Konvex szabályos 4-polytopok (polikhoronok): definíció és példák

Fedezd fel a konvex szabályos 4-polytopok definícióját, történetét és példáit — a hat négydimenziós platóni analóg részletes, illusztrált áttekintése.

Szerző: Leandro Alegsa

29-01-2026 11:58

A matematikában a konvex szabályos 4-polytop (vagy polikhoron) olyan 4 dimenziós (4D) polytop, amely szabályos és konvex. Ezek a platóni szilárd testek (három dimenzióban) és a szabályos sokszögek (két dimenzióban) négydimenziós analógjai.

Ezeket a polytópokat először Ludwig Schläfli svájci matematikus írta le a 19. század közepén. Schläfli felfedezte, hogy pontosan hat ilyen alakzat létezik. Ezek közül ötöt a platóni szilárd testek magasabb dimenziós analógiáinak tekinthetünk. Van egy további alakzat (a 24-es cella), amelynek nincs háromdimenziós megfelelője.

Minden konvex szabályos 4-polytopot 3 dimenziós cellák halmaza határol, amelyek mind azonos típusú és méretű platóni testek. Ezek a megfelelő oldalaik mentén szabályos módon illeszkednek egymáshoz.

A hat konvex szabályos 4-polytop (összefoglaló)

4-szimlex (5-sejt, 4-simplex) — Schläfli-jel: {3,3,3}. Cella: tetraéder. Tulajdonságok: V=5, E=10, F=10, C=5. Önmaga duálisa (self-dual).
Tesserakt (8-sejt, 4-kocka) — Schläfli-jel: {4,3,3}. Cella: kocka (hexaéder). Tulajdonságok: V=16, E=32, F=24 (négyzetek), C=8 (kockák). Duálisa: a 16-sejt.
16-sejt (16-cell) — Schläfli-jel: {3,3,4}. Cella: tetraéder. Tulajdonságok: V=8, E=24, F=32, C=16. Duálisa: a tesserakt.
24-es cella (24-cell) — Schläfli-jel: {3,4,3}. Cella: oktaéder. Tulajdonságok: V=24, E=96, F=96, C=24. Különleges, mert nincs háromdimenziós analógja és önmaga duálisa.
120-sejt (120-cell) — Schläfli-jel: {5,3,3}. Cella: dodekaéder. Tulajdonságok: V=600, E=1200, F=720, C=120. Duálisa: a 600-sejt.
600-sejt (600-cell) — Schläfli-jel: {3,3,5}. Cella: tetraéder. Tulajdonságok: V=120, E=720, F=1200, C=600. Duálisa: a 120-sejt.

Tulajdonságok és érthető magyarázat

Szabályosság azt jelenti, hogy a polytop szimmetriacsoportja tranzitív az összes zászlón (flag) — azaz bármely csúcsot, élt, lapot és cellát a szimmetriák segítségével bármely másik megfelelőjére lehet vinni. Ennek következményeként minden csúcs környezete, minden él környezete stb. azonos.

Konvexitás itt azt jelenti, hogy a polytop a 4-dimenziós euklideszi tér egy konvex halmazaként értelmezhető (bármely két pontját összekötő szakasz teljes egészében a testben van).

Dualitás és szimmetriacsoportok

A konvex szabályos 4-polytopoknál párokba rendeződnek a duálok: a tesserakt és a 16-sejt, illetve a 120-sejt és a 600-sejt duálok (a 4-szimlex és a 24-es cella önmaga duálisa). A polytopok szimmetriáit Coxeter-csoportok írják le: a 4-szimlexhez az A4, a tesserakt/16-sejthez a B4 (vagy C4), a 24-es cellához az F4, a 120/600-sejthez pedig a H4 tartozik.

Konstrukciók és ábrázolás

A négydimenziós alakzatokat gyakran háromdimenziós vetületeken és metszeteken keresztül ábrázolják. Két gyakori módszer:

Schlegel-diagramok: a 4-polytopot egy belső cella felől vetítve kapjuk meg a 3D-s leképezést, így jól láthatóak a cellák egymáshoz való kapcsolódásai.
Stereografikus vetítés: a 3-szféra felületéről vetítve a tetszőleges cellák és csúcsok a háromdimenziós térben jelennek meg, gyakran használatos szimmetriák vizsgálatára.

A konstrukciók egyik elméleti eszköze a Wythoff-konstrukció és a Coxeter-reflexiós csoportok használata: ezek segítségével a szabályos polytopok csúcsait és éleit egyenletesen elhelyezett pontok halmazaként lehet előállítani.

Rövid történeti és jellegzetes megjegyzések

Ludwig Schläfli eredeti munkája alapvető volt: megmutatta, hogy a négydimenziós euklideszi térben pontosan hat konvex szabályos polytop létezik, ellentétben a kétdimenzióval (végtelen sok szabályos sokszög) és a háromdimenzióval (öt platóni test). A 24-es cella különleges szerepét gyakran emelik ki, mert semmilyen háromdimenziós platóni test nincs megfeleltethetően a struktúrájának.

Hol lehet többet megtudni?

Az érdeklődők vizuális forrásokhoz, modellekhez és részletes algebrai leírásokhoz fordulhatnak, különösen a Coxeter-csoportokról és a Schläfli-jelrendszerről szóló irodalomhoz. A konvex szabályos 4-polytopok tanulmányozása összekapcsolja a kombinatorikus geometriát, a csoportelméletet és a négy dimenziós vizualizáció módszereit.

Tulajdonságok

A következő táblázatokban a hat konvex szabályos polikóra néhány tulajdonságát soroljuk fel. E polikórák szimmetriacsoportjai mind Coxeter-csoportok, és az említett cikkben leírt jelöléssel vannak megadva. A csoport neve utáni szám a csoport rendjét jelöli.

Nevek	Család	Schläfli szimbólum	Függelékek	Szélek	Arcok	Sejtek	Vertex számok	Kettős polytóp	Szimmetria csoport
Pentachoron5-cellapentatopehyperpiramishypertetraéder4-szimplex	szimplex (n-szimplex)	{3,3,3}	5	10	10 háromszögek	5 tetraéderek	tetraéderek	(ön-duális)	A₄	120
Tesseractoctachoron8-cellhypercube4-cube	hiperkocka (n-kocka)	{4,3,3}	16	32	24 négyzetek	8 kockák	tetraéderek	16-cellás	B₄	384
Hexadecachoron16-cellorthoplexhyperoktaéder4-orthoplex	kereszt-polytop (n-orthoplex)	{3,3,4}	8	24	32 háromszögek	16 tetraéderek	oktaéderek	tesseract	B₄	384
Icositetrachoron24-celloctaplexpolyoktáeder		{3,4,3}	24	96	96 háromszögek	24 oktaéderek	kockák	(ön-duális)	F₄	1152
Hecatonicosachoron120-sejtesdodekaplexhiperdodekaéderpolydodekaéder		{5,3,3}	600	1200	720 ötszögek	120 dodekaéderek	tetraéderek	600-cellás	H₄	14400
Hexacosichoron600-cellás tetraplexhypericosaéderpolytetraéder		{3,3,5}	120	720	1200 háromszögek	600 tetraéderek	icosahedra	120-cellás	H₄	14400

Mivel minden ilyen alakzat határa topológiailag egy 3 gömbbel egyenértékű, amelynek Euler-jellegzetessége nulla, megkapjuk az Euler-féle poliéderes képlet 4 dimenziós analógiáját:

N 0- N +1 N2 - N = 3{\displaystyle0 N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,} $N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,$

ahol N_k a politóp k-felületeinek számát jelöli (egy csúcs egy 0-felület, egy él egy 1-felület stb.).

Vizualizációk

A következő táblázat e polytópok néhány kétdimenziós vetületét mutatja be. Különböző más vizualizációkat találhat az alábbi weboldalakon. A Coxeter-Dynkin-diagram grafikonjai a Schläfli szimbólum alatt is szerepelnek.

5-cellás	8-cellás	16-cellás	24-cellás	120-cellás	600-cellás
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}

Drótvázas ortográfiai vetületek a Petrie-poligonok belsejében.

Szilárd ortográfiai vetületek
tetraéderes burok (cella/csúcsközpontú)	köbös burkolat (cellaközpontú)	octahedralenvelope (vertex centered)	kockaéderes boríték (cellaközpontú)	csonka rombuszos háromszögű tachéderburok (cellaközpontú)	Pentakis ikoszidodekaéderes boríték (csúcsközpontú)
Drótvázas Schlegel-diagramok (perspektivikus vetítés)
(Sejtközpontú)	(Sejtközpontú)	(Sejtközpontú)	(Sejtközpontú)	(Sejtközpontú)	(Vertex-központú)
Drótvázas sztereográfiai vetületek (hiperszférikus)

Kapcsolódó oldalak

Szabályos polytóp
Platonikus szilárd test

Kérdések és válaszok

K: Mi az a konvex szabályos 4-polytop?

V: A konvex szabályos 4-polytop egy olyan 4 dimenziós polytop, amely szabályos és konvex.

K: Melyek a konvex szabályos 4-polytopok analógjai három és két dimenzióban?

V: A konvex szabályos 4-polytopok analógjai három dimenzióban a platóni testek, míg két dimenzióban a szabályos sokszögek.

K: Ki írta le először a konvex szabályos 4-polytopokat?

V: Ludwig Schläfli svájci matematikus írta le először a 19. század közepén a konvex szabályos 4-polytopokat.

K: Hány konvex szabályos 4-polytop létezik?

V: Pontosan hat konvex szabályos 4-polytop létezik.

K: Mi a 24 cellás polytóp egyedi tulajdonsága a konvex szabályos 4-polytópok között?

V: A 24-cellás polytopnak nincs háromdimenziós megfelelője a konvex szabályos 4-polytópok között.

K: Melyek azok a háromdimenziós cellák, amelyek minden egyes konvex szabályos 4-polytopot behatárolnak?

V: Minden konvex szabályos 4-polytopot olyan 3 dimenziós cellák halmaza határol, amelyek mind azonos típusú és méretű platóni testek.

K: Hogyan illeszkednek egymáshoz a 3 dimenziós cellák egy konvex szabályos 4-polytopban?

V: A 3 dimenziós cellák a konvex szabályos 4-polytopban szabályos módon illeszkednek egymáshoz a megfelelő oldalaik mentén.

Keres