Az ellipszis egy olyan alakzat, amely úgy néz ki, mint egy ovális vagy lapított kör.
A geometriában az ellipszis olyan síkbeli görbe, amely egy kúp és egy sík metszéspontjából adódik úgy, hogy zárt görbét eredményez.
A körök az ellipszisek speciális esetei, amelyeket akkor kapunk, ha a vágási sík merőleges a kúp tengelyére. Az ellipszis a sík azon pontjainak a helyét is jelenti, amelyek távolsága két fix ponttól ugyanahhoz a konstanshoz adódik.
A körnek egy középpontja van, amit fókusznak nevezünk, de az ellipszisnek két fókuszpontja van.
Az ellipszis egyszerűen a grafikon minden olyan pontja, amelynél a 2 pont távolságának összege megegyezik. Egy ellipszist például úgy lehet létrehozni, hogy két tűt kartonpapírba szúrunk, és e kettő köré egy zsinórt húzunk, majd egy ceruzát teszünk a hurokba, és a lehető legmesszebbre húzzuk anélkül, hogy a zsinór minden irányban elszakadna. A bolygók pályája ellipszis, amelynek egyik fókuszában a Nap van, a másikban pedig semmi.
Az ellipszis egyenlete : ( x - h ) 2 a 2 + ( y - k ) 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}}{b^{2}}}=1}
ahol az ellipszis középpontja (h,k).
2A a hosszabbik vékonyabb oldal
mindkét végétől számított hossz. 2b a rövidebb oldal 2 végétől számított hossz. A²-B²=C², mert c a fókuszok és a középpont közötti hossz.
Definíció röviden
Formálisan az ellipszis az a síkbeli görbe, amelynek minden pontjára teljesül, hogy két adott ponttól (fókuszok) mért távolságok összege állandó: d(P,F1) + d(P,F2) = 2a, ahol 2a az ellipszis nagy tengelyének hossza. Ez a tulajdonság adja a gyakorlati "zsínór és tűk" módszer (gardener's method) alapját.
Standard (kanonikus) egyenlet
Ha az ellipszis középpontja a (h,k) pontban van és vízszintes irányú a nagy tengelye, akkor az egyenlete:
(x − h)² / a² + (y − k)² / b² = 1
Itt a és b pozitív számok; általában a ≥ b, és 2a a nagy (hosszabb) tengely teljes hossza, 2b a kis (rövidebb) tengely teljes hossza. (Ha a < b, akkor az ellipszis „függőlegesebb”, és a nagy tengely a y irányban van — ekkor a jelölést célszerű átváltani úgy, hogy a mindig a nagy fél-tengely legyen.)
Fókuszok, csúcsok, c és excentricitás
- Csúcsok (vertices): a középponttól a nagy tengely mentén távolságra: (h ± a, k) vízszintes esetén; vagy (h, k ± a) függőleges esetén.
- Fókuszok: a két fókusz távolsága a középponttól c, ahol c-t a következő kapcsolat adja: c² = a² − b². Így a fókuszok vízszintes esetén: (h ± c, k); függőleges esetén: (h, k ± c).
- Excentricitás: e = c / a. Az excentricitás 0 és 1 közötti szám, ahol e = 0 kört ad (ha a = b), és e közeledik 1-hez, az ellipszis szálasabbá válik.
Méret és terület
- Teljes tengelyhosszak: nagy tengely = 2a, kis tengely = 2b.
- Terület: A = π · a · b.
- Kerület (megközelítő): az ellipszis kerületének nincs egyszerű elemi alakja; jó közelítés Ramanujan első közelítése: P ≈ π [3(a + b) − sqrt((3a + b)(a + 3b))].
Az egyenletből a geometriai adatok meghatározása
- Ha adott az egyenlet formája (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1 és tudjuk, hogy a ≥ b, akkor: nagy fél-tengely = a, kis fél-tengely = b, c = sqrt(a² − b²), fókuszok: (h ± c, k).
- Ha az egyenlet általános másodfokú alakban van: Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0, akkor a konikus egy kis vizsgálattal eldönthető: B² − 4AC < 0 esetén a görbe (valós) ellipszis (ha egyáltalán valós pontjai vannak). A forgatott ellipszis egyenletét forgatással (koordinátatranszformációval) tudjuk kanonikus alakra hozni.
Gyakorlati példák és alkalmazások
- Gardener's construction (zsínór és tűk): A két tű kijelöli a fókuszokat; a zsinór hossza 2a; a ceruzát mozgatva az összetartó zsinór végig az ellipszist rajzolja. Ez szemlélteti a definíciót: a fókuszoktól mért távolságok összege állandó.
- Bolygómozgás: Kepler első törvénye szerint a bolygók pályája ellipszis, amelynek egyik fókuszában a Nap található.
- Műszaki és optikai alkalmazások: reflektorok, hang- és fényvisszaverő rendszerek (pl. akusztikus tükrök), ahol a fókuszok tulajdonságát használják ki.
Tippek feladatokhoz
- Ha egy adott pont P és két fókusz F1, F2 ismertek, ellenőrizd, hogy d(P,F1) + d(P,F2) = 2a teljesül-e.
- Ha kapott egyenletet kell értelmezni, először rendezd kanonikus formára (kitűzve a középpontot), majd azonosítsd a paramétereket a, b és c segítségével.
- Kerület számításnál használj Ramanujan-közelítést, ha pontos integrál nyújtása bonyolultnak bizonyul.
Ha szeretnéd, megmutatom egy konkrét példán, hogyan számoljuk ki az ellipszis fókuszait és excentricitását egy adott egyenletből — küldd el az egyenletet (vagy a paramétereket a, b, h, k értékeit) és kiszámolom!
