A geometriában a párhuzamossági posztulátum az euklideszi geometria egyik alapvető axiómája. Gyakran Eukleidész ötödik posztulátumának is nevezik, mivel ez az ötödik posztulátum szerepel Eukleidész Elemek című művében. A posztulátum megfogalmazása és következményei különösen fontosak a geometria alapjai és a különböző geometriák közötti különbségek megértéséhez.

Megfogalmazás

A posztulátum egyik hagyományos megfogalmazása a következő:

Ha egy egyenes szakaszt két egyenessel vágunk el, és a két belső szög, amelyet a vonalak alkotnak, kisebb, mint 180°, akkor a két egyenes végül találkozni fog, ha elég hosszúra nyújtjuk őket.

Gyakran használják helyette a rövidebb, ekvivalens változatot, az ún. Playfair-tételt:

Adott egy egyenes és az azon kívüli egy pont; legfeljebb egy vele párhuzamos egyenes húzható ezen a ponton át.

Ekvivalens állítások és következmények

  • Playfair axiómája (fenti rövid megfogalmazás) a többi euklideszi axiómaval együtt pontosan ekvivalens Euklidész ötödik posztulátumával.
  • A posztulátum fontos következményei közé tartozik, hogy egy háromszög belső szögeinek összege 180° (egy sík háromszögeiben), valamint hogy egy egyeneshez adott ponton át pontosan egy vele párhuzamos egyenes létezik.
  • Sok gyakori geometriai tény (például a hasonlóságok általános elmélete, a trapéz és bizonyos téglalap-tulajdonságok) a párhuzamossági posztulátum használatát igényli.

Történeti és matematikai jelentőség

Eukleidész maga nem adott független bizonyítékot az ötödik posztulátumra; több száz éven át számos matematikus próbálta bebizonyítani, hogy az valóban következik az első négy posztulátumból. A 19. században azonban kiderült, hogy ez nem lehetséges: sokan, köztük Gauss, Bolyai és Lobacsevszkij, független utakat találtak a párhuzamossági posztulátumtól eltérő, de belsőleg következetes geometriák felépítésére.

Nem-euklideszi geometriák — modellek és következmények

Az ötödik posztulátum függetlenségét több modell is illusztrálja:

  • Hiperbolikus geometria (Lobacsevszkij, Bolyai): itt egy adott egyeneshez az azon kívüli pontból végtelen sok párhuzamos (azaz nem metsző) egyenes húzható; a háromszög szögeinek összege kevesebb, mint 180°.
  • Elliptikus geometria (például a gömbi geometria megfelelő átalakítása): itt nincs olyan egyenes, amely párhuzamos lenne egy adott egyenessel — minden egyenes minden másikat metszi; a háromszög szögeinek összege nagyobb, mint 180°.
  • Konkrét modelleket adtak a hiperbolikus geometriára: Beltrami, Klein és Poincaré-féle modellek megmutatták, hogy a nem-euklideszi geometriák belsőleg következetesek, ha az euklideszi geometria következetes.

Az abszolút geometria

A geometria azon része, amely csak Euklidész első négy axiómáját használja, abszolút geometriaként vagy semleges geometriaként ismert. Ebben a keretben számos tétel igaz mind az euklideszi, mind a hiperbolikus geometriában, de a párhuzamossági posztulátumra épülő állítások (például a háromszög szögösszegének pontos 180°-a) nem következnek belőle.

Összefoglalás

A párhuzamossági posztulátum (Euklidesz ötödik posztulátuma) jelenti az egyik legfontosabb választóvonalat az euklideszi és a nem-euklideszi geometriák között. Megfogalmazása, ekvivalens változatai (például Playfair axiómája), története és a belőle/lehet tőle eltérő geometriai modellek mind alapvető szerepet játszanak a geometria elméleti fejlődésében. Azokat a geometriákat, amelyek követik Euklidész összes axiómáját, továbbra is euklideszi geometriának nevezzük, míg azokat, amelyek nem követik Euklidész összes axiómáját, nem-euklideszi geometriának hívjuk.