A matematikában az imaginárius egység (más néven képzeletbeli egység), jelölése i, egy olyan szám, amelynek négyzete -1. Formálisan:
i = - 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} 
, és ennek következménye, hogy i × i = i 2 = - 1 {\displaystyle i\times i=i^{2}=-1}
.
Miért vezetjük be az i-t?
Az imaginárius egységet azért vezették be, hogy olyan polinom egyenletek megoldását is le tudjuk írni, amelyek valós számok között nem rendelkeznek megoldással. Például az egyenlet
x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0} 
,
amelynek valós számok között nincs megoldása, mert a négyzetre emelés valós számoknál nem adhat -1-et (a x 2 {\displaystyle x^{2}}
mindig nemnegatív valós szám, ha x valós). Az i bevezetésével az egyenlet megoldható: x = ±i.
Alapfogalmak és tulajdonságok
- Komplex számok: a valós számok bővítése, minden komplex szám a+bi alakban írható fel, ahol a (valós rész) és b (imaginárius rész) valós számok.
- Összeadás és szorzás: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i, (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i.
- Hatványok: i hatványai periodikusak: i0=1, i1=i, i2=−1, i3=−i, i4=1 és ez ismétlődik.
- Konjugált: ha z=a+bi, akkor a komplex konjugált z̄=a−bi; fontos a gyökös kifejezéseknél és hányadosoknál.
- Modulus (abszolútérték): |a+bi| = sqrt(a2 + b2), ez a pont távolsága az origótól az Argand‑síkon.
- Mező: a komplex számok halmaza (C) zárt az összeadásra, szorzásra, és inverzeik is léteznek (kivéve a nullát), tehát mezőt alkot.
Geometriai értelmezés
A komplex számokat a síkon pontokként értelmezhetjük: az x tengely a valós részt, az y tengely az imaginárius részt mutatja (Argand‑diagram). Így a z=a+bi pont koordinátái (a,b). A modulussal és argumentummal (szöggel) polar alakba is átírhatjuk a számokat:
z = r(cos θ + i sin θ), ahol r = |z| és θ = arg(z). Ebből adódik az Euler‑formula: e^{iθ} = cos θ + i sin θ, amely mély összefüggést teremt a trigonometria és az exponenciális függvény között.
Alkalmazások
A komplex számok és az imaginárius egység gyakorlati haszna nagy: az elektromos hálózatok (váltakozó áram), jelfeldolgozás, vezérléstechnika, kvantummechanika matematikai formalizmusa és a jelanalízis területein elengedhetetlenek. Fontos megjegyezni, hogy bár az i neve „imaginárius”, ez nem jelenti azt, hogy „használhatatlan” vagy „nem létező” — matematikai fogalomként pontos és következetes módszert ad a problémák leírására és megoldására.
Példa
Az előbb említett egyenlet megoldása:
x2 + 1 = 0 ⇒ x2 = −1 ⇒ x = ±i.
Szorzás példa: (2+3i)(1−4i) = 2·1 + 2(−4i) + 3i·1 + 3i(−4i) = 2 − 8i + 3i − 12i2 = 2 − 5i − 12(−1) = 14 − 5i.
Összefoglalva: az imaginárius egység i segít matematikailag leírni és kezelni azokat az eseteket, ahol a valós számok keretei nem elegendők; a komplex számok rendszere sok területen alapvető eszköz.
