Konvex szabályos 4-polytop

A matematikában a konvex szabályos 4-polytop (vagy polikhoron) olyan 4 dimenziós (4D) polytop, amely szabályos és konvex. Ezek a platóni szilárd testek (három dimenzióban) és a szabályos sokszögek (két dimenzióban) négydimenziós analógjai.

Ezeket a polytópokat először Ludwig Schläfli svájci matematikus írta le a 19. század közepén. Schläfli felfedezte, hogy pontosan hat ilyen alakzat létezik. Ezek közül ötöt a platóni szilárd testek magasabb dimenziós analógiáinak tekinthetünk. Van egy további alakzat (a 24-es cella), amelynek nincs háromdimenziós megfelelője.

Minden konvex szabályos 4-polytopot 3 dimenziós cellák halmaza határol, amelyek mind azonos típusú és méretű platóni testek. Ezek a megfelelő oldalaik mentén szabályos módon illeszkednek egymáshoz.

Tulajdonságok

A következő táblázatokban a hat konvex szabályos polikóra néhány tulajdonságát soroljuk fel. E polikórák szimmetriacsoportjai mind Coxeter-csoportok, és az említett cikkben leírt jelöléssel vannak megadva. A csoport neve utáni szám a csoport rendjét jelöli.

Nevek	Család	Schläfli szimbólum	Függelékek	Szélek	Arcok	Sejtek	Vertex számok	Kettős polytóp	Szimmetria csoport
Pentachoron5-cellapentatopehyperpiramishypertetraéder4-szimplex	szimplex (n-szimplex)	{3,3,3}	5	10	10 háromszögek	5 tetraéderek	tetraéderek	(ön-duális)	A₄	120
Tesseractoctachoron8-cellhypercube4-cube	hiperkocka (n-kocka)	{4,3,3}	16	32	24 négyzetek	8 kockák	tetraéderek	16-cellás	B₄	384
Hexadecachoron16-cellorthoplexhyperoktaéder4-orthoplex	kereszt-polytop (n-orthoplex)	{3,3,4}	8	24	32 háromszögek	16 tetraéderek	oktaéderek	tesseract	B₄	384
Icositetrachoron24-celloctaplexpolyoktáeder		{3,4,3}	24	96	96 háromszögek	24 oktaéderek	kockák	(ön-duális)	F₄	1152
Hecatonicosachoron120-sejtesdodekaplexhiperdodekaéderpolydodekaéder		{5,3,3}	600	1200	720 ötszögek	120 dodekaéderek	tetraéderek	600-cellás	H₄	14400
Hexacosichoron600-cellás tetraplexhypericosaéderpolytetraéder		{3,3,5}	120	720	1200 háromszögek	600 tetraéderek	icosahedra	120-cellás	H₄	14400

Mivel minden ilyen alakzat határa topológiailag egy 3 gömbbel egyenértékű, amelynek Euler-jellegzetessége nulla, megkapjuk az Euler-féle poliéderes képlet 4 dimenziós analógiáját:

N 0- N +1 N2 - N = 3{\displaystyle0 N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,} $N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,$

ahol N_k a politóp k-felületeinek számát jelöli (egy csúcs egy 0-felület, egy él egy 1-felület stb.).

Vizualizációk

A következő táblázat e polytópok néhány kétdimenziós vetületét mutatja be. Különböző más vizualizációkat találhat az alábbi weboldalakon. A Coxeter-Dynkin-diagram grafikonjai a Schläfli szimbólum alatt is szerepelnek.

5-cellás	8-cellás	16-cellás	24-cellás	120-cellás	600-cellás
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}

Drótvázas ortográfiai vetületek a Petrie-poligonok belsejében.

Szilárd ortográfiai vetületek
tetraéderes burok (cella/csúcsközpontú)	köbös burkolat (cellaközpontú)	octahedralenvelope (vertex centered)	kockaéderes boríték (cellaközpontú)	csonka rombuszos háromszögű tachéderburok (cellaközpontú)	Pentakis ikoszidodekaéderes boríték (csúcsközpontú)
Drótvázas Schlegel-diagramok (perspektivikus vetítés)
(Sejtközpontú)	(Sejtközpontú)	(Sejtközpontú)	(Sejtközpontú)	(Sejtközpontú)	(Vertex-központú)
Drótvázas sztereográfiai vetületek (hiperszférikus)

Kapcsolódó oldalak

Szabályos polytóp
Platonikus szilárd test

Kérdések és válaszok

K: Mi az a konvex szabályos 4-polytop?

V: A konvex szabályos 4-polytop egy olyan 4 dimenziós polytop, amely szabályos és konvex.

K: Melyek a konvex szabályos 4-polytopok analógjai három és két dimenzióban?

V: A konvex szabályos 4-polytopok analógjai három dimenzióban a platóni testek, míg két dimenzióban a szabályos sokszögek.

K: Ki írta le először a konvex szabályos 4-polytopokat?

V: Ludwig Schläfli svájci matematikus írta le először a 19. század közepén a konvex szabályos 4-polytopokat.

K: Hány konvex szabályos 4-polytop létezik?

V: Pontosan hat konvex szabályos 4-polytop létezik.

K: Mi a 24 cellás polytóp egyedi tulajdonsága a konvex szabályos 4-polytópok között?

V: A 24-cellás polytopnak nincs háromdimenziós megfelelője a konvex szabályos 4-polytópok között.

K: Melyek azok a háromdimenziós cellák, amelyek minden egyes konvex szabályos 4-polytopot behatárolnak?

V: Minden konvex szabályos 4-polytopot olyan 3 dimenziós cellák halmaza határol, amelyek mind azonos típusú és méretű platóni testek.

K: Hogyan illeszkednek egymáshoz a 3 dimenziós cellák egy konvex szabályos 4-polytopban?

V: A 3 dimenziós cellák a konvex szabályos 4-polytopban szabályos módon illeszkednek egymáshoz a megfelelő oldalaik mentén.