Imaginárius egység

Szerző: Leandro Alegsa

17-05-2021 19:28

A matematikában a képzeletbeli egységek vagy i olyan számok, amelyek egyenletekkel ábrázolhatók, de olyan értékekre utalnak, amelyek fizikailag nem létezhetnek a való életben. A képzeletbeli egység matematikai definíciója: i = - 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} $i={\sqrt {-1}}$ , amelynek tulajdonsága i × i = i 2 = - 1 {\displaystyle i\times i=i^{2}=-1} $i\times i=i^{2}=-1$ .

Az ok, amiért létrehoztam, egy polinom egyenlet megválaszolása volt, x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0} $x^{2}+1=0$ , amelynek általában nincs megoldása, mivel x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ értékének -1-nek kell lennie. Bár a probléma megoldható, a -1 négyzetgyökét a való életben semmilyen tárgy fizikai mennyiségével nem lehetne ábrázolni.

i négyzetgyöke

Néha azt feltételezik, hogy egy másik számot kell létrehozni, hogy megmutassuk az i négyzetgyökét, de erre nincs szükség. Az i négyzetgyökét a következőképpen írhatjuk fel: i = ± 2 2 ( 1 + i ) {\displaystyle {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)} ${\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$ .
Ez a következőképpen mutatható ki:

( ± 2 2 2 ( 1 + i ) ) 2 {\displaystyle \left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\}\ } $\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\$	= ( ± 2 2 ) 2 ( 1 + i ) 2 {\displaystyle =\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}}\right)^{2}(1+i)^{2}\}\ } $=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\$
	= ( ± 1 ) 2 2 4 ( 1 + i ) ( 1 + i ) {\displaystyle =(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\}}(1+i)\ } $=(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\$
	= 1 × 1 2 ( 1 + 2 i + i 2 ) ( i 2 = - 1 ) {\displaystyle =1\times {\frac {1}{2}}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\} } $=1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\$
	= 1 2 ( 2 i ) {\displaystyle ={\frac {1}{2}}(2i)\ } $={\frac {1}{2}}(2i)\$
	= i {\displaystyle =i\ } $=i\$

Az i hatványai

Az i hatalma kiszámítható mintát követ:

i - 3 = i {\displaystyle i^{-3}=i} $i^{-3}=i$

i - 2 = - 1 {\displaystyle i^{-2}=-1} $i^{-2}=-1$

i - 1 = - i {\displaystyle i^{-1}=-i} $i^{-1}=-i$

i 0 = 1 {\displaystyle i^{0}=1} $i^{0}=1$

i 1 = i {\displaystyle i^{1}=i} $i^{1}=i$

i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1} $i^{2}=-1$

i 3 = - i {\displaystyle i^{3}=-i} $i^{3}=-i$

i 4 = 1 {\displaystyle i^{4}=1} $i^{4}=1$

i 5 = i {\displaystyle i^{5}=i} $i^{5}=i$

i 6 = - 1 {\displaystyle i^{6}=-1} $i^{6}=-1$

Ez a következő mintával mutatható ki, ahol n egy tetszőleges egész szám:

i 4 n = 1 {\displaystyle i^{4n}=1} $i^{4n}=1$

i 4 n + 1 = i {\displaystyle i^{4n+1}=i} $i^{4n+1}=i$

i 4 n + 2 = - 1 {\displaystyle i^{4n+2}=-1} $i^{4n+2}=-1$

i 4 n + 3 = - i {\displaystyle i^{4n+3}=-i} $i^{4n+3}=-i$

Kapcsolódó oldalak

Kérdések és válaszok

K: Mi az a képzeletbeli egység?

V: A képzeletbeli egység olyan számérték, amely csak a valós számokon kívül létezik, és az algebrában használatos.

K: Hogyan használjuk a képzeletbeli egységet?

V: A képzeletbeli egységet megszorozzuk egy valós számmal, hogy képzeletbeli számot kapjunk.

K: Mire használják a képzeletbeli számokat?

V: A képzetes számok számos matematikai probléma megoldására használhatók.

K: Képzeletbeli számot ábrázolhatunk valós tárgyakkal?

V: Nem, egy képzeletbeli számot nem tudunk valós tárgyakkal ábrázolni.

K: Honnan származik a képzeletbeli egység?

V: A képzeletbeli egység a matematikából és az algebrából származik.

K: A képzeletbeli egység a valós számok része?

V: Nem, a valós számokon kívül létezik.

K: Hogyan lehet kiszámítani a képzeletbeli számot? V: A képzeletbeli számot úgy számítjuk ki, hogy egy valós számot megszorozunk a képzeletbeli egységgel.

Keres