Hiperbola (matematika)
A hiperbola a kúpszögmetszetek egyik típusa. A másik három kúpszelvénytípushoz - a parabolához, az ellipszishez és a körhöz - hasonlóan ez is egy kúp és egy sík metszéspontja által alkotott görbe. A hiperbola akkor jön létre, amikor a sík egy kettős kúp mindkét felét metszi, két olyan görbét hozva létre, amelyek pontosan úgy néznek ki, mint egymás, de ellentétes irányban nyílnak. Ez akkor következik be, ha a kúp tengelye és a sík közötti szög kisebb, mint a kúp oldalán lévő egyenes és a sík közötti szög.
Hiperbolák sok helyen megtalálhatók a természetben. Például egy másik objektum körül nyitott pályán keringő objektum - ahová soha nem tér vissza - hiperbola alakban mozoghat. Egy napórán az árnyék csúcsa által az idő múlásával követett út egy hiperbola.
Az egyik legismertebb hiperbola az f ( x ) = 1 / x {\displaystyle f(x)=1/x}
egyenlet grafikonja.
A hiperbola egy kettős kúp mindkét felének és egy síknak a metszéspontja.
Fogalommeghatározások és egyenletek
A hiperbolát alkotó két különálló görbét karoknak vagy ágaknak nevezzük.
Azt a két pontot, ahol az ágak a legközelebb vannak egymáshoz, csúcsnak nevezzük. A két pont közötti vonalat nevezzük kereszttengelynek vagy főtengelynek. A kereszttengely középpontja a hiperbola középpontja.
A középponttól való nagy távolságban a hiperbola ágai két egyeneshez közelítenek. Ezt a két egyenest aszimptotáknak nevezzük. A középponttól való távolság növekedésével a hiperbola egyre közelebb kerül az aszimptotákhoz, de soha nem metszi azokat.
A konjugált tengely vagy melléktengely merőleges vagy derékszögben áll a keresztirányú tengelyre. A konjugált tengely végpontjai azon a magasságon vannak, ahol a csúcsot metsző és a keresztirányú tengelyre merőleges szakasz metszi az aszimptotákat.
Egy hiperbola, amelynek középpontja a kartézi koordinátarendszer origójában van, ami a (0,0) pont, és amelynek kereszttengelye az x-tengelyen van, felírható a következő egyenletre
x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1. {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}}{b^{2}}}=1.} 
a a középpont és egy csúcs közötti távolság. A keresztirányú tengely hossza egyenlő 2a-val. b a csúcspont és az aszimptota közötti merőleges vonalszakasz hossza. A konjugált tengely hossza egyenlő 2b-vel.
A fenti típusú hiperbola két ága balra és jobbra nyílik. Ha az ágak felfelé és lefelé nyílnak, és a keresztirányú tengely az y-tengelyen van, akkor a hiperbola felírható a következő egyenletre
y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1. {\displaystyle {\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}}{b^{2}}}=1.} 
Egy hiperbola grafikonja (piros görbék). Az aszimptotákat kék szaggatott vonalak mutatják. A középpontot C-vel jelöljük, a két csúcspont -a és a. A fókuszpontok F1 és F2 jelöléssel vannak jelölve.
Hiperbolikus pálya
A hiperbolikus pálya az a pálya, amelyet egy objektum követ, amikor a sebessége nagyobb, mint egy bolygó, műhold vagy csillag szökési sebessége. Ez azt jelenti, hogy a pálya excentricitása nagyobb, mint 1. Például a meteorok hiperbolikus pályán közelednek, a bolygóközi űrszondák pedig hiperbolikus pályán indulnak el.
Kérdések és válaszok
K: Mi az a hiperbola?
V: A hiperbola a kúpszelvények egy fajtája, amely egy kúp és egy sík metszéspontja által alkotott görbe. Akkor jön létre, amikor a sík egy kettős kúp mindkét felét metszi, két olyan görbét hozva létre, amelyek pontosan úgy néznek ki, mint egymás, de ellentétes irányba nyílnak.
K: Hogyan hozható létre hiperbola?
V: A hiperbola akkor jön létre, amikor a sík egy kettős kúp mindkét felét metszi, és két olyan görbét hoz létre, amelyek pontosan úgy néznek ki, mint egymás, de ellentétes irányban nyílnak. Ez akkor következik be, ha a kúp tengelye és a sík közötti szög kisebb, mint a kúp oldalán lévő egyenes és a sík közötti szög.
K: Hol találunk példákat hiperbolákra a természetben?
V: A természetben sok helyen találhatunk hiperbolákat. Például egy másik tárgy körül nyitott pályán keringő tárgy - ahová soha nem tér vissza - hiperbola alakban mozoghat. Egy napórán az árnyék csúcsa által az idő múlásával követett út szintén hiperbola alakú.
K: Milyen egyenlet írja le a hiperbola egyik jól ismert példáját?
V: A hiperbolát leíró egyik jól ismert egyenlet az f(x)=1/x .
K: Milyen más típusú kúpszögmetszetek léteznek a hiperbolán kívül?
V: A kúpszögmetszetek egyéb típusai közé tartoznak a parabolák, az ellipszisek és a körök.
K: Miben különböznek ezek a különböző típusok egymástól?
V: A parabolák U alakú görbék egy csúcsponttal; az ellipszisek ovális alakzatok két gyújtóponttal; a köröknek nincsenek csúcspontjaik vagy gyújtópontjaik; és végül a hiperbolák két különálló görbe vonal, amelyek a középpontjukból különböző szögben nyílnak kifelé.
