Algebrai változat
A matematikában az algebrai fajták (más néven fajták) az algebrai geometria egyik központi tanulmányi tárgya. Az algebrai változat első definíciói szerint az algebrai változat egy polinomegyenlet-rendszer megoldásainak halmaza a valós vagy komplex számok felett. Az algebrai változat modern definíciói általánosítják ezt a fogalmat, miközben igyekeznek megőrizni az eredeti definíció mögött álló geometriai intuíciót.
Az algebrai sokféleség meghatározására vonatkozó konvenciók eltérőek: Egyes szerzők megkövetelik, hogy egy "algebrai változat" definíció szerint irreducibilis legyen (ami azt jelenti, hogy nem két kisebb, a Zariski topológiában zárt halmaz uniója), míg mások nem. Ha az előbbi konvenciót használják, a nem irreducibilis algebrai fajtákat algebrai halmazoknak nevezik.
A sokféleség fogalma hasonló a sokféleség fogalmához. Az egyik különbség a sokféleség és a sokaság között az, hogy a sokféleségnek lehetnek szinguláris pontjai, míg a sokaságnak nem. Az 1800 körül bizonyított algebra alaptétele kapcsolatot teremt az algebra és a geometria között azáltal, hogy megmutatja, hogy egy egyváltozós, komplex együtthatókkal rendelkező monikus polinomot (algebrai objektum) a gyökerek halmaza (geometriai objektum) határozza meg. Ezt az eredményt általánosítva Hilbert nullstellensatzje alapvető megfelelést biztosít a polinomgyűrűk ideáljai és az algebrai halmazok között. A nullstellensatz és a kapcsolódó eredmények segítségével a matematikusok szoros megfelelést állapítottak meg az algebrai halmazokkal kapcsolatos kérdések és a gyűrűelmélet kérdései között. Ez a megfeleltetés az algebrai geometria sajátossága a geometria többi részterülete között.
A csavart kubikus egy projektív algebrai sokaság.
Kérdések és válaszok
K: Mik azok az algebrai fajták?
V: Az algebrai fajták az algebrai geometria egyik központi tanulmányi tárgya. Egy polinomegyenlet-rendszer megoldásainak halmazaként definiálják őket a valós vagy komplex számok felett.
K: Miben különböznek a modern definíciók az eredeti definíciótól?
V: A modern definíciók megpróbálják megőrizni az eredeti definíció mögött álló geometriai intuíciót, miközben általánosítják azt. Egyes szerzők megkövetelik, hogy egy "algebrai változat" definíció szerint irreducibilis legyen (ami azt jelenti, hogy nem két kisebb, a Zariski topológiában zárt halmaz uniója), míg mások nem.
K: Mi az egyik különbség a sokféleség és a sokaság között?
V: Egy változatnak lehetnek szinguláris pontjai, míg egy sokaságnak nem.
K: Mit állapít meg az algebra alaptétele?
V: Az algebra alaptétele kapcsolatot teremt az algebra és a geometria között azáltal, hogy megmutatja, hogy egy egyváltozós, komplex együtthatókkal rendelkező monikus polinomot (algebrai objektum) a gyökei (geometriai objektum) határozzák meg.
K: Mit ad meg Hilbert nullstellensatzja?
V: A Hilbert-féle nullstellensatz alapvető megfeleltetést biztosít a polinomgyűrűk ideáljai és az algebrai halmazok között.
K: Hogyan használták ezt a megfeleltetést a matematikusok?
V: A matematikusok az algebrai halmazokkal kapcsolatos kérdések és a gyűrűelmélet kérdései között erős megfeleltetést állítottak fel e megfeleltetés segítségével.
K: Mi teszi ezt a területet egyedivé a geometrián belüli más részterületek között? V: Az algebrai halmazokkal kapcsolatos kérdések és a gyűrűelmélet kérdései közötti erős megfelelés teszi ezt a területet egyedivé a geometria más részterületei között.
