Fermat utolsó tétele — állítás, történet és a 1995‑ös bizonyítás

Állítás

Ha n egy egész szám, amely nagyobb, mint 2 (például 3, 4, 5, 6.....), akkor az egyenletet

x n + y n = z n {\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}}

nincs megoldása, ha x, y és z természetes számok(pozitív egész számok, kivéve 0). Ez azt jelenti, hogy nincsenek olyan x, y és z pozitív egész számok, amelyekre ez az egyenlet igaz, amennyiben n egy 2-nél nagyobb egész szám.

Megjegyzés: az n=2 eset az ismert Pitagoraszi számhármasokat adja (például 3^2 + 4^2 = 5^2), tehát végtelen sok megoldás létezik az n=2-re; a tétel csak az n>2 esetekre állítja a megoldások hiányát. Triviális megoldások, amelyekben valamelyik változó 0, nyilván léteznek minden n-re (például 0^n + 1^n = 1^n), de Fermat tétele a pozitív, nulla nélküli megoldásokat tiltja.

Történet röviden

Pierre de Fermat 1637-ben, az Arithmetica című könyv egyik példája mellé írt megjegyzésében említette a tételt és hozzátette (híres margósorában): „Igazán csodálatos bizonyításom van ehhez, de a margó túl szűk, hogy elférjen.” Ettől kezdve a tétel évszázadokon át a matematikusok egyik legnagyobb kihívásává vált.

Az elkövetkező évszázadokban több speciális esetet bizonyítottak:

• Fermat maga megadott egy helyes bizonyítást az n=4 esetére (az ún. végtelen leszállás módszerével), ami lehetővé tette az általános esetnek a prímtényezőkre vezetését.
• Euler bizonyította az n=3 esetet.
• Dirichlet és Legendre függetlenül igazolták az n=5 esetet.
• Az 1800-as évek közepétől Ernst Kummer fejlesztette ki az ideál-számelmélet előfutáraként az ún. „ideális számok” fogalmát, és számos prímosztály (a szabályos primszámok) esetén igazolta a tételt.

A 1995-ös bizonyítás

A probléma modern, végső megoldásának kulcsa az elliptikus görbék és a moduláris formák közötti kapcsolat volt. A lényeg röviden:

• Gerhard Frey azt vetette fel, hogy egy feltételezett nemtriviális megoldás x, y, z és n adásakor egy különös elliptikus görbét (a Frey-görbét) lehet felépíteni, amelynek különleges tulajdonságai lennének.
• Jean-Pierre Serre megfogalmazott egy feltételezést (az ún. epsilon-következtetést), és Ken Ribet 1986-ban bizonyította, hogy ha létezne ilyen nemtriviális megoldás, akkor a Frey-görbe nem lehetne moduláris.
• A Taniyama–Shimura–Weil-sejtés (ma már Modularity elmélet részeként ismert) azt mondta, hogy minden, bizonyos jó tulajdonságokkal rendelkező elliptikus görbe moduláris. Így, ha ezt az általános állítást bizonyítanák egy osztályára nézve, akkor a Frey–Ribet összefüggés ellentmondásra vezetne, és így kizárná a Fermat-tétel elleni példát.
• Andrew Wiles 1993–1995 között bizonyította a Taniyama–Shimura-sejtés egy fontos esete (a semistabil elliptikus görbékre), és ezzel — Ribet eredményével egybevetve — következett Fermat utolsó tételének igaz volta. Wiles 1993-as bejelentésében egy kezdeti rés találtak, amelyet később Wiles és Richard Taylor közösen javítottak ki; a végleges, javított bizonyítás 1995-ben jelent meg, és azóta a matematika közössége elfogadta.

Jelentőség és következmények

Fermat utolsó tétele nemcsak azért fontos, mert egy régi, híres sebet zárt be a matematika történetében, hanem mert a bizonyítása új és mély kapcsolatokat hozott elő a számelméletben, különösen az elliptikus görbék és a moduláris formák elmélete között. A munka erőteljes technikákat és ötleteket fejlesztett ki, amelyek ma számos más kérdés megoldásához is hozzájárulnak.

Összefoglalva: Fermat utolsó tétele azt állítja, hogy x^n + y^n = z^n-nek nincs pozitív egész megoldása n>2 esetén. A tétel margóra írt megjegyzésből indult, sok részleges bizonyításon keresztül fejlődött, és végül Andrew Wiles (később Richard Taylor javításával) 1995-ben adott teljes bizonyítása zárta le a kérdést.