Euler-összefüggés

Az Euler-azonosság matematikai bizonyítása Taylor-sorozat segítségével

Sok egyenletet fel lehet írni, mint egy sor kifejezés összeadásával. Ezt Taylor-sorozatnak nevezzük

Az exponenciális függvény e x {\displaystyle e^{x}} felírható a Taylor-sorozatnak megfelelően

e x = 1 + x + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{3} \over {3!}}}+{x^{4} \over {4!}}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}}

A szinusz a következőképpen írható fel

sin x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - − x 7 7 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 {\displaystyle \sin {x}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}}}

és Cosine mint

cos x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - − x 6 6 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle \cos {x}=1-{x^{2} \felett 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}}}

Itt egy mintázatot látunk kialakulni. e x {\displaystyle e^{x}} úgy tűnik, hogy a szinusz és a koszinusz Taylor-sorozatának összege, csakhogy az összes előjel pozitívra változott. Az azonosság, amit valójában bizonyítunk, a következő: e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} .

Tehát a bal oldalon e i x {\displaystyle e^{ix}} , amelynek Taylor-sorozata 1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!} \cdots }

Itt egy mintát láthatunk, hogy minden második tag i-szeres szinuszos, a többi pedig koszinuszos.

A jobb oldalon a cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle \cos(x)+i\sin(x)} , amelynek Taylor-sorozata a koszinusz Taylor-sorozata, plusz i-szer a szinusz Taylor-sorozata, ami a következőképpen mutatható ki:

( 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! ⋯ ) + ( i x - i x 3 3 ! + i x 5 5 ! ⋯ ) {\displaystyle (1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )}

ha ezeket összeadjuk, akkor

1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!} \cdots }

Ezért:

e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)}

Ha most x helyébe π {\displaystyle \pi } lép. , akkor ...

• e i π = cos ( π ) + i sin ( π ) {\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )}

Akkor tudjuk, hogy

• cos ( π ) = - 1 {\displaystyle \cos(\pi )=-1}

és

• sin ( π ) = 0 {\displaystyle \sin(\pi )=0}

Ezért:

• e i π = 0 - 1 {\displaystyle e^{i\pi }=0-1}
• e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

QED