Imaginárius egység (i = √−1): definíció, tulajdonságok és példa

Fedezd fel az imaginárius egység (i = √−1) definícióját, alapvető tulajdonságait és gyakorlati példáit érthetően, lépésről lépésre magyarázva.

Szerző: Leandro Alegsa

14-12-2025 15:22

A matematikában az imaginárius egység (más néven képzeletbeli egység), jelölése i, egy olyan szám, amelynek négyzete -1. Formálisan:

i = - 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} $i={\sqrt {-1}}$ , és ennek következménye, hogy i × i = i 2 = - 1 {\displaystyle i\times i=i^{2}=-1} $i\times i=i^{2}=-1$ .

Miért vezetjük be az i-t?

Az imaginárius egységet azért vezették be, hogy olyan polinom egyenletek megoldását is le tudjuk írni, amelyek valós számok között nem rendelkeznek megoldással. Például az egyenlet

x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0} $x^{2}+1=0$ ,

amelynek valós számok között nincs megoldása, mert a négyzetre emelés valós számoknál nem adhat -1-et (a x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ mindig nemnegatív valós szám, ha x valós). Az i bevezetésével az egyenlet megoldható: x = ±i.

Alapfogalmak és tulajdonságok

Komplex számok: a valós számok bővítése, minden komplex szám a+bi alakban írható fel, ahol a (valós rész) és b (imaginárius rész) valós számok.
Összeadás és szorzás: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i, (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i.
Hatványok: i hatványai periodikusak: i0=1, i1=i, i2=−1, i3=−i, i4=1 és ez ismétlődik.
Konjugált: ha z=a+bi, akkor a komplex konjugált z̄=a−bi; fontos a gyökös kifejezéseknél és hányadosoknál.
Modulus (abszolútérték): |a+bi| = sqrt(a2 + b2), ez a pont távolsága az origótól az Argand‑síkon.
Mező: a komplex számok halmaza (C) zárt az összeadásra, szorzásra, és inverzeik is léteznek (kivéve a nullát), tehát mezőt alkot.

Geometriai értelmezés

A komplex számokat a síkon pontokként értelmezhetjük: az x tengely a valós részt, az y tengely az imaginárius részt mutatja (Argand‑diagram). Így a z=a+bi pont koordinátái (a,b). A modulussal és argumentummal (szöggel) polar alakba is átírhatjuk a számokat:

z = r(cos θ + i sin θ), ahol r = |z| és θ = arg(z). Ebből adódik az Euler‑formula: e^{iθ} = cos θ + i sin θ, amely mély összefüggést teremt a trigonometria és az exponenciális függvény között.

Alkalmazások

A komplex számok és az imaginárius egység gyakorlati haszna nagy: az elektromos hálózatok (váltakozó áram), jelfeldolgozás, vezérléstechnika, kvantummechanika matematikai formalizmusa és a jelanalízis területein elengedhetetlenek. Fontos megjegyezni, hogy bár az i neve „imaginárius”, ez nem jelenti azt, hogy „használhatatlan” vagy „nem létező” — matematikai fogalomként pontos és következetes módszert ad a problémák leírására és megoldására.

Példa

Az előbb említett egyenlet megoldása:

x2 + 1 = 0 ⇒ x2 = −1 ⇒ x = ±i.

Szorzás példa: (2+3i)(1−4i) = 2·1 + 2(−4i) + 3i·1 + 3i(−4i) = 2 − 8i + 3i − 12i2 = 2 − 5i − 12(−1) = 14 − 5i.

Összefoglalva: az imaginárius egység i segít matematikailag leírni és kezelni azokat az eseteket, ahol a valós számok keretei nem elegendők; a komplex számok rendszere sok területen alapvető eszköz.

i négyzetgyöke

Néha azt feltételezik, hogy egy másik számot kell létrehozni, hogy megmutassuk az i négyzetgyökét, de erre nincs szükség. Az i négyzetgyökét a következőképpen írhatjuk fel: i = ± 2 2 ( 1 + i ) {\displaystyle {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)} ${\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$ .
Ez a következőképpen mutatható ki:

( ± 2 2 2 ( 1 + i ) ) 2 {\displaystyle \left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\}\ } $\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\$	= ( ± 2 2 ) 2 ( 1 + i ) 2 {\displaystyle =\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}}\right)^{2}(1+i)^{2}\}\ } $=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\$
	= ( ± 1 ) 2 2 4 ( 1 + i ) ( 1 + i ) {\displaystyle =(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\}}(1+i)\ } $=(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\$
	= 1 × 1 2 ( 1 + 2 i + i 2 ) ( i 2 = - 1 ) {\displaystyle =1\times {\frac {1}{2}}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\} } $=1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\$
	= 1 2 ( 2 i ) {\displaystyle ={\frac {1}{2}}(2i)\ } $={\frac {1}{2}}(2i)\$
	= i {\displaystyle =i\ } $=i\$

Az i hatványai

Az i hatalma kiszámítható mintát követ:

i - 3 = i {\displaystyle i^{-3}=i} $i^{-3}=i$

i - 2 = - 1 {\displaystyle i^{-2}=-1} $i^{-2}=-1$

i - 1 = - i {\displaystyle i^{-1}=-i} $i^{-1}=-i$

i 0 = 1 {\displaystyle i^{0}=1} $i^{0}=1$

i 1 = i {\displaystyle i^{1}=i} $i^{1}=i$

i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1} $i^{2}=-1$

i 3 = - i {\displaystyle i^{3}=-i} $i^{3}=-i$

i 4 = 1 {\displaystyle i^{4}=1} $i^{4}=1$

i 5 = i {\displaystyle i^{5}=i} $i^{5}=i$

i 6 = - 1 {\displaystyle i^{6}=-1} $i^{6}=-1$

Ez a következő mintával mutatható ki, ahol n egy tetszőleges egész szám:

i 4 n = 1 {\displaystyle i^{4n}=1} $i^{4n}=1$

i 4 n + 1 = i {\displaystyle i^{4n+1}=i} $i^{4n+1}=i$

i 4 n + 2 = - 1 {\displaystyle i^{4n+2}=-1} $i^{4n+2}=-1$

i 4 n + 3 = - i {\displaystyle i^{4n+3}=-i} $i^{4n+3}=-i$

Kapcsolódó oldalak

Kérdések és válaszok

K: Mi az a képzeletbeli egység?

V: A képzeletbeli egység olyan számérték, amely csak a valós számokon kívül létezik, és az algebrában használatos.

K: Hogyan használjuk a képzeletbeli egységet?

V: A képzeletbeli egységet megszorozzuk egy valós számmal, hogy képzeletbeli számot kapjunk.

K: Mire használják a képzeletbeli számokat?

V: A képzetes számok számos matematikai probléma megoldására használhatók.

K: Képzeletbeli számot ábrázolhatunk valós tárgyakkal?

V: Nem, egy képzeletbeli számot nem tudunk valós tárgyakkal ábrázolni.

K: Honnan származik a képzeletbeli egység?

V: A képzeletbeli egység a matematikából és az algebrából származik.

K: A képzeletbeli egység a valós számok része?

V: Nem, a valós számokon kívül létezik.

K: Hogyan lehet kiszámítani a képzeletbeli számot? V: A képzeletbeli számot úgy számítjuk ki, hogy egy valós számot megszorozunk a képzeletbeli egységgel.

Keres