Archimédészi testek: definíció és fajták áttekintése

Archimédészi testek — áttekintés, definíció és fajták: 13–15 poliéder, jellemzőik, történeti háttér és szemléletes példák könnyen érthetően.

A geometriában az archimédeszi test egy olyan konvex alakzat, amely sokszögekből áll. Ez egy poliéder, amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

• Mindegyik oldal egy szabályos sokszögből áll.
• Az alakzat minden sarka ugyanúgy néz ki.
• Az alakzat nem plátói szilárd test, nem prizma és nem is antiprizma.

A számolás módjától függően tizenhárom vagy tizenöt ilyen alakzat van. Ezek közül két alakzatnak két olyan változata van, amely forgatással nem hozható kongruenssé. Az archimédeszi testek az ókori görög matematikusról, Arkhimédészről kapták a nevüket, aki valószínűleg az i. e. 3. században fedezte fel őket. Arkhimédész írásai elvesztek, de az alexandriai Pappus a 4. században összefoglalta őket. A reneszánsz idején a művészek és a matematikusok nagyra értékelték a tiszta formákat, és újra felfedezték mindezeket a formákat. Johannes Kepler valószínűleg 1620 körül fejezte be ezt a kutatást.

Egy archimédeszi test megkonstruálásához legalább két különböző sokszögre van szükség.

Mit jelent pontosan a definíció?

Röviden: egy archimédeszi test konvex poliéder, amelynek minden lapja szabályos sokszög, de nem minden lap azonos típusú (ez megkülönbözteti a plátói testektől). A legfontosabb technikai feltétel, hogy az alakzat minden csúcsa egyforma legyen: bármelyik csúcs környezetét tekintve ugyanaz a lap- és élsorozat található. Matematikailag ezt a tulajdonságot csúcs-transzitiv (vertex-transitive) tulajdonságnak nevezik.

A megnevezés 13 vagy 15? (kromogén és enantiomorf alakok)

Hagyományosan 13 archimédeszi testet sorolnak fel. Két közülük – a snub cube (snub kocka) és a snub dodecahedron (snub dodekaéder) – chirális, azaz jobb- és balkezes (enantiomorf) változatban is léteznek, amelyek tükörképei egymásnak, de forgatással nem hozhatók fedésbe. Ha ezeket a két párt külön számoljuk, akkor összesen 15 alakzatról beszélünk.

A legfontosabb fogalmak és építési módszerek

• Trunkálás (csonkolás): egy poliéder csúcsainak levágása új lapokat hoz létre (például a csonkolt kocka).
• Rectifikáció: az élek középen történő levágása, amely gyakran háromszögeket hoz létre a csúcsok helyén.
• Kantelláció (edge truncation/cantellation): egyszerre vágjuk le a csúcsokat és „nagyítjuk” az éleket, új négyzetes vagy hatszögű lapok keletkeznek.
• Snub-művelet: egy forgatással történő elcsavarás és háromszög-lapok beillesztése; ez adja a chirális snub alakzatokat.

Az archimédeszi testek listája (összesen 13, chirális párokkal 15)

Az alábbiakban a legismertebb archimédeszi testek nevei (az angol név feltüntetésével):

• csonkolt tetraéder (Truncated tetrahedron)
• kuboctaéder (Cuboctahedron)
• csonkolt kocka (Truncated cube)
• csonkolt oktaéder (Truncated octahedron)
• rombiszkuboctaéder (Rhombicuboctahedron)
• csonkolt kuboctaéder / nagy rombiszkuboctaéder (Truncated cuboctahedron / Great rhombicuboctahedron)
• snub kocka (Snub cube) — két enantiomorf változat
• ikozidodekaéder (Icosidodecahedron)
• csonkolt dodekaéder (Truncated dodecahedron)
• csonkolt ikozaéder (Truncated icosahedron) — a híres „labdarúgógömb” szerkezete
• rombiszkidoedekaéder (Rhombicosidodecahedron)
• csonkolt ikozidodekaéder (Truncated icosidodecahedron)
• snub dodekaéder (Snub dodecahedron) — két enantiomorf változat

Kapcsolódó fogalmak

Minden archimédeszi testnek van egy duális alakzata: ezek a duálisok a Catalan-testek. Míg az archimédeszi testek lapjai szabályos sokszögek, addig a Catalan-testek lapjai általában nem szabályosak, viszont élszinkronizáltak az eredeti test csúcsaival.

Gyakorlati példák és előfordulás

Több archimédeszi test is ismert a mindennapi életből és a művészetből. A legismertebb példa a labdarúgó-labda szerkezetére emlékeztető csonkolt ikozaéder (truncated icosahedron), amely 12 pentagonból és 20 hexagonból áll. Az archimédeszi testek esztétikai és szerkezeti tulajdonságaik miatt népszerűek építészetben, kristályszerkezetek modelljeiben és a művészetben.

Alapvető számtani kapcsolatok

Mivel ezek konvex poliéderek, minden archimédeszi testre teljesül az Euler-féle kapcsolat: V − E + F = 2, ahol V a csúcsok száma, E az éleké és F a lapoké. Az egyes alakzatok konkrét V, E, F értékei alakzatonként különböznek, és az építési műveletek (csonkolás, kantelláció stb.) segítségével kiszámíthatók.

Összefoglalás

Az archimédeszi testek a geometriában a szabályos, de nem plátói, csúcs-transzitív poliédereket jelentik. Szabályos lapjaik és egyenletes csúcselrendezésük miatt különleges helyet foglalnak el a térbeli mintázatok és a geometriai esztétika világában. A hagyományos lista 13 tagot tartalmaz, de a chiralitás miatt gyakran 15-re bővül a számlálás, ha a két snub-pár enantiomorf változatát külön veszik számba.

Kapcsolat a platóni szilárd testekkel

A platóni szilárd testek archimédeszi szilárd testekké alakíthatók, ha követjük a felépítésükre vonatkozó szabályokat.

Az Archimedeans szilárd testek úgy konstruálhatók, mint generátorpozíciók egy kaleidoszkópban.

Kérdések és válaszok

K: Mi az az archimédeszi szilárd test?

K: Hány archimédeszi szilárd test létezik?

K: Ki fedezte fel az archimédeszi szilárd testeket?

K: Mit csinált Alexandriai Pappus Archimedes írásaival?

K: Miért fedezték fel újra a művészek és a matematikusok az archimédeszi szilárd testeket a reneszánsz idején?

K: Mikor fejezte be Johannes Kepler az összes archimédeszi szilárd test felkutatását?

K: Mi szükséges egy archimédeszi szilárd test megkonstruálásához?

Keresés betűvel