Párhuzamos posztulátum
A geometriában a párhuzamossági posztulátum az euklideszi geometria egyik axiómája. Néha Eukleidész ötödik posztulátumának is nevezik, mivel ez az ötödik posztulátum Eukleidész Elemek című művében.
A posztulátum szerint:
Ha egy egyenes szakaszt két egyenessel vágunk el, és a két belső szög, amelyet a vonalak alkotnak, kisebb, mint 180°, akkor a két egyenes végül találkozni fog, ha elég hosszúra nyújtjuk őket.
A geometriának azt a területét, amely Euklidész összes axiómáját követi, euklideszi geometriának nevezzük. Azokat a geometriákat, amelyek nem követik Euklidész összes axiómáját, nem-euklideszi geometriának nevezzük.
Ha az α (alfa) és β (béta) belső szögek összege kisebb, mint 180°, akkor a két egyenes valahol metszeni fogja egymást, ha mindkettő a végtelenbe nyúlik.
Történelem
Egyes matematikusok úgy gondolták, hogy Euklidész ötödik posztulátuma sokkal hosszabb és bonyolultabb, mint a másik négy posztulátum. Sokan közülük úgy gondolták, hogy ez a többi egyszerűbb axiómából is bizonyítható. Néhány matematikus bejelentette, hogy az egyszerűbb tételekből bebizonyította a tételt, de mindannyian tévedtek.
Playfair axiómája
Egy másik, újabb keletű tétel, amelyet Playfair axiómaként ismerünk, hasonló Euklidész ötödik posztulátumához. Eszerint:
Adott egy egyenes és egy pont, amely nem ezen az egyenesen van, csak egy olyan egyenest lehet húzni ezen a ponton keresztül, amely nem találkozik a másik egyenessel.
Valójában a matematikusok rájöttek, hogy ez az axióma nemcsak hasonlít Euklidész ötödik posztulátumához, hanem pontosan ugyanazokat a következményeket vonja maga után. Matematikailag a két tételt "ekvivalens" tételeknek nevezik. Manapság Playfair axiómáját gyakrabban használják a matematikusok, mint Euklidész eredeti párhuzamos posztulátumát.
Nem-euklideszi geometria
Végül néhány matematikus megpróbált új geometriákat építeni az axióma használata nélkül. A nem-euklideszi geometria egyik fajtáját elliptikus geometriának nevezik. Az elliptikus geometriában a párhuzamos posztulátumot egy axióma helyettesíti, amely kimondja, hogy:
Adott egy egyenes és egy pont, amely nem ezen az egyenesen van, nem lehet olyan egyenest húzni ezen a ponton keresztül, amely végül nem keresztezi a másik egyenest.
A matematikusok rájöttek, hogy amikor Euklidész ötödik tételét ezzel az axiómával helyettesítették, még mindig képesek voltak bizonyítani Euklidész számos más tételét. Az elliptikus geometria elképzelésének egyik módja, ha egy földgömb felszínére gondolunk. A földgömbön a hosszúsági vonalak az egyenlítőnél párhuzamosnak tűnnek, de a sarkoknál mind találkoznak. A 19. század végén az elliptikus geometria következetesnek bizonyult. Ez bebizonyította, hogy Euklidész ötödik tételének érvényessége nem független a többi tételétől. Ezt követően a matematikusok többnyire felhagytak azzal, hogy az ötödik posztulátumot a másik négy posztulátumból próbálják bizonyítani. Ehelyett sok matematikus más geometriákat kezdett tanulmányozni, amelyek nem követik Euklidész ötödik posztulátumát.
Egy másik axióma, amellyel a matematikusok néha Euklidész ötödik axiómáját helyettesítik, így szól:
Adott egy egyenes és egy pont, amely nem ezen az egyenesen van, legalább két olyan egyenest tudsz rajzolni ezen a ponton keresztül, amely végül nem keresztezi a másik egyenest.
Ezt nevezzük hiperbolikus geometriának.
Egy másik geometria egyszerűen eltávolítja Euklidész ötödik posztulátumát, és nem helyettesíti azt semmivel. Ezt nevezik semleges geometriának vagy abszolút geometriának.
