.
K: Milyen modelleket használnak ennek leírására? V: A molekuláris populációk valószínűségi modelljeit, mint amilyeneket Einstein és Smoluchowski készített, valamint sztochasztikus folyamatmodelleket használnak a leírására.
K: Ki tanulmányozta még a Brown-mozgást nagyobb matematikai pontossággal? V: Norbert Wiener is nagyobb matematikai pontossággal tanulmányozta a Brown-mozgást.
Keres