Tétel
A tétel egy bizonyított gondolat a matematikában. A tételek bizonyítása a logika és más, már bizonyított tételek segítségével történik. Azt a tételt, amelyet valakinek be kell bizonyítania ahhoz, hogy egy másik tételt be tudjon bizonyítani, lemának nevezzük. A tételek két részből állnak, vannak hipotézisek és következtetések.
A tételek dedukciót alkalmaznak, szemben az elméletekkel, amelyek empirikusak.
Egyes tételek triviálisak, közvetlenül következnek a tételekből. Más tételeket "mélynek" nevezünk, bizonyításuk hosszú és nehézkes. Néha az ilyen bizonyítások a matematika más területeit is érintik, vagy különböző területek közötti kapcsolatokat mutatnak be. Egy tétel lehet egyszerűen megfogalmazható, mégis mély. Kiváló példa erre Fermat utolsó tétele, és számos más példa van egyszerű, mégis mély tételekre többek között a számelméletben és a kombinatorikában.
Vannak más tételek is, amelyekre ismert a bizonyítás, de nem lehet könnyen leírni. A legjobb példák közé tartozik a négy színtétel és a Kepler-féle sejtés. Mindkét tételről csak úgy tudjuk, hogy igaz, hogy egy számítógépes keresésre redukáljuk őket, amelyet aztán egy számítógépes programmal ellenőrizhetünk. Eleinte sok matematikus nem fogadta el a bizonyításnak ezt a formáját, de az utóbbi években egyre szélesebb körben elfogadottá vált. Doron Zeilberger matematikus még odáig is elment, hogy azt állította, hogy valószínűleg ezek az egyetlen nem triviális eredmények, amelyeket matematikusok valaha is bizonyítottak. Számos matematikai tétel egyszerűbb számításokra redukálható, például a polinomiális azonosságok, trigonometrikus azonosságok és a hipergeometriai azonosságok.
A Pitagorasz-tételnek legalább 370 ismert bizonyítása van.
Könyvek
- Heath, Sir Thomas Little (1897), The works of Archimedes, Dover, lekérdezve 2009-11-15
- Hoffman, P. (1998). A férfi, aki csak a számokat szerette: Paul Erdős és a matematikai igazság keresésének története. Hyperion, New York.
- Petkovsek, Marko; Wilf, Herbert; Zeilberger, Doron (1996). "A = B". A.K. Peters, Wellesley, Massachusetts. External link in
|title=(help)CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Kérdések és válaszok
K: Mi az a tétel?
A: A tétel egy olyan gondolat, amelynek igaz voltát a matematikában a logika és más, már bizonyított tételek segítségével bizonyították be.
K: Mi az a lemma?
V: A lemma egy kisebb tétel, amelyet egy nagyobb tétel bizonyításához be kell bizonyítani.
K: Hogyan állítják össze a tételeket?
V: A tételek két részből - hipotézisekből és következtetésekből - állnak, és inkább dedukciót használnak, mint empirikus elméleteket.
K: Minden tételt nehéz bizonyítani?
V: Nem, egyes tételek triviálisak, mivel közvetlenül következnek a tételekből, míg mások hosszú és nehéz bizonyítást igényelnek, amelyek a matematika más területeit is bevonják, vagy különböző területek közötti kapcsolatokat mutatnak be.
K: Lehet egy tétel egyszerű, mégis mély?
V: Igen, erre példa lehet Fermat utolsó tétele, amely egyszerűen megfogalmazható, de bizonyítása hosszú és nehéz.
K: Vannak olyan tételek, amelyeknek ismert a bizonyítása, de nem lehet könnyen leírni?
V: Igen, ilyen például a négy színtétel és a Kepler-féle sejtés, amelyeket csak úgy lehet ellenőrizni, ha számítógépes programokon keresztül futtatjuk őket.
K: A matematikai tételek néha visszavezethetők egyszerűbb számításokra?
V: Igen, a matematikai tételek néha egyszerűbb számításokra redukálhatók, például polinomiális azonosságokra, trigonometrikus azonosságokra vagy hipergeometriai azonosságokra.
