Matematikai analízis

A matematikai analízis részei

Korlátok

A matematikai elemzésre példa a határértékek. A határértékeket arra használják, hogy lássák, mi történik nagyon közel a dolgokhoz. A határokat arra is használhatjuk, hogy lássuk, mi történik, ha a dolgok nagyon nagyra nőnek. Például 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} soha nem nulla, de ahogy n egyre nagyobb lesz, 1 n {\displaystyle {\frac {\frac {1}{n}}} közel kerül a nullához. Az 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} határértéke n növekedésével nulla. Általában azt mondják: "Az 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} határértéke, ahogy n a végtelenbe megy, nulla". Ezt a következőképpen írják: lim n → ∞ 1 n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0} .

A megfelelője 2 × n {\displaystyle {2}\times {n}} lenne. . Ha az n {\displaystyle {n}} egyre nagyobb lesz, a határérték a végtelenbe megy. Ezt a következőképpen írjuk fel: lim n → ∞ 2 × n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{2}\times {n}=\infty } .

Az algebra alaptétele a komplex analízis néhány alapvető eredményéből bizonyítható. Eszerint minden valós vagy komplex együtthatójú f ( x ) {\displaystyle f(x)}  polinomnak van komplex gyöke. A gyök egy olyan x szám, amely f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} megoldást ad. Néhány ilyen gyök lehet azonos.

Differenciálszámítás

Az f ( x ) = m x + c {\displaystyle f(x)={m}{x}+{c}}} függvény egy egyenes. Az m {\displaystyle {m}} a függvény meredekségét, a c {\displaystyle {c}} pedig a függvény helyét mutatja az ordinátán. Az egyenes két pontjával kiszámítható az m {\displaystyle {m}} meredeksége:

m = y 1 - y 0 x 1 - x 0 {\displaystyle m={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}} .

Az f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} alakú függvény. , amely nem lineáris, nem számítható ki a fentiek szerint. A meredekséget csak érintő és szekánsok segítségével lehet kiszámítani. A szekáns két ponton halad át, és ha a két pont közelebb kerül egymáshoz, akkor tangenssé alakul.

Az új képlet: m = f ( x 1 ) - f ( x 0 ) x 1 - x 0 {\displaystyle m={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}} .

Ezt nevezzük különbséghányadosnak. Az x 1 {\displaystyle x_{1}} most közelebb kerül az x 0 {\displaystyle x_{0}}-hoz. . Ez a következő képlettel fejezhető ki:

f ′ ( x ) = lim x → x 0 f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0 {\displaystyle f'(x)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}} .

Az eredményt az x pontban az f deriváltjának vagy meredekségének nevezzük {\displaystyle {x}} .

Integráció

Az integráció a területek kiszámításáról szól.

A szimbólum ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}

"f integrálja a-tól b-ig", és az x-tengely, az f függvény grafikonja és az x=a és x=b egyenesek közötti területre utal. Az a {\displaystyle a} az a pont, ahol a területnek kezdődnie kell, a b {\displaystyle b} pedig az, ahol a terület véget ér.

Kapcsolódó oldalak

Néhány elemzési téma:

• Calculus
• Komplex analízis
• Funkcionális elemzés
• Numerikus elemzés

Néhány hasznos elemzési ötlet:

• Sorozat
• Sorozatok
• Származékok
• Integrálok